Übungsblatt 13

(1)

Höhere Mathematik 3: Stochastik WS12/13 Prof. Dr. I. Veseli´c

Übungsblatt 13

1. Um die Härte eines Gips zu überprüfen, wurden n = 49 Proben analysiert (Härteprüfung nach Mohs). Dabei ergaben sich das arithmetische Mittel X

_n

= 1.7 Mohs und die Stichpro- benvarianz S

_n²

= 0.5 Mohs

²

. Überprüfen Sie bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.05, ob die Abweichungen der Härte von den gewünschten 2 Mohs signifikant sind. Nehmen Sie dazu an, dass die Härte eine normalverteilte Zufallsgröße ist.

2. Bei einem Verbrauchertest für Waschmittel wurde die Abfüllmenge kontrolliert. Dabei er- gaben sich bei 10 zufällig ausgewählten 5 kg Packungen folgende Abfüllmengen:

4.6, 4.96, 4.8, 4.9, 4.75, 5.05, 4.9, 5.1, 4.8, 4.95.

Wir nehmen an, dass die Abfüllmengen normalverteilte Zufallsgrößen sind.

(a) Bestimmen Sie Schätzungen für den Erwartungswert und die Varianz der Abfüllmenge.

(b) Ist auf der Basis dieser Beobachtungswerte die Auffassung vertretbar, dass die Packungen im Mittel weniger Waschmittel als angegeben enthalten?

3. Die Genauigkeit eines Messgerätes verschlechtere sich im Laufe der Zeit infolge von Ab- nutzungserscheinungen. Das Messgerät gelte als brauchbar, solange die Varianz des Messfeh- lers einen Wert von 10

⁻⁴

nicht überschreitet. Darf man mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.05 auf die Brauchbarkeit eines Messgerätes schließen, wenn aus n = 25 Messwerten für die Varianz eine Schätzung S

_n²

= 0.65 · 10

⁻⁴

ermittelt wurde? Wir nehmen an, dass die Messwerte normalverteilte Zufallsgrößen sind.

4. Beim Messen der Entfernung zwischen zwei Punkten sei der Messwert die Realisierung einer N (µ, σ

²

)-verteilten Zufallsgröße, µ und σ unbekannt. Aus n = 20 Messungen einer bestimmten Entfernung ergaben sich die Schätzwerte X

_n

= 327.3 m und S

_n²

= 17.3 m

²

.

(a) Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert zur Irrtumswahrschein- lichkeit α = 0.01.

(b) Geben Sie ein einseitiges nach oben beschränktes Konfidenzintervall für σ zum Konfi- denzniveau 1 − α = 0.95 an.

(c) Lässt sich bei einer zugelassenen Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 0.05 die Aussage µ > 320 m rechtfertigen?

(d) Darf man bei einer zugelassenen Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.05 auf die Brauchbar- keit des Messgerätes schließen, wenn als Kriterium für die Tauglichkeit die Forderung σ < 5 m dient?

Übungsblatt 13

Höhere Mathematik 3: Stochastik WS12/13 Prof. Dr. I. Veseli´c

Übungsblatt 13

1. Um die Härte eines Gips zu überprüfen, wurden n = 49 Proben analysiert (Härteprüfung nach Mohs). Dabei ergaben sich das arithmetische Mittel X

= 1.7 Mohs und die Stichpro- benvarianz S

= 0.5 Mohs

. Überprüfen Sie bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.05, ob die Abweichungen der Härte von den gewünschten 2 Mohs signifikant sind. Nehmen Sie dazu an, dass die Härte eine normalverteilte Zufallsgröße ist.

2. Bei einem Verbrauchertest für Waschmittel wurde die Abfüllmenge kontrolliert. Dabei er- gaben sich bei 10 zufällig ausgewählten 5 kg Packungen folgende Abfüllmengen:

4.6, 4.96, 4.8, 4.9, 4.75, 5.05, 4.9, 5.1, 4.8, 4.95.

Wir nehmen an, dass die Abfüllmengen normalverteilte Zufallsgrößen sind.

(a) Bestimmen Sie Schätzungen für den Erwartungswert und die Varianz der Abfüllmenge.

(b) Ist auf der Basis dieser Beobachtungswerte die Auffassung vertretbar, dass die Packungen im Mittel weniger Waschmittel als angegeben enthalten?

3. Die Genauigkeit eines Messgerätes verschlechtere sich im Laufe der Zeit infolge von Ab- nutzungserscheinungen. Das Messgerät gelte als brauchbar, solange die Varianz des Messfeh- lers einen Wert von 10

nicht überschreitet. Darf man mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.05 auf die Brauchbarkeit eines Messgerätes schließen, wenn aus n = 25 Messwerten für die Varianz eine Schätzung S

= 0.65 · 10

ermittelt wurde? Wir nehmen an, dass die Messwerte normalverteilte Zufallsgrößen sind.

4. Beim Messen der Entfernung zwischen zwei Punkten sei der Messwert die Realisierung einer N (µ, σ

)-verteilten Zufallsgröße, µ und σ unbekannt. Aus n = 20 Messungen einer bestimmten Entfernung ergaben sich die Schätzwerte X

= 327.3 m und S

= 17.3 m

.

(a) Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert zur Irrtumswahrschein- lichkeit α = 0.01.

(b) Geben Sie ein einseitiges nach oben beschränktes Konfidenzintervall für σ zum Konfi- denzniveau 1 − α = 0.95 an.

(c) Lässt sich bei einer zugelassenen Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 0.05 die Aussage µ > 320 m rechtfertigen?

(d) Darf man bei einer zugelassenen Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.05 auf die Brauchbar- keit des Messgerätes schließen, wenn als Kriterium für die Tauglichkeit die Forderung σ < 5 m dient?

5. Bei der Prüfung eines Lieferpostens von USB-Sticks wurden 800 USB-Sticks kontrolliert.

Dabei erwiesen sich 20 USB-Sticks als fehlerhaft. Prüfen Sie bei einer Irrtumswahrscheinlich-

keit α = 0.05 die Hypothese, dass der Ausschussanteil höchstens 4 % beträgt.