Nachklausur zur Vorlesung

Nachklausur zur Vorlesung

” Grundlagen der Theoretischen Informatik“

WS 2018/19 / 12. M¨ arz 2019

Vorname:

Nachname:

Matrikelnummer:

Aufgabe Punktzahl Erreicht

1 20

2 9

3 6

4 6

5 6

6 6

7 6

8 6

9 6

10 6

• Pr¨ufungsdauer: 180 Minuten

• Wenn Sie in der Klausur50 Punkteerreichen, haben Sie mit Sicherheit bestanden.

• Hilfsmittel: Ein beidseitig beschriebenes DIN-A4-Blatt.

• Benutzen Sie ein dokumentenechtes Schreibger¨at.

• Uberpr¨¨ ufen Sie die Ihnen ausgeh¨andigte Klausur auf Vollst¨andigkeit (15 Aufgaben auf 16 Seiten).

• Tragen Sieauf jedes BlattIhrenNamenund IhreMatr.-Nr.in die entsprechen- den Felder ein.

• Schreiben Sie Ihre L¨osungen in die daf¨ur vorgesehenen Felder. Reicht der Platz in einem Feld nicht aus, so benutzen Sie die R¨uckseite des entsprechenden Blattes und vermerken Sie dies auf der Vorderseite. Reicht der Platz dennoch nicht aus, k¨onnen Sie die Aufsicht nach zus¨atzlichen Bl¨attern fragen.

• Schreiben Sie bitte deutlich. Unleserliche L¨osungen sind ung¨ultig.

• Ein T¨auschungsversuch f¨uhrt umgehend zum Ausschluss und Nichtbestehen.

Es erfolgt keine Vorwarnung.

• Alle mitgef¨uhrten elektronischen Ger¨ate sind vor der Klausur bzw. sp¨atestens jetzt auszuschalten.

Inhaltliche Hinweise:

• Endliche Automaten k¨onnen wahlweise grafisch oder tabellarisch angegeben werden.

• In den While- und Loop-Programmen d¨urfen Sie die Addition, Multiplikation, die in der Vorlesung definierte Subtraktion und f¨ur eine Variable x die Bedingung If x = 0 Then P End als While- bzw. Loop-berechenbar voraussetzen und in Ihren Programmen verwenden. Geben Sie an, in welcher Variable der Ausgabewert am Ende steht.

• Sie d¨urfen annehmen, dass die Addition und Multiplikation zweier nat¨urlicher Zah- len primitiv-rekursiv sind.

• F¨ur die Konstruktion von µ- bzw. primitiv-rekursiven Funktionen und f¨ur While- und Loop-Programme darf die Schreibweise aus den ¨Ubungen benutzt werden.

Aufgabe 1. (20 Punkte) In jeder der 10 Teilaufgaben gibt es drei m¨ogliche Antworten, von denen eine, zwei oder auch alle drei Antworten richtig sein k¨onnen. F¨ur jede Teilaufgabe gibt es 2 Punkte, die nur vergeben werden, wenn alle Kreuze innerhalb der Teilaufgabe richtig gesetzt wurden.

(1) Sei L die Menge aller W¨orter w ∈ {a, b}^∗ der L¨ange mindestens 2, so dass das vorletzte Symbol in w ein a ist. Es gilt . . .

L wird durch einen DFA mit 3 Zust¨anden erkannt.

L wird durch einen NFA mit 3 Zust¨anden erkannt.

L wird durch einen DFA erkannt.

(2) Die Sprache L={a^p |p∈P} ist regul¨ar, wenn . . . P endlich ist.

P ={2k+ 1|k ∈N} ∪ {3k+ 1 |k∈N}.

P ={k² |k ∈N}.

(3) Sei Geine kontextfreie Grammatik in Chomsky-Normalform. Dann gilt . . . G produziert nur nichtleere W¨orter.

Jeder Syntaxbaum von G ist ein Bin¨arbaum.

L(G) wird von einem nichtdeterministischen Kellerautomaten erkannt.

(4) Sei RL die Myhill-Nerode- ¨Aquivalenzrelation einer SpracheL⊆Σ^∗. Es gilt . . . index(R_L)<∞

WennLregul¨ar ist, dann hat jeder DFA f¨urLmindestens index(R_L) Zust¨ande.

x R_L x f¨ur alle x∈Σ^∗.

(5) Die Klasse aller kontextfreien Sprachen ist abgeschlossen unter . . . Vereinigung Schnitt Komplement

(6) Jede regul¨are Grammatik . . . ist in Chomsky-Normalform.

ist eine kontextfreie Grammatik.

ist eine kontextsensitive Grammatik.

(7) F¨ur jede entscheidbare Sprache L⊆ {0,1}^∗ gilt L ist semi-entscheidbar.

{0,1}^∗\L ist entscheidbar.

χL ist berechenbar.

(8) Welche der folgenden Probleme sind entscheidbar?

{w∈ {0,1}^∗ |T(M )6=∅}

f ◦f ist berechenbar.

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Aufgabe 2. (9 Punkte) Sei Σ ={a, b}. Geben Sie f¨ur jede der folgenden Sprachen einen endlichen Automaten und einen regul¨aren Ausdruck an.

(a) L₁ ={w∈Σ^∗ |wenth¨alt mindestens drei a’s}

(b) L₂ ={w∈Σ^∗ |wendet auf a und |w| ist gerade}

(c) L₃ ={w∈Σ^∗ |wenth¨alt nicht das Teilwort bb}

Aufgabe 3. (6 Punkte) Gegeben sei der NFA M = ({1,2,3},{a, b}, δ,{1},{2}), wobei δ gegeben ist durch:

δ a b

1 {1} {1,2}

2 ∅ {1,2,3}

3 {1,3} ∅

(a) Zeichnen Sie das zu M geh¨orige Automatendiagramm.

(b) Geben Sie mittels Potenzmengenkonstruktion einen zuM ¨aquivalenten DFA an.

Es gen¨ugt, den vom Startzustand erreichbaren Teil anzugeben.

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Aufgabe 4. (6 Punkte) Minimieren Sie den folgenden DFA mit dem Algorithmus aus der Vorlesung. Geben Sie an, welche Zustandspaare in welcher Reihenfolge markiert werden und zeichnen Sie den erhaltenen minimalen DFA.

1

2 3

4 5

6 a

b

a

b a

b a

b a, b

a

b

Aufgabe 5. (6 Punkte) Gegeben sei folgende Sprache L⊆ {a, b}^∗ mit L={aⁿb^mv |v ∈ {a}^∗, |v| ist ungerade und n= 2m}.

Zeigen Sie, dass L nicht regul¨ar ist.

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Aufgabe 6. (6 Punkte) Gegeben sei der folgende nichtdeterministische Kellerautomat M = (Z,Σ,Γ, z₀, δ,#), wobei Z ={z₀, z₁}, Σ ={a, b}, Γ = {#, A} und

(1) δ(z₀, a,#) ={(z₀, A#)}

(2) δ(z₀, a, A) = {(z₀, AA)}

(3) δ(z₀, b, A) ={(z₁, ε)}

(4) δ(z₁, b, A) ={(z₁, ε)}.

Welche Sprachen werden von dem Kellerautomaten jeweils erkannt, wenn folgende Modifikationen durchgef¨uhrt werden?

(a) F¨uge die Transition δ(z0, ε,#) ={(z1,#)}hinzu.

(b) ¨Andere Transition (1) in δ(z₀, a,#) ={(z₀, A)}.

(c) F¨uge die Transition δ(z₀, ε,#) ={(z₀, ε)} hinzu.

Aufgabe 7. (6 Punkte) Gegeben sei die GrammatikG= ({S, A, B, C},{a, b}, S, P) mit P :S →BB |AA

A→AB |AC |a B →BA |CB |b C →BC |c

Testen Sie mit dem CYK-Algorithmus, ob das Wort babcb in L(G) enthalten ist.

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Aufgabe 8. (6 Punkte) Sei L ={aⁱb^j | 0 ≤ i≤ j}. Geben Sie f¨ur L^∗ eine kontextfreie Grammatik an (nicht f¨urL).

Aufgabe 9. (6 Punkte) Sei M = ({z₀, z₁, z₂, z_f},{a, b},{a, b,}, δ, z₀,,{z_f}) die de- terministische 2-Band-Turingmaschine mit

δ(z₀,(c,)) = (z₀,(c, c),(R, L)), c∈ {a, b}

δ(z₀,(,)) = (z₁,(,),(L, N))

δ(z₁,(c,)) = (z₁,(c,),(L, N)), c∈ {a, b}

δ(z₁,(,)) = (z₂,(,),(R, R))

δ(z₂,(c, c)) = (z₂,(c, c),(R, R)), c∈ {a, b}

δ(z2,(,)) = (zf,(,),(N, N)) und

δ(z₀,(i, j)) = (z₀,(i, j),(N, N)) δ(z₁,(i, j)) = (z₁,(i, j),(N, N)) δ(z₂,(i, j)) = (z₂,(i, j),(N, N)) f¨ur alle anderen Tupel (i, j).

(a) Akzeptiert M das Wort w₁ =ababa? ja nein (b) Akzeptiert M das Wort w₂ =bbabba? ja nein

(c) Welche Sprache akzeptiert M?

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Aufgabe 10. (6 Punkte)

(a) Geben Sie ein Loop-Programm an, welches die Funktion

f(w, x, y, z) =

(min(w, z), falls x≥z max(x, y), sonst berechnet.

(b) Geben Sie an, welche partielle Funktion f: N² → N das folgende While- Programm berechnet (Eingabevariablen sind x₁ und x₂, die Ausgabevariable ist x1):

x₃ := 10;

While x₂ 6= 0 Do x1 := 42;

x₃ :=x₃+ 1;

End

Aufgabe 11. (6 Punkte) Geben Sie f¨ur die folgenden partiellen Funktionen jeweils ein While-Programm an, das sie berechnet.

(a) f: N² →Nmit f(a, b) =

(a falls a+b gerade b sonst.

(b) g: N→N mit g(n) =

(undefiniert falls 2ⁿ >125,

1 sonst.

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Aufgabe 12. Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen f: N ×(N \ {0}) → N und g: N→N primitiv-rekursiv sind.

(a) (4 Punkte) f(x, y) = 1 +y+y²+· · ·+y^x

Hinweis: Zeigen Sie zun¨achst, dass h(x, y) =y^x primitiv-rekursiv ist.

(b) (3 Punkte) g(n) = Pn

k=1(k³+ 2k)

Aufgabe 13. (4 Punkte) Geben Sie an, welche Funktionen von µf und µg berechnet werden, wobei f und g wie folgt definiert sind.

(a) f(n, x, y, z) =x·y−n²z

(b) g(n, x, y) =x+n⁵y

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Aufgabe 14. (6 Punkte) Gegeben sei die Funktion f: N→N mit f(n) =

(2n+ 1, falls n ungerade

n

2, falls n gerade

Geben Sie eine Turing-Maschine an, die f berechnet. Beachten Sie, dass die Einga- bezahl n als Bin¨arzahl auf dem Band steht (z.B. kodiert 110 die Eingabezahl 6).

Hinweis: Ihre Turing-Maschine muss auch f¨ur die Eingabe n = 0 eine korrekte Aus- gabe liefern!

Aufgabe 15. (5 Punkte (Bonus))

Zeigen Sie, dass folgende Funktion µ-rekursiv ist:

f(x) = (√

x falls x Quadratzahl ist undefiniert sonst

Sie d¨urfen hierzu die µ-rekursive Funktion eq : N² → {0,1} verwenden mit eq(x, y) =

(0 fallsx=y 1 fallsx6=y

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