L e h r s t u h l A f ü r M a t h e m a t i k
Prof. Dr. H. Führ M. Ensenbach
Aachen, den 02. Mai 2007
Fourieranalysis, Übungsblatt 5
Abgabe bis Dienstag, den 08.05.2007, 13:15 Uhr
Aufgabe 1 (6 Punkte)
Sei f : (0, 2π) →Rdefiniert durch f(x) = π−x für alle x∈ (0, 2π) und fn : (0, 2π) →R, x 7→2
∑
n k=1sin(kx) k .
Dann konvergiert (fn)n∈N punktweise gegen f. Ist n ∈ N, so gilt wegen f(x) → π und fn(x) → fn(0) = 0 für x → 0 dann fn(x) < f(x) in einem geeigneten Intervall (0,εn). Der Gibbs-Effekt beschreibt das Phänomen, daß es neben diesem Verhalten auch ein »Über- schießen« der Fourierreihen nach oben gibt, das heißt, es gibt eine Folge(xn)n∈N mitxn ↓0 für n → ∞, aber fn(xn)− f(xn) → C > 0 für n → ∞. Weisen Sie dieses Phänomen hier nach. Betrachten Sie dazu die Folge (xn)n∈N mit xn = π(n+ 12)−1 für alle n ∈ N, und zeigen Sie
nlim→∞(fn −f)(xn) = lim
n→∞ xn
Z
0
sin((n+12)x)
sin x2 dx−π =2
π
Z
0
sint
t dt−π.
Hinweis: Beginnen Sie mit dem Nachweis von(fn− f)0 = Dn, und nutzen Sie die aus der Vorlesung bekannten Eigenschaften des Dirichlet-Kerns aus; die zweite Gleichheit beweisen Sie am besten von rechts nach links durch Substitution und Grenzwertbetrachtung.
Aufgabe 2 (2+2+4 Punkte)
Für N > 0 sei HN = {(f(k))kN=−01| f(0), . . . ,f(N−1) ∈ C}, und auf HN sei ein Skalarpro- dukt definiert durch
D
(f(k))Nk=−01,(g(k))Nk=−01E =
N−1 k
∑
=0f(k)g(k). Weiter definiert mane0, . . . ,eN−1∈ H durch
en(k) = e
2πink/N
√N
fürn,k∈ {0, . . . ,N−1} und führt dieendliche FouriertransformationFN : HN → HN über FN(f)(k) := fˆ(k) :=hf,eki
ein. Für f,g∈ HN definiert man f ∗g ∈ HN durch (f ∗g)(k) =
N−1 n
∑
=0f(n)g(k−n)
für alle k ∈ {0, . . . ,N −1} (dabei rechnet man in den Argumenten von Elementen von HN modulo N, insbesondere versteht man in obiger Formel unter g(k−n) für 0 6 k < n dasselbe wie g(k−n+N)). Für k ∈ Z wird der Translationsoperator Tk : HN → HN
definiert durch
(Tkf)(n) = f(n−k) für allen ∈ {0, . . . ,N−1}.
a) Zeigen Sie, daß e0, . . . ,eN−1 eine Orthonormalbasis von H bilden. (Diese Basis wird Fourierbasis vonH genannt.)
b) Zeigen Sie, daß
(f ∗g)ˆ(k) =√
N· fˆ(k)gˆ(k) für alle k∈ {0, . . . ,N−1} gilt.
c) SeiS : HN →HN linear. Zeigen Sie, daßS◦Tk = Tk◦Sfür allek ∈ {0, . . . ,N−1}genau dann gilt, wenn Sdiagonal in der Fourierbasis ist (das heißt die Abbildungsmatrix von Sbezüglich der Fourierbasis eine Diagonalmatrix ist). Hinweis: Zeigen Sie, daß im Falle S◦Tk =Tk◦Sstets S(f) = f ∗S(eˆ0)gilt; dabei kann eine zu 2.9(b) ähnliche Darstellung von f als Linearkombination von ˆe0, . . . , ˆeN−1 hilfreich sein.
