7. ¨ Ubung “Von-Neumann-Algebren”

Dr. Thomas Timmermann, timmermt@math.uni-muenster.de 5. Juni 2007

7. ¨ Ubung “Von-Neumann-Algebren”

1. Sei M eine Von-Neumann-Algebra auf einem Hilbertraum H und sei K ein weiterer Hilbertraum. Zeige ohne Verwendung von Theorem 4.14:

(M⊗¯ Cid_K)⁰ =M⁰⊗ B(K) und (M¯ ⊗ B(K))¯ ⁰ =M⁰⊗¯ Cid_K. 2. Zeige ohne Verwendung von Theorem 4.14:

(a) Eine Von-Neumann-Algebra M auf einem Hilbertraum H ist ein Faktor (d.h. Z(M) = Cid_H) genau dann, wenn die von M ∪ M⁰ erzeugte Von-Neumann-AlgebraB(H) ist.

(b) Sind M und N Faktoren, so ist auch M⊗¯N ein Faktor.

3. Seien H und K unendlich-dimensionale Hilbertr¨aume.

(a) Zeige: F¨ur jedes Element η∈H ist die Abbildung j_η: K →H⊗K, ξ7→η⊗ξ,

ein beschr¨ankter linearer Operator mit Norm kj_ηk = kηk, und f¨ur alle η⁰ ∈H, ξ⁰ ∈K gilt j_η^∗(η⁰⊗ξ⁰) = hη|η⁰iξ⁰.

F¨ur jeden OperatorR ∈ B(H⊗K) setzen wir N_R:= span{j_η^∗Rj_η⁰ |η, η⁰ ∈H} ⊂ B(K),

B_R:= Abschluss von {j_η^∗Rj_η⁰ |η, η⁰ ∈H, kηk,kη⁰k ≤1} ⊂ B(K).

(b) Zeige: F¨ur jeden OperatorR∈ B(H⊗K) der FormR =Pn i=1S_i⊗ Ti, wobei Si ∈ B(H), Ti ∈ B(K) (i = 1, . . . , n), ist dimNR < ∞ und B_R kompakt.

Bezeichne B(H)⊗ B(K)⊂ B(H⊗K) den Norm-Abschluss des algebrai- schen Tensorproduktes B(H)⊗ B(K). Sei^a R∈ B(H)⊗ B(K). Zeige:

(c) F¨ur jedes >0 existiert eine kompakte Menge B ⊂ B(K) mit B_R ⊂

T ∈ B(K)

∃S ∈B mit kS−Tk< . (d) B_R ist kompakt.

(e) B(H)⊗ B(K)6=B(H⊗K).

Z4. Wir identifizieren l^∞(N) mit einer Von-Neumann-Algebra auf l²(N) und bezeichnen mitl^∞(N)⊗l^∞(N)⊂ B l²(N)⊗l²(N)

den Norm-Abschluss des alg. Tensorproduktes l^∞(N) ⊗^a l^∞(N). Zeige: l^∞(N) ⊗ l^∞(N) 6=

l^∞(N) ¯⊗l^∞(N)∼=l^∞(N×N).

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