5. ¨Ubung “Von-Neumann-Algebren”

Dr. Thomas Timmermann, timmermt@math.uni-muenster.de 9. Mai 2007

5. ¨ Ubung “Von-Neumann-Algebren”

1. F¨ur jede Funktion f ∈ L^∞([0,1]) sei Mf ∈ B(L²([0,1])) gegeben durch (M_fξ)(x) := f(x)ξ(x) (ξ ∈ L²([0,1]), x ∈ [0,1]). Bezeichne 1_[0,1] die konstante Funktion auf [0,1] mit Wert 1.

(a) SeiT ∈ {Mf |f ∈ L^∞([0,1])}⁰ ⊂ B(L²([0,1])). Setze η :=T1_[0,1] ∈ L²([0,1]). Zeige: η∈L^∞([0,1]) und T =M_η.

(b) Zeige: {M_f |f ∈L^∞([0,1])} ist eine Von-Neumann-Algebra.

(c) Zeige: F¨ur jedes T ∈ L¹(H) existiert genau ein gT ∈ L¹([0,1]) mit kg_Tk ≤ kTk₁ so, dass Tr(M_fT) = R

[0,1]f(x)g_T(x)dx f¨ur alle f ∈L^∞([0,1]).

2. SeiM eine Von-Neumann-Algebra. Zeige:

(a) F¨ur jedes selbstadjungierte h∈M ist u:= exp(ih)∈M unit¨ar.

(b) F¨ur jedes unit¨areu∈M existiert ein selbstadjungiertesh∈M mit u= exp(ih) (Gilt diese Aussage auch in C^∗-Algebren?).

3. Gib ein Beispiel f¨ur einen Hilbertraum H, eine C^∗-Algebra C ⊂ B(H) und einen OperatorT ∈C mit PolarzerlegungT =U|T|, f¨ur die U nicht in C liegt (Hinweis: Betrachte {M_f |f ∈C([0,1])} ⊂ B(L²([0,1]))).

4. Sei (M_n)n∈Neine Familie von Von-Neumann-Algebren auf Hilbertr¨aumen (Hn)_n∈N und L

nMn die Familie aller Operatoren auf L

nHn der Form (ξ_n)_n 7→ (T_nξ_n)_n, wobei T_n ∈ M_n f¨ur jedes n und lim_nkT_nk = 0. Ist L

nM_n eine C^∗-Algebra? Eine Von-Neumann-Algebra?

Die folgende Aufgabe ist nur als Erg¨anzung f¨ur besonders Interessierte gedacht:

Z5. SeiA eine C^∗-Algebra und (H, π) ihre universelle GNS-Darstellung. Be- zeichne A^∗ den Dualraum von A (als Banachraum). Wir zitieren ohne Beweis: Jedes f ∈A^∗ kann als Linearkombination von Zust¨anden aufA geschrieben werden [Murphy, Theorem 3.3.10]. SetzeN :={ω ∈ B(H)∗ | ω(π(A)) = 0}. Zeige:

(a) Die Abbildung B(H)∗ → A^∗, ω 7→ ω◦π, faktorisiert zu einem iso- metrischen IsomorphismusB(H)_∗/N −→^∼= A^∗.

(b) Die Von-Neumann-Algebra π(A)⁰⁰ ⊂ B(H) ist als Banachraum iso- metrisch isomorph zu dem Bidualraum A^∗∗ von A.

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(c) Jeder∗-Homomorphismus vonC^∗-Algebren kann in eindeutiger Wei- se zu einem normalen ∗-Homomorphismus der einh¨ullenden Von- Neumann-Algebren fortgesetzt werden.

Die Von-Neumann-Algebra π(A)⁰⁰ wird die einh¨ullende Von-Neumann- Algebra von A genannt.

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