Weisen Sie die folgenden Eigenschaften der dividierten Differenzen nach.

Fachbereich Mathematik und Informatik WS 2007/2008 der Philipps-Universit¨at Marburg

Stephan Dahlke Manuel Werner

6. ¨ Ubungsblatt zur Vorlesung Computer Aided Geometric Design Abgabe: Donnerstag, 24.01.2008, vor der Vorlesung

Aufgabe 16: Eigenschaften der dividierten Differenzen

Weisen Sie die folgenden Eigenschaften der dividierten Differenzen nach.

i) [θ 0 , . . . , θ _n ]P = 0 f¨ur alle P ∈ Π n−1 ;

ii) [ θ ₀ , . . . , θ _n ] f = [ θ _π(0) , . . . , θ _π(n) ] f f¨ur alle f ∈ C ⁿ ( R ), wobei π : {0 , . . . , n } → {0 , . . . , n } eine beliebige Permutation ist, d.h. die n -te dividierte Differenz ist unabh¨angig von der Reihenfolge der involvierten Koeffizienten;

iii) f¨ur θ _i 6= θ _j gilt die folgende Rekursionsformel

[θ 0 , . . . , θ _n ]f = [ θ ₀ , . . . , θ _i−1 , θ _i+1 , . . . θ _n ] f − [ θ ₀ , . . . , θ _j−1 , θ _j+1 , . . . θ _n ] f

θ _j − θ _i ;

iv) f¨ur jedes f ∈ C ⁿ ( R ) gilt [θ 0 , . . . , θ _n ]f =

Z

Σ

f ⁽ⁿ⁾ (λ 0 θ ₀ + · · · + λ _n θ _n )dλ 1 · · · dλ n , wobei Σ n := {(λ ₀ , . . . , λ _n ) ^⊤ : P n

j=0 λ _j = 1 , λ _j ≥ 0 f¨ur j = 0, . . . , n} der n- dimensionale Standardsimplex ist;

v) [θ 0 , . . . , θ ₀

| {z }

n+1

]f = f ⁽ⁿ⁾ ( θ ₀ )

n! ;

vi) [θ 0 , . . . , θ _n ]f = f ⁽ⁿ⁾ (θ)

n! f¨ur ein θ ∈ [θ 0 , . . . , θ _n ] (konvexe H¨ulle der θ _i );

vii) [θ 0 , . . . , θ _n ](f g) = X n

j=0

([θ 0 , . . . , θ _j ]f)[θ j , . . . , θ _n ]g (Leibniz-Regel);

viii) f¨ur θ ₀ < · · · < θ _n :

[θ 0 , . . . , θ _n ]f = X n

j=0

f ( θ _j ) Q n

i=0

i6=j

(θ j − θ _i ) ;

(1+1+3+3+1+2+3+2)

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Aufgabe 17: Eigenschaften der B-Splines

Weisen Sie die folgenden Eigenschaften der B -Splines nach.

i) supp N _i,k ⊆ [θ i , θ _i+k ] (lokaler Tr¨ager);

ii) N _i,k ist ein st¨uckweises Polynom vom Grad h¨ochstens k − 1. Genauer: ist θ _i−1 < θ _i = · · · = θ _i+d < θ _i+d+1 , so gilt

N _i,k ∈ C ^k−2−d (θ i−1 , θ _i+d+1 ).

Speziell ist N _i,k ∈ C ^k−2 (θ i−1 , θ _i+1 ), falls θ _i−1 < θ _i < θ _i+1 .

(1+4)