9. ¨ Ubung “Von-Neumann-Algebren”

Dr. Thomas Timmermann, timmermt@math.uni-muenster.de 12. Juni 2007

9. ¨ Ubung “Von-Neumann-Algebren”

1. Die folgende Aufgabe ist ein Nachtrag zu normalen∗-Homomorphismen:

Seien M und N vN-Algebren und φ: M → N ein bijektiver ∗-Homo- morphismus. Zeige: φ ist σ-schwach stetig genau dann, wenn φ⁻¹ σ- schwach stetig ist (Hinweis: Zur¨uckf¨uhren auf Hahn-Banach).

Sei X ein kompakter Hausdorff-Raum und µ ein Radon-Maß aufX.

2. Sei H = (H(x))x∈X eine Familie von Hilbertr¨aumen und (ζn)n eine Folge in Q

x∈X H(x) so, dass f¨ur alle n, m die Funktion (ζ_n|ζ_m) : x 7→

hζ_n(x)|ζ_m(x)i messbar ist. Zeige:

(a) Es existieren ξ_n ∈ Q

x∈XH(x) (n ∈ N) und messbare Funktionen f_n,m (m ≤n) auf X so, dass gilt:

• ξ_n =P

m≤nf_n,mζ_m f¨ur allen, m;

• f¨ur jedes x ∈ X bilden die Vektoren der Folge ξ_n(x)

n, die nicht 0 sind, ein Orthonormalsystem in H(x).

(Hinweis: Gram-Schmidt-Orthonormierungsverfahren)

(b) Falls span{ζ_n(x)|n∈N}=H(x) f¨ur allex∈X, so bilden H und Γ :=n

ζ ∈ Y

x∈X

H(x)

(ζ_n|ζ) messbar f¨ur alle n∈No ein messbares Feld von Hilbertr¨aumen.

(c) Falls (ζ_n|ζ_n) ∈L¹(X, µ) f¨ur alle n ∈N, so ist die lineare H¨ulle von {M(f)ζ_n|f ∈L^∞(X, µ), n∈N} dicht inR⊕

X Hdµ.

(Z) BesitztX eine abz¨ahlbare Basis, so ist R⊕

X Hdµ separabel.

Sei (H,Γ) ein messbares Feld von Hilbertr¨aumen auf (X, µ) undH :=R⊕ X Hdµ.

Bezeichne A die Menge der messbaren Familien T ∈ Q

x∈XB H(x) mit kT k <∞.

3. Zeige: F¨ur jede messbare Familie T ∈ Q

x∈X B H(x)

ist die Funktion x7→ kT(x)k messbar.

4. Zeige: A ist eine C^∗-Unteralgebra des in Satz 4.4 definierten Produktes Q(vN)

x∈X B H(x)

(Hinweis: Aufgabe 1(a)).

5. Zeige: Die Abbildung A → B(H), gegeben durch T 7→ R⊕

X Tdµ, ist ein

∗-Homomorphismus. Was ist der Kern dieser Abbildung?

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