mit folgenden Eigenschaften:

(1)

Reelles Skalarprodukt

Ein Skalarprodukt h·, ·i auf einem reellen Vektorraum V ist eine Abbildung V × V 3 (u, v ) 7→ hu, v i ∈ R

mit folgenden Eigenschaften:

Positivit¨ at:

hv, v i > 0 f¨ ur v 6= 0 Symmetrie:

hu , vi = hv, ui Linearit¨ at:

hsu + tv , w i = shu, w i + thv, w i Diese Identit¨ aten gelten f¨ ur alle u, v, w ∈ V und s, t ∈ R .

Aufgrund der Symmetrie ist ein reelles Skalarprodukt auch bez¨ uglich des

zweiten Argumentes linear, also eine Bilinearform auf V .

(2)

F¨ ur V = R

ⁿ

ist das kanonische Skalarprodukt

hu, vi = u

^t

v = u

₁

· · · u

_n





 v

1

.. . v

n





 = u

₁

v

₁

+ · · · + u

_n

v

_n

, und

|u | = p

hu, ui = q

u

₁²

+ · · · + u

²_n

ist die assoziierte Norm.

(3)

Beispiel

Skalarprodukt-Eigenschaften f¨ ur Abbildungen R

²

3 (x, y) 7→ f (x, y ) ∈ R

f(x,y) Positivit¨ at Symmetrie Linearit¨ at

10x

1

y

1

+ x

2

y

2

X X X

|x

₁

y

₁

| + |x

₂

y

₂

| X X

x

1

y

2

+ x

2

y

1

X X

4x

₁

y

₁

+ x

₁

y

₂

+ 2x

₂

y

₁

+ 3x

₂

y

₂

X X x

1

y

₁³

+ x

₂³

y

2

X

x

₁

x

₂

+ y

₁

y

₂

X

x

1

y

2

+ 2x

2

y

1

X

x

₁³

(4)

Beispiel

Skalarprodukt auf dem Vektorraum der auf [0, 1] definierten, reellwertigen stetigen Funktionen:

hf , g i =

1

Z

0

f (x)g (x) dx

Positivit¨ at, Linearit¨ at, Symmetrie X

Verallgemeinerung mit einer positiven Gewichtsfunktion w : hf , g i

_w

=

1

Z

0

fg w

z.B: gewichtete Skalarprodukte f¨ ur radialsymmetrische Funktionen auf der Kreisscheibe oder Kugel:

Z

1 0

f (r )g (r )r dr , Z

1

0

f (r )g (r)r

²

dr

(5)

Komplexes Skalarprodukt

Ein Skalarprodukt h·, ·i auf einem komplexen Vektorraum V ist eine Abbildung

V × V 3 (u, v ) 7→ hu, v i ∈ C mit folgenden Eigenschaften:

Positivit¨ at: hv, v i > 0 f¨ ur v 6= 0 Schiefsymmetrie: hu, vi = hv, ui

Linearit¨ at: hu, sv + twi = s hu, v i + thu, w i

Diese Identit¨ aten gelten f¨ ur alle u, v, w ∈ V und s, t ∈ C.

Aufgrund der Schiefsymmetrie ist ein komplexes Skalarprodukt bez¨ uglich der ersten Variablen nicht linear:

hsu + tv , w i = ¯ shu, vi + ¯ thu, w i .

Lediglich f¨ ur reelle Skalare s , t ist die komplexe Konjugation ohne

Bedeutung.

(6)

F¨ ur V = C

ⁿ

ist das kanonische Skalarprodukt

hu, v i = u

^∗

v = ¯ u

^t

v = u ¯

₁

· · · u ¯

_n





 v

1

.. . v

n





 = ¯ u

₁

v

₁

+ · · · + ¯ u

_n

v

_n

, und

|u| = p

hu, ui = q

|u

₁

|

²

+ · · · + |u

_n

|

²

, |u

_k

|

²

= ¯ u

k

u

k

, ist die assoziierte Norm.

Gebr¨ auchlich ist auch die komplexe Konjugation des zweiten Arguments des Skalarprodukts,

hu, vi = X

k

u

k

v ¯

k

.

Diese andere Definition des Skalarprodukts komplexer Vektoren ist jedoch weniger konsistent mit den Regeln des Matrix/Vektor-Kalk¨ uls - den

” liegenden“ adjungierten Vektor u

^∗

erh¨ alt man durch Transposition und Konjugation des

” stehenden“ Vektors u.

(7)

Beispiel

Skalarprodukt von Vektoren in C

²

x =

1 + 2i

−2 − i

, y =

2 2i

komplexes Skalarprodukt hx, yi = ¯ x

₁

y

₁

+ ¯ x

₂

y

₂

(1 + 2i) · 2 + (−2 − i) · 2i = (1 − 2i) · 2 + (−2 + i) ·2i = 2 − 4i − 4i − 2 = −8i Das Konjugieren ist notwendig f¨ ur die Positivit¨ at der assoziierten Norm.