z log z dz “ 0,

Musterl¨

1. Aufgabe 9 Punkte

a)

ż

|z´2|“1

z log z dz “ 0,

da z log z analytisch in der offenen rechten Halbebene, die den Integrati- onsweg enth¨alt.

b) ż

|z´2|“1

z

p z ´ 2 q

dz “ 2πi Res

ˆ z

p z ´ 2 q

, 2

˙

“ 2πi ¨ 1 1! lim

zÑ2

p z

q

“ 2πi ¨p 3z

q

“ 24πi.

c)

ż

|z´2|“1

e

z sin

z dz “ 2πi Res

ˆ e

z sin

z , 2

˙

“ 2 π i ¨

˜

z π

2

cos

z

¸

|z“2

“ 2πi

˜

2 π 2

cos π

¸

“ 2πi ˆ

´ 1 π

˙

“ ´ 2i.

Die Gleichgewichtsl¨osungen p x

, y

q werden aus

p x

` 1 qp x

´ 4 q y

“ 0, x

p y

´ 1 q “ 0 bestimmt: p x

, y

q “ p´ 1, 1 q , p 4, 1 q und p 0, 0 q .

Die Jacobi-Matrix J p x, y q lautet allgemein:

J p x, y q “

˜

p 2x ´ 3 q y p x ` 1 qp x ´ 4 q

y ´ 1 x

¸

Nun haben wir

• p x

, y

q “ p´ 1, 1 q : J p´ 1 , 1 q “

˜ ´ 5 0 0 ´ 1

¸

ùñ Eigenwerte: ´ 5 und ´ 1 ùñ asymptotisch stabil

• p x

, y

q “ p 4, 1 q : J p 4, 1 q “

˜ 5 0 0 4

¸

ùñ Eigenwerte: 4 und 5 ùñ instabil

• p x

, y

q “ p 0 , 0 q : J p 0 , 0 q “

˜

0 ´ 4

´ 1 0

¸

ùñ Eigenwerte: ´ 2 und 2 ùñ instabil

Die Verpflanzungsabbildung f p z q “ z

vermittelt die Abbildung p x, y q ÞÑ p x

´ y

, 2 xy . Insbesondere gilt p x, 0 q ÞÑ p x

, 0 q und p x, ´ x q ÞÑ p 0, ´ 2x

q .

(Das Bildgebiet f p G q ist der IV. Quadrant.) F¨ur die Randbedingungen hat man:

u p x, 0 q “ 3 x

“ U p x

, 0 q , u p x, ´ x q “ ´ 4 x

“ U p 0 , ´ 2 x

q

Im Bildgebiet muss die verpflanzte Funkttion U harmonisch sein und die neuen Randbedingungen

U p x

, 0 q “ 3x

, U p 0, y

q “ 2y

erf¨ullen. Man erkennt leicht, dass

U p x

, y

q “ 3 x

` 2 y

eine L¨osung des verpflanzten RWPs ist.

Dann ist

u p x, y q “ U p x

´ y

, 2xy q “ 3 p x

´ y

q ` 4xy

eine L¨osung des vorgelegten RWPs.

Die Gerade Õ ist der verallgemeinerte Kreis durch die Punkte 0, 1 ` i und 8 in dieser Reihenfolge. Damit liegen auch die Bildpunkte T p 0 q , i und T p8q in dieser Reihenfolge auf der Bildkurve ö .

Die Schnittpunkte der Kurven Õ und Œ werden auf die Schnittpunkte der Kurven ö und Ñ abgebildet: T pt 0, 8uq “ t´ 1, 1 u .

Aus beiden Feststellungen folgt T p 0 q “ 1 und T p8q “ ´ 1.

Mit T p z q “

ergibt sich d “ b und c “ ´ a. Damit haben wir T p z q “ az ` b

´ az ` b “ z ` b

´ z ` b

; denn sicher ist a ‰ 0, und wir setzen b

: “

.

Es ist

i “ 1 ` i ` b

´ 1 ´ i ` b

ùñ 1 ´ i ` ib

“ 1 ` i ` b

ùñ p i ´ 1 q b

“ 2i , ùñ b

“ 2i

´ 1 ` i “ 2i p´ 1 ´ i q

2 “ 1 ´ i . Die gesuchte M¨obiustransformation T ist durch

T p z q “ z ` 1 ´ i

´ z ` 1 ´ i

gegeben.

Der Integrationsweg hat Anfangspunkt ´1 und Endpunkt 1 und verl¨auft in der unteren Halbebene, wobei sie die negative imagin¨are Achse durchquert.

Zun¨achst haben wir

1

1 ` iz “ ´ i z ´ i .

Als Stammfunktion w¨ahlen wir eine Logarithmusfunktion, deren Schlitz gleich t z P C | Re z ď 0 und Im z “ 1 u ist. Ein solcher Logarithmus ist ´ i log p z ´ i q .

Dann haben wir ż

C

1

1 ` iz d z “ “

´ i log p z ´ i q ‰

“ ´ i log p 1 ´ i q ` i log p´ 1 ´ i q

“ ´ i ´ ln ?

2 ´ i π 4

¯

` i ˆ

ln ? 2 ` i

ˆ

´ 3π 4

˙˙

“ ´ π 4 ` 3π

4 “ π

2 .

a) Wahr.

log z ist auf dem Schlitzgebiet analytisch und hat die Ableitung

. Die Ab- leitung verschwindet nirgends, damit vermittelt log z eine konforme Ab- bildung.

b) Wahr.

Drei Fixpunkte zu haben, bedeutet, dass es drei Punkte z

, z

und z

gibt mit der Eigenschaft T p z

q “ z

, k “ 1, 2, 3. Das sind drei Punktpaare, die T eindeutig bestimmen. Die Identit¨atstransformation T p z q “ z erf¨ullt die genannte Eigenschaft und ist aufgrund besagter Eindeutigkeit gleich T . c) Wahr.

Die gegebene Funktion ist harmonisch, damit nimmt sie Minimum und Maximum nur auf dem Rand x

` y

“ 1 an. Dort gilt

u p x, y q “ x

´ y

“ 2x

´ 1.

Mit ´ 1 ď x ď 1 ergibt sich 0 ď x

ď 1 und somit ´ 1 ď u p x, y q ď 1, also u p x, y q P r´ 1, 1 s .

d) Falsch.

Die angegebene Laurentreihe ist keine Entwicklung in einer punktierten Kreisscheibe 0 ă | z | ă r mit irgendeiner Zahl r P R

.

e) Falsch.

Die Stelle i ?

5 ist eine Nullstelle des Polynoms p z ` 3 qp z

` 5 q . Der Realteil

dieser Nullstelle ist nicht negativ, damit ist das Polynom nicht stabil.