Brauergruppen
Benjamin Sambale
∗21. Dezember 2020
1 Einfache Algebren
Definition 1.1. Sei K ein Körper. Eine (K-)Algebra A ist ein Ring mit 1 und zugleich ein endlich- dimensionaler K-Vektorraum, sodass die Multiplikation mit der Skalarmultiplikation verträglich ist, d. h. es gilt
λ(ab) = (λa)b=a(λb) ∀λ∈K, ∀a, b∈A.
Mit A ist auch das Zentrum Z(A) := {a∈A :ab=ba∀b∈ A} eine K-Algebra. Ebenso hat man die entgegengesetzte AlgebraAo, bei der die Multiplikation durcha∗b:=bafüra, b∈Aersetzt wird. Man nennt A
• zentral, fallsZ(A) =K1∼=K,
• einfach, falls0und Adie einzigen Ideale inA sind,
• Divisionsalgebra, fallsA×=A\ {0}.
Satz 1.2. Für n ∈ N und jede zentrale Divisionsalgebra D ist Dn×n eine zentral einfache Algebra.
Insbesondere ist Kn×n zentral einfach.
Beweis. Sei 06=IEDn×n und A= (aij) ∈I mit ast 6= 0. Sei Eij ∈Dn×n die Matrix mit einer 1 an Position(i, j) und sonst nur Nullen. Für jedes B = (bij)∈Dn×n gilt
B =
n
X
i,j=1
bija−1st EisAEtj∈I.
Also istDn×n einfach. FürA= (aij)∈Z(Dn×n) gilt
(δisatj)i,j =EstA=AEst = (δjtais)i,j.
Dies zeigt aij = 0 für i6=j und a11=. . .=ann. Daher ist Z(Dn×n) = Z(D)1n=K1n.
∗Institut für Mathematik, Friedrich-Schiller-Universität Jena, 07737 Jena, Germany, benjamin.sambale@uni-jena.de
Beispiel 1.3. Jede endliche Körpererweiterung von K ist eine Divisionsalgebra. Umgekehrt ist jede kommutative Divisionsalgebra ein Körper. Jede DivisionsalgebraDist zentral über dem KörperZ(D). Fürn≥2istKn×nkeine Divisionsalgebra. Der FaktorringK[X]/(X2)ist eine nicht-einfache Algebra.
Schließlich bilden die Hamiltonschen Quaternionen
H:=n a b
−b a
:a, b∈C
o⊆C2×2
eine nicht-kommutativeR-Divisionsalgebra.
Bemerkung 1.4. Jeder Modul M einer Algebra A wird durch λm := (λ1A)m (λ ∈ K, m∈ M) zu einemK-Vektorraum. IstM alsA-Modul endlich erzeugt, so istMals Vektorraum endlich-dimensional.
Homomorphismen zwischen A-Moduln sind auch K-linear. Ist M einfach und 0 6= m ∈ M, so ist f : A → M, a 7→ am ein Epimorphismus und es folgt M ' A/Ker(f). Daher tritt jeder einfache Modul als Kompositionsfaktor des regulären Moduls auf. Nach Jordan-Hölder gibt es nur endlich viele einfache Moduln bis auf Isomorphie.
Satz 1.5(Schurs Lemma). SeiA eine Algebra undM ein einfacher A-Modul. Dann ist die Endomor- phismenalgebra EndA(M) eine Divisionsalgebra.
Beweis. Mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation sowie mit der Komposition als Multiplikation wird E := EndA(M) eine Algebra. Für f ∈ E\ {0} sind Ker(f) 6= M und f(M) 6=
0 Untermoduln des einfachen Moduls M. Daher gilt Ker(f) = 0 und f(M) = M. Also ist f ein Isomorphismus und daher invertierbar inE.
Bemerkung 1.6. Jeder A-Modul M wird durch f m := f(m) (f ∈ EndA(M), m ∈ M) zu einem EndA(M)-Modul. Nach Algebra 2 besitzt jeder Modul über einer Divisionsalgebra eine Basis und jede zwei Basen sind gleichmächtig. Man spricht dann auch von Vektorräumen und deren Dimension.
Satz 1.7 (Wedderburn). Jede einfache Algebra Abesitzt nur einen einfachen Modul S bis auf Isomor- phie. Für die Divisionsalgebra D:= EndA(S) gilt A∼= (Do)n×n, wobeindie Dimension von S überD ist (n ist auch die Vielfachheit von S als Kompositionsfaktor des regulären A-Moduls). Insbesondere sind n undD (bis auf Isomorphie) eindeutig durch A bestimmt.
Beweis. WegendimA <∞existiert ein einfacher UntermodulS des regulärenA-Moduls (also ein mi- nimales Linksideal). Füra∈Aist die AbbildungS→A,x7→xaein Homomorphismus. Insbesondere ist Saein Untermodul von A. Außerdem ist P
a∈ASaein Ideal und die Einfachheit von A zeigt A= P
a∈ASa. Wir wählena1, . . . , an∈Aminimal mitA=Sa1+. . . San. Dann istSa1∩(Sa2+. . .+San) ein echter Untermodul des einfachen Moduls Sa1. Dies zeigt Sa1 ∩ (Sa2 + . . . +San) = 0 und A = Sa1⊕. . .⊕San. Dabei ist S ' Sa1 ' . . . ' San einfach. Nach Jordan-Hölder ist S der ein- zige einfacheA-Modul bis auf Isomorphie. Außerdem existieren kanonische Isomorphismen
A∼= EndA(A)o∼= EndA(Sn)o ∼= (Dn×n)o∼= (Do)n×n
(benutze Projektion, Injektion und Transposition). Wegen ndimD(S) = dimD(A) = n2dim(D) ist n= dimD(S) undnist die Vielfachheit von S als Kompositionsfaktor vonA.
Satz 1.8. Jede Divisionsalgebra über einem algebraisch abgeschlossenen KörperK ist zu K isomorph.
Beweis. Sei D eine Divisionsalgebra und x ∈ D. Dann sind die Potenzen 1, x, x2, . . . linear abhängig über K. Daher existiert α ∈ K[X] mit α(x) = 0. Da K algebraisch abgeschlossen ist, zerfällt α in Linearfaktoren, etwa α = (X−a1). . .(X−an) mit a1, . . . , an ∈ K. Da D eine Divisionsalgebra ist, existiert einimit x−ai1A= 0, d. h.x=ai1A∈K1. Dies zeigt D=K1∼=K.
Lemma 1.9. SeiS ein einfacher Modul einer AlgebraA undD:= EndA(S). SeiT ⊆S eine endliche Teilmenge und I :={a∈A:aT = 0}. Für s∈S mitIs= 0 gilt dann s∈SpanDT.
Beweis. Induktion nach |T|. Im FallT =∅ ist I = A und s= 0∈ SpanKT. Sei also t∈ T und die Behauptung für T0 := T \ {t} bereits gezeigt. Sei I0 := {a∈A :aT0 = 0}. Im Fall I0t = 0 ist I0 =I und s ∈ SpanKT0 ⊆ SpanKT nach Induktion. Sei also I0t 6= 0. Offenbar ist I0t ein A-Untermodul von S und die Einfachheit von S liefert I0t = S. Die Abbildung f : S → S, it 7→ is mit i ∈ I0 ist wohldefiniert und A-linear, d. h.f ∈D. Für i∈I0 folgt i(s−f(t)) =is−if(t) =is−f(it) = 0. Also ist I0(s−f(t)) = 0 unds−f(t)∈SpanDT0 nach Induktion. Dies zeigt s∈SpanDT.
Satz 1.10(Jacobsons Dichtigkeitssatz). SeiSein einfacher Modul einer AlgebraAundD:= EndA(S).
Sei T ⊆S eine endliche D-linear unabhängige Teilmenge. Für jedes ϕ∈ EndD(S) existiert dann ein a∈A mitϕ(t) =at für alle t∈T.
Beweis. Durch Induktion nach |T| können wir T 6=∅annehmen. Sei s∈T und T0 :=T \ {s}. Nach Induktion existiert b ∈ A mit ϕ(t) = bt für alle t ∈ T0. Sei I := {a ∈ A : aT0 = 0}. Da T linear unabhängig ist, gilt s /∈SpanDT0. Nach Lemma 1.9 ist daherIs6= 0. Wie üblich ist dannIs=S und es existierti∈I mitis=ϕ(s)−bs. Für a:=b+i∈A gilt nun
ϕ(t) =
(bt=at fallst6=s, at fallst=s.
2 Tensorprodukte
Definition 2.1. SeienA undB Algebren mit Basena1, . . . , anbzw.b1, . . . , bm. SeiA⊗B =A⊗KB derK-Vektorraum mit Basisai⊗bj (1≤i≤n,1≤j≤m). Die Vorschrift (ai, bj)7→ai⊗bj definiert eine bilineare Abbildung⊗:A×B →A⊗B. Wir setzena⊗b:=⊗(a, b)für a∈Aundb∈B. Durch
(ai⊗bj)(ar⊗bs) :=aiar⊗bjbs
wirdA⊗B zu einer K-Algebra. Man nenntA⊗B dasTensorprodukt von Aund B.
Satz 2.2(Universelle Eigenschaft). Für AlgebrenA, B, C und jede bilineare Abbildungβ:A×B →C existiert genau ein K-Homomorphismus F :A⊗B →C mitF(a⊗b) =β(a, b).
Beweis. Wie oben seien a1, . . . , an und b1, . . . , bm Basen von A bzw.B. DurchF(ai⊗bj) :=β(ai, bj) erhält man die gewünschte Abbildung.
Lemma 2.3. Für Algebren A, B, C giltA⊗B ∼=B⊗A, A⊗K ∼=A undA⊗(B⊗C)∼= (A⊗B)⊗C.
Beweis. Die bilineare Abbildung A×B → B ⊗A, (a, b) 7→ b⊗a liefert eine lineare Abbildung F :A⊗B →B⊗A. Offenbar istF auch ein Isomorphismus von Algebren. Die anderen Behauptungen sind analog.
Bemerkung 2.4.
(i) Für x1 =Pn
j=1x1jaj, x2 =Pn
i=1x2iai∈A undy1 =Pn
i=1y1ibi, y2 =Pn
i=1y2ibi∈B gilt (x1⊗y1)(x2⊗y2) =X
i,j
x1iy1j(ai⊗bj)X
r,s
x2ry2s(ar⊗bs)
= X
i,j,r,s
x1iy1jx2ry2s(aiar⊗bjbs) =x1y1⊗x2y2.
(ii) Sei A = A1 ⊕A2 eine Zerlegung in Untervektorräume. Wir wählen eine Basis a1, . . . , an von A, sodass a1, . . . , ak (bzw. ak+1, . . . , an) eine Basis von A1 (bzw. A2) ist. Jedes Element von A×B lässt sich eindeutig in der Form Pn
i=1ai ⊗bi mit bi ∈ B schreiben. Dies zeigt A⊗B = (A1⊗B)⊕(A2⊗B). Man zeigt auch leicht A⊗B∼=B⊗A sowie(A⊗B)⊗C ∼=A⊗(B⊗C).
Lemma 2.5. Es gilt Z(A⊗B) = Z(A)⊗Z(B).
Beweis. Sicher istZ(A)⊗Z(B)⊆Z(A⊗B). SeiA= Z(A)⊕A1 eine Zerlegung in Untervektorräume und z∈Z(A⊗B). Wir schreiben z=x+y mit x∈Z(A)⊗B undy ∈A1⊗B. Daa⊗1 sowohl mit z als auch mitx vertauschbar ist, ist a⊗1auch mity vertauschbar für alle a∈A. Seib1, . . . , bm eine Basis vonB undy =Pm
i=1ai⊗bi mit ai∈A. Wegen
m
X
i=1
aia⊗bi =y(a⊗1) = (a⊗1)y=
m
X
i=1
aia⊗bi
gilt aia = aai für i = 1, . . . , m. Da a ∈ A beliebig war, gilt ai ∈ Z(A) für i = 1, . . . , m. Dies zeigt y ∈ A1 ∩Z(A) = 0 und Z(A⊗B) ⊆ Z(A)⊗B. Wir können nun analog B = Z(B)⊕B1 zerlegen und schreiben z = x+y mit x ∈ Z(A)⊗Z(B) sowie y ∈ Z(A)⊗B1. Dann ist y mit 1⊗b (b ∈ B) vertauschbar und man erhält leichty= 0. Insgesamt istZ(A⊗B)⊆Z(A)⊗Z(B).
Lemma 2.6. Seien A und B Algebren und n, m ∈N. Dann ist (An×n)m×m ∼=Anm×nm und An×n⊗ Bm×m ∼= (A⊗B)nm×nm.
Beweis. Die erste Aussage ergibt sich, indem man jede Matrix inAnm×nmals Blockmatrix mit Blöcken von Format n×nauffasst.
Das Kroneckerprodukt von Matrizen liefert eine bilineare AbbildungAn×n×Bm×m→(A⊗B)nm×nm. Diese liefert eine Homomorphismus von K-Algebren An×n⊗Bm×m → (A⊗B)nm×nm. Wählt man Basena1, . . . , ar von Aundb1, . . . , bsvon B, so bilden die Matrizen aiEkl bzw.biEkl Basen vonAn×n bzw.Bm×m. Dann bilden
F(aiEkl⊗bjEpq) = (ai⊗bj)E(k−1)m+p,(l−1)m+p
eineK-Basis von(A⊗B)nm×nm. Also istF surjektiv und aus Dimensionsgründen auch injektiv.
Lemma 2.7. SeiAeine einfache Algebra undB eine zentral einfache Algebra. Dann istA⊗B einfach.
Beweis. Nach Wedderburn existieren Divisionsalgebren DA und DB und n, m ∈ N mit A ∼= DAn×n sowieB ∼=Dm×mB . Dabei ist Z(DB)∼= Z(Dm×mB )∼= Z(B)∼=K. Mit Lemma 2.6 folgt
A⊗B ∼= (DA⊗DB)nm×nm.
Wir werden zeigen, dassDA×DB einfach ist, denn dann existiert eine DivisionsalgebraD undk∈N mit DA⊗DB ∼=Dk×k und
A⊗B ∼=Dknm×knm
nach Lemma 2.6. Wir können nun alsoA=DAund B =DB annehmen.
Sei a1, . . . , an eine K-Basis von A und 0 6=IEA⊗B. Wähle x∈ I\ {0}, sodass in der eindeutigen Darstellung x =Pn
i=1ai⊗bi möglichst viele der bi verschwinden. O. B. d. A. sei b1 6= 0. Nach Multi- plikation mit 1⊗b−11 können wir b1 = 1 annehmen (beachte: B =DB ist eine Divisionsalgebra). Für alle b∈B gilt dann
I 3(1⊗b)x−x(1⊗b) =
n
X
i=2
ai⊗(bbi−bib).
Die Wahl von x zeigt bbi =bib, d. h. bi ∈Z(B) =K1B. Daher ist x= Pn
i=1biai
⊗1. Insbesondere ist J := {a ∈ A : a⊗1 ∈ I} ein nicht-triviales Ideal in A. Da A einfach ist, gilt 1 ∈ J und daher 1 = 1⊗1∈I.
Beispiel 2.8. Das Tensorprodukt von beliebigen einfachen Algebren muss nicht einfach sein: SeiK= R, x := i⊗1 ∈ C⊗C und y := 1⊗i ∈ C⊗C. Wir definieren eine lineare Abbildung f : C⊗C → C⊕C durch f(1⊗1) := (1,1),f(x) = (i,i),f(y) = (i,−i) und f(xy) =f(x)f(y) = (−1,1). Wegen f(x2) = f(−1) = (−1,−1) = f(x)2 und f(y2) = f(y)2 ist f ein Isomorphismus von Algebren, d. h.
C⊗C∼=C⊕C.
3 Zentral einfache Algebren
Satz 3.1. SindA und B zentral einfache Algebren, so auch A⊗B. Beweis. Folgt aus Lemma 2.5 und Lemma 2.7.
Satz 3.2. Eine Algebra Aist genau dann zentral einfach, wenn die AbbildungF :A⊗Ao→EndK(A) mitF(a⊗b)(x) :=axb ein Isomorphismus von Algebren ist.
Beweis. Für a, b∈A ist offenbar fa,b:A→ A,x7→ axbein K-Homomorphismus. Man den Axiomen für Algebren ist die Abbildung A ×Ao → EndK(A), (a, b) 7→ fa,b bilinear. Mit der universellen Eigenschaft erhält man, dassF K-linear ist. Füra, b, c, d∈A ist außerdem
F((a⊗b)(c⊗d))(x) =F(ac⊗db)(x) =acxdb=F(a⊗b)(F(c⊗d)(x)).
Daher istF ein Homomorphismus von Algebren.
Sei nunAzentral einfach. Nach Satz 3.1 istA⊗Aoeinfach und daherKer(F) = 0. WegendimA⊗Ao= dim2A = dim EndK(A) ist F ein Isomorphismus. Sei umgekehrt F ein Isomorphismus. Dann ist A⊗Ao ∼= EndK(A) ∼= Kn×n zentral einfach. Wegen Z(A) ⊗Z(A) ∼= Z(A⊗Ao) ∼= Z(K) ist auch Z(A)∼=K. Für06=IEAist auch 06=I⊗AoEA⊗Ao. DaA⊗Ao einfach ist, folgtdim(I) dim(A) = dim(I⊗Ao) = dim(A⊗Ao) = dim2(A) undI =A. Also istA einfach.
Definition 3.3. Zentral einfache Algebren A und B heißen äquivalent, falls eine Divisionsalgebra D undn, m∈NmitA∼=Dn×nsowieB ∼=Dm×mexistiert. Offenbar definiert dies eine Äquivalenzrelation.
Die Äquivalenzklasse vonAbezeichnen wir mit[A]. Schließlich seiBr(K) :={[A] :A zentral einfach}. Bemerkung 3.4. Nach Wedderburn enthält jede Äquivalenzklasse von zentral einfachen Algebren genau eine Divisionsalgebra.
Satz 3.5. Durch
[A]·[B] := [A⊗B]
wird Br(K) zu einer abelschen Gruppe. Man nennt Br(K) die Brauergruppe vonK.
Beweis. Seien D, DA, DB Divisionsalgebren mit A ∼= Dn×nA , B ∼= Dm×mB und DA ×DB ∼= Dk×k. Wie in Lemma 2.7 ist A⊗B ∼= Dnmk×nmk. Daraus folgt leicht, dass [A]·[B] nicht von der Wahl der Repräsentanten A und B abhängt. Nach Lemma 2.3 ist ·assoziativ, kommutativ und [K] ist ein neutrales Element. Nach Satz 3.2 ist [A]·[Ao] = [EndK(A)] = [Kn×n] = [K]. Also ist[Ao]das Inverse zu [A].
Beispiel 3.6. Für jeden algebraisch abgeschlossenen KörperK ist Br(K) = 1nach Satz 1.8.
Satz 3.7 (Skolem-Noether). Sei A zentral einfach und B einfach. Für Homomorphismen f, g : B →A existiert ein a∈A× mitf(x) =ag(x)a−1 für alle x∈A.
Beweis. Wir betrachten Mf :=A alsA⊗Bo-Modul via
(a⊗b)m:=amf(b) (a∈A, b∈B, m∈M).
Nach Lemma 2.7 ist A⊗Bo einfach. Insbesondere besitzt A⊗Bo nur einen einfachen Modul S bis auf Isomorphie. Daher ist Mf 'Sk für ein k∈N. Analog ist auchMg einA⊗Bo-Modul der gleichen Dimension. Daher ist Mf 'Sk'Mg. Seiϕ:Mf →Mg ein Isomorphismus. Füra:=ϕ(1)undx∈A gilt dann
ag(x) = (1⊗x)ϕ(1) =ϕ((1⊗x)1) =ϕ(f(x)) =ϕ((f(x)⊗1)1) = (f(x)⊗1)ϕ(1) =f(x)a.
Fürb:=ϕ−1(1)giltba= (b⊗1)ϕ(1) =ϕ((b⊗1)1) =ϕ(b) = 1 =ab. Daher ista∈A×.
Beispiel 3.8. Aus Skolem-Noether folgt, dassKn×nnur innere Automorphismen besitzt (setzeA=B und g= 1).
Satz 3.9(Doppel-Zentralisator-Satz). SeiA eine zentral einfacheK-Algebra und B⊆Aeine einfache Unteralgebra. Dann gilt
(i) C:= CA(B) ist einfach,
(ii) IstD eine Divisionsalgebra mitC ∼=Dk×k, so giltA⊗Bo∼=Dn×n mit k|n.
(iii) dimA= dim(B) dim(C), (iv) CA(C) =B.
Beweis.
(i) Seif :B →Adie Inklusionsabbildung. Wie im Satz von Skolem-Noether betrachten wirMf :=A als Modul der einfachen AlgebraA⊗Bo. SeiSder einfacheA⊗Bo-Modul undD:= EndA⊗Bo(S) eine Divisionsalgebra (Schurs Lemma). Dann ist (A⊗ Bo)o ∼= Dn×n, wobei S ∼= Dn×1. Sei Mf ∼=Sk. Nach Schurs Lemma istE:= EndA⊗Bo(Mf)∼=Dk×keinfach. Seiϕ∈Eunda:=ϕ(1).
Fürb∈B gilt dann
ab= (1⊗b)ϕ(1) =ϕ((1⊗b)1) =ϕ((b⊗1)1) = (b⊗1)ϕ(1) =ba,
d. h. a∈ C. Für jedes c ∈ C ist umgekehrt die Abbildung ϕ :M → M, m 7→ cm ein Element von E. Daher ist die Abbildung E → Co, ϕ 7→ ϕ(1) ein Isomorphismus von Algebren. Folglich istC ∼=Eo einfach.
(ii) Es gilt C ∼= Eo ∼= (Do)k×k und A⊗Bo ∼= (Do)n×n. Wegen kdim(A) dim(B) = kn2dim(D) = nkdim(S) =ndim(Mf) =ndim(A) istk|n.
(iii) Nun gilt
dim(A) dim(B) dim(C) = dim(A⊗Bo) dim(E) = (nkdim(D))2
= dim(kdim(S))2 = dim(Mf)2 = dim(A)2.
(iv) DaC einfach ist, können wirB durch C ersetzen und erhalten
dim(C) dim(CA(C)) = dim(A) = dim(C) dim(B).
WegenB ⊆CA(C) folgt CA(C) =B.
Lemma 3.10. Ein Teilkörper L einer Divisionsalgebra D ist genau dann maximal, wenn CD(L) =L gilt.
Beweis. Im Fall CD(L) = L ist L sicher maximal. Sei nun umgekehrt L maximal und c ∈ CD(L). Dann ist auchL(c) ein Teilkörper vonD und es folgtc∈L.
Satz 3.11. Sei L ein maximaler Teilkörper einer zentralen Divisionsalgebra D. Dann ist dimD = dim(L)2 und L⊗D∼=Ln×n mitn:= dimL.
Beweis. Nach Lemma 3.10 und dem Doppel-Zentralisator-Satz gilt dimD = dim(L) dim(CD(L)) = dim(L)2 undD⊗L∼=D⊗Lo ∼=Ln×n. Dimensionsvergleich zeigt n= dimL.
Satz 3.12 (Wedderburn). Jeder endliche Schiefkörper ist ein Körper.
Beweis. Sei R ein endlicher Schiefkörper. Offenbar ist K := Z(R) ein Körper und R wird zu einer zentralen Divisionsalgebra. SeiL⊆R ein maximaler Teilkörper. Nach Satz 3.11 ist dimR= dim(L)2. Insbesondere ist |L|eindeutig bestimmt. Jeder weitere maximale Teilkörper L0 von R ist als endlicher Körper dazu zu L isomorph (Algebra 1). Sei f : L → L0 ⊆ R ein Isomorphismus und g : L → R die Inklusionsabbildung. Nach Skolem-Noether gilt f(x) = axa−1 für ein x ∈ R×, d. h. L und L0 sind konjugiert. Jedes Element x ∈ R erzeugt einen Teilkörper K(x) ⊆ R und liegt daher in einem maximalen Teilkörper. Man hat daher eine Vereinigung von Gruppen
R×= [
x∈R×
xL×x−1.
Wegen 1 ∈ L× sind die Konjugierten nicht disjunkt. Die Anzahl der Konjugierten ist bekanntlich
|R×: NR×(L×)| ≤ |R:L×|. Im Fall L6=R hätte man den Widerspruch
|R×|<|L×||R×:L×|=|R×|.
Daher istR=Lein Körper.
Bemerkung 3.13. Für jeden endlichen KörperK gilt daherBr(K) = 1.
Satz 3.14 (Frobenius). Jede endlich-dimensionale Divisionsalgebra über R ist zu R, C oder H iso- morph. Insbesondere ist Br(R) =h[H]i ∼=C2.
Beweis. SeiDeineR-Divisionsalgebra. Wir identifizierenRmit R1D ⊆Dund nehmen R6=Dan. Sei L⊆D ein maximaler Teilkörper undx∈Lein primitives Element der separablen Körpererweiterung R⊆ L. Für das irreduzible Minimalpolynomµ ∈R[X] von x gilt bekanntlich |L:R|=|R(x) : R|= degµ= 2nach dem Fundamentalsatz der Algebra. Seiµ=X2+aX+bmita, b∈R. Daµirreduzibel ist, gilty:=Dµ=a2−4b <0und
L=R(x) =R(√ y) =R
√y
√−y
=R(√
−1)∼=C.
Wir können daherx2 =−1 annehmen. Im Fall Z(D) = L ist D∼=Cnach Satz 3.11. Anderenfalls ist D zentral mit dimD = dim(L)2 = 4. Nach Skolem-Noether sind x und −x inD konjugiert. Sei also y ∈Dmit yx=−xy. Dann isty2 ∈CD(L)∩R(y) =L∩R(y) = R. Im Fall y2 >0 wäre y ∈R⊆L, denn das Polynom X2−y2 besitzt höchstens zwei Nullstellen in R(y). Nach Normierung können wir alsoy2 =−1annehmen. Wegeny /∈L ist1, x, y, xy eineR-Basis vonDund die Multiplikationstabelle ist eindeutig bestimmt. Dies zeigtD∼=H.
4 Zerfällungskörper
Definition 4.1. Für eine endliche Körpererweiterung K ⊆ L und eine Algebra A sei AL := L⊗A. Durch
λ(x⊗a) := (λ⊗1)(x⊗a) = (λx)⊗a (λ, x∈L, a∈A)
wirdALzu einerL-Algebra. Man sagt,ALentsteht durchSkalarerweiterung ausA. Existiert einn∈N mit AL∼=LLn×n, so nennt man LZerfällungsköper vonA.
Bemerkung 4.2.
(i) Ist a1, . . . , an eine Basis von A, so ist 1⊗a1, . . . ,1⊗an eine L-Basis von AL. Insbesondere ist dimA= dimL(AL).
(ii) Seif :AL→Ln×nein Ringisomorphismus. Einschränken vonf liefert einen Ringisomorphismus L⊗Z(A) ∼= Z(AL) →Z(Ln×n) ∼=L. Insbesondere ist AL zentral einfach. Nach Skolem-Noether kann man f(λ⊗1) = λ1n für λ ∈ L annehmen. Dann ist f auch ein Isomorphismus von L- Algebren. Für die Konstruktion von Zerfällungskörpern genügt es also Ringisomorphismen zu betrachten.
(iii) Nach Satz 3.11 besitzt jede zentrale Divisionsalgebra D einen Zerfällungskörper L, sagen wir DL∼=Ln×n. Wegen L⊗Dk×k∼=DLk×k∼=Lnk×nk besitzt auch jede zentral einfache Algebra einen Zerfällungskörper.
(iv) MitList auch jede endliche Erweiterung M von Lein Zerfällungskörper von A, denn AM =M ⊗A∼=M⊗LL⊗A∼=M ⊗LAL∼=M⊗LLn×n∼= (M ⊗LL)n×n∼=Mn×n
(betrachtex⊗a7→x⊗(1⊗a)für x∈M unda∈A).
Satz 4.3. Für jede endliche Körpererweiterung K⊆L ist die Abbildung Br(K)→Br(L), [A]7→[AL]
ein wohldefiniert Homomorphismus. Sein Kern bezeichnet man mitBr(L|K).
Beweis. SeiA eine zentral einfache K-Algebra. Nach Lemma 2.7 ist AL einfach und nach Lemma 2.5 ist Z(AL) ∼= Z(A)⊗L ∼= K ⊗L ∼= L. Also ist [AL] ∈ Br(L). Sei [A] = [B] mit A ∼= Dn×n und B ∼= Dm×m für eine Divisionsalgebra D. Dann ist AL = L⊗Dn×n ∼= Dn×nL nach Lemma 2.6. Wie bereits gezeigt, istDL eine einfacheL-Algebra. Also existiert eine Divisionsalgebra E mit DL∼=Ek×k und es folgt AL ∼= Enk×nk sowie BL ∼= Emk×mk. Daher ist [AL] = [BL]. Für [A],[B] ∈ Br(K) gilt schließlich
(A⊗B)L=L⊗A⊗B ∼=A⊗(L⊗LL)⊗B∼= (A⊗L)⊗L(L⊗B)∼=AL⊗LBL
(betrachtex⊗a⊗b→(x⊗a)⊗(1⊗b)fürx∈L,a∈A,b∈B). Dies zeigt[AL][BL] = [(A⊗B)L].
Bemerkung 4.4. Nach Bemerkung 4.2 gilt
Br(K) = [
L⊇K,
|L:K|<∞
Br(L|K).
Satz 4.5 (Noether). Jede zentrale Divisionsalgebra D besitzt einen maximalen Teilkörper L, sodass K ⊆L separabel ist.
Beweis. Wir argumentieren durch Induktion nach dim(D). Dabei können wir D 6= K und charK = p >0annehmen. Ist jedes Element ausDseparabel überK, so folgt die Behauptung aus Satz 3.11. Sei nun x∈ D\K inseparabel mit Minimalpolynom µ. Wegen µ0 = 0 existiert ein irreduzibles Polynom ν ∈ K[X] mit µ(X) = ν(Xp). Dann ist ν das Minimalpolynom von xp. Ist auch xp inseparabel, so können wir xp2 betrachten usw. Am Ende erhalten wir ein inseparables Element x ∈ D, sodass xp separabel ist. Nehmen wirxp ∈K an und betrachten die Abbildung δ:D→D,d7→dx−xd. Wegen x /∈K = Z(D), existiert einy∈Dmit δ(y)6= 0. Mit Induktion nach k≥0erhält man
δk(y) =
k
X
i=0
(−1)i k
i
xiyxk−i.
Insbesondere ist
δp(y) =yxp−xpy= 0
wegenxp ∈K. Seim∈Nminimal mitδm(y)6= 0und sei z:=δm−1(y) sowiew:=δm−2(y). Dann ist z=δ(w) =wx−xw. Setzeu:=x−1z. Wegenδ(z) = 0ist ux=xu. Es folgt
x=zu−1= (wx−xw)u−1=wxu−1−xwu−1 = (wu−1)x−x(wu−1).
Für a:= wu−1 gilt also x= ax−xa und a= 1 +xax−1. Wie zu Beginn des Beweises existiert eine Potenzpn=q, sodassaq separabel ist. Nun ist aberaq= 1 +xaqx−1. Insbesondere sindxundaq nicht vertauschbar und es folgtaq∈/ K. Damit haben wir ein separables Elementa∈D\K gefunden.
Sei M := K(a) und C := CD(M). Offenbar ist C eine Divisionsalgebra und nach Satz 3.9 ist M ⊆ Z(C)⊆CD(C) =M. Also istC zentral überM mit dimM(C)<dimK(D). Nach Induktion besitzt C einen maximalen Teilkörper L, der separabel überM ist. Bekanntlich istL dann auch separabel über K. Außerdem ist dimM(C) = dimM(L)2. Nach Satz 3.9 ist
dim(D) = dim(M) dim(C) = dimM(C) dim(M)2 = dimM(L)2dim(M)2= dim(L)2. Nach Satz 3.11 ist Lalso auch ein maximaler Teilkörper von D.
Folgerung 4.6. Jede zentral einfache Algebra besitzt einen Zerfällungskörper L, sodass K ⊆L eine Galoiserweiterung ist.
Beweis. Es genügt die Behauptung für zentrale Divisionsalgebren Dzu beweisen. Nach Satz 4.5 exis- tiert ein maximaler Teilkörper L ⊆ D, sodass K ⊆L separabel ist. Bekanntlich liegt jede separable Erweiterung in einer Galois-Erweiterung K⊆M. Nun ist auch M ein Zerfällungskörper vonD.
Definition 4.7. In der Situation von Satz 4.5 heißt LeinGalois-Zerfällungskörper von A.
Lemma 4.8. Sei L ein Zerfällungskörper einer zentralen Divisionsalgebra D. Dann ist L zu einer Unteralgebra von Dn×n isomorph, wobeidim(L)2 =n2dim(D) ist.
Beweis. Sei DL ∼=Lk×k und sei S 'Lk×1 der einfache DL-Modul. Wie üblich ist dann S einL- und ein D-Vektorraum. Die Skalarmultiplikation vonL bewirkt einen Algebrenhomomorphismus f :L → EndD(S), der injektiv ist, da L einfach ist. Da S über D eine Basis besitzt, gilt EndD(S) ∼= Dn×n mit n := dimD(S). Nun ist dim(D) dim(L) = dim(DL) = k2dim(L) und kdim(L) = dim(S) = dimD(S) dim(D) =nk2. Es folgtdim(L)2=n2k2 =n2dim(D).
5 Faktorensysteme
Definition 5.1. SeiK⊆Leine Galois-Erweiterung undG:= Gal(L|K). SeiCn(G, L×)Gruppe aller AbbildungGn→L×bzgl. komponentenweiser Verknüpfung. Ein γ ∈C2(G, L×) heißtFaktorensystem (oder2-Kozyklus), falls
γ(g, h)γ(gh, k) =g(γ(h, k))γ(g, hk) ∀g, h, k∈G. (5.1) Die Menge aller Faktorensysteme bildet eine Untergruppe Z2(G, L×)≤C2(G, L×).
Lemma 5.2. Die Abbildung ∂ : C1(G, L×) → Z2(G, L×) mit ∂λ(g, h) = λ(g)g(λ(h))λ(gh)−1 für λ∈C1(G, L×) und g, h∈G ist ein Homomorphismus.
Beweis. Fürg, h, k∈Ggilt
∂λ(g, h)∂λ(gh, k) =λ(g)g(λ(h))λ(gh)−1λ(gh)(gh)(λ(k))λ(ghk)−1
=g(λ(h)h(λ(k))λ(hk)−1)λ(g)g(λ(hk))λ(ghk)−1=g(∂λ(h, k))∂λ(g, hk).
Daher bildet ∂ nachZ2(G, L×) ab. Die Homomorphie ist offensichtlich.
Definition 5.3. Man setztB2(G, L×) :=∂(C1(G, L×))und nenntH2(G, L×) :=Z2(G, L×)/B2(G, L×) diezweite Kohomologiegruppe von Gmit Werten in L×.
Lemma 5.4. Für γ ∈ Z2(G, L×) und g ∈ G gilt γ(1, g) = γ(1,1) und g(γ(1,1)) = γ(g,1). Jedes Element von H2(G, L×) enthält ein normalisiertes Faktorensystemγ mitγ(1, g) =γ(g,1) = 1 für alle g∈G.
Beweis. Setzt mang=h= 1in (5.1), so folgt γ(1,1)γ(1, k) =γ(1, k)γ(1, k). Setzt manh=k= 1, so ergibt sichγ(g,1)γ(g,1) =g(γ(1,1))γ(g,1). Für die zweite Behauptung ersetzt man γ durchγ∂λmit λ(g) :=γ(1,1)−1.
Definition 5.5. SeiDeine zentrale Divisionsalgebra mit Galois-ZerfällungskörperL. Nach Lemma 4.8 lässt sichL in die zentral einfache AlgebraA:=Dn×neinbetten. Dabei giltdim(A) = dim(L)2. Nach dem Doppel-Zentralisator-Satz ist L ein maximaler Teilkörper von A. Insbesondere ist CA(L) = L. Sei G:= Gal(L|K) und g ∈G. Nach Skolem-Noether lässt sichg zu einem inneren Automorphismus von A fortsetzen. Sei ag ∈ A× mit g(x) = agxa−1g für alle x ∈ L. Wegen CA(L) = L ist ag bis auf L-Multiplikation eindeutig bestimmt. Ist auchh∈G, so gilt
aghxa−1gh = (gh)(x) =g(h(x)) =agahxa−1h a−1g .
Daher istagah=γ(g, h)agh mitγ(g, h)∈L×.
Lemma 5.6. Die Abbildung γ : G×G → L× ist ein Faktorensystem. Die induzierte Nebenklasse γ ∈H2(G, L×) hängt nicht von der Wahl derag ab.
Beweis. Seieng, h, k∈Gund x∈A. Dann ist
γ(g, h)γ(gh, k)aghk =γ(g, h)aghak= (agah)ak=ag(ahak) =agγ(h, k)ahk
=g(γ(h, k))agahk =g(γ(h, k))γ(g, hk)aghk.
Dies zeigt γ ∈Z2(G, L×). Sei nunλ:G→L× mit a0g =λ(g)ag und a0ga0h=γ0(g, h)a0gh. Dann folgt γ0(g, h)λ(gh)agh=γ0(g, h)a0gh=a0ga0h =λ(g)agλ(h)ah=λ(g)g(λ(h))γ(g, h)agh
und γ0(g, h) =γ(g, h)λ(g)g(λ(h))λ(gh)−1. Dies zeigtγ0 =γ∂λ.
Definition 5.7. SeiK ⊆L eine Galois-Erweiterung,G:= Gal(L|K)und γ ∈Z2(G, L×). Wir definie- ren dieverschränkte Gruppenalgebra LγGalsK-Vektorraum LGmit der Multiplikation
λgg·λhh:=λgg(λh)γ(g, h)gh (g, h∈G, λg, λh∈L).
Satz 5.8. Mit den Bezeichnungen aus Definition 5.7 ist LγG eine zentral einfache K-Algebra mit Zerfällungskörper L.
Beweis. Fürg, h, k∈Ggilt
(λgg·λhh)·λkk=λgg(λh)γ(g, h)gh·λkk=λgg(λh)γ(g, h)(gh)(λk)γ(gh, k)ghk
=λgg(λhh(λk))g(γ(h, k))γ(g, hk)ghk =λgg·λhh(λk)γ(h, k)hk
=λgg·(λhh·λkk)
Dies zeigt die Assoziativität der Multiplikation inA:=LγG. Das Einselement iste:=γ(1,1)−11, denn nach Lemma 5.4 gilt eg = γ(1,1)−1γ(1, g)g = g sowie ge =g(γ(1,1))−1γ(g,1)g = g für alle g ∈ G. Somit wirdA eineK-Algebra. Sei x:=P
g∈Gλgg∈Z(A). Fürµ∈L ist X
g∈G
µλgg=µx=xµ=X
g∈G
λgg(µ)g.
Im Fall λg 6= 0 ist daher g(µ) =µfür alle µ∈L. Dies zeigtx=λ1 undCA(L) =L. Außerdem ist g(λ1)g=gx=xg=λ1g
für alle g∈G. Daher istλ1∈LG=K undZ(A) =K.
Sei nun 06=IEA. Wir wählenx=P
g∈Gλgg∈I\ {0}, sodass möglichst vieleλg verschwinden. Nach Multiplikation mit einem g∈Gkönnen wirλ16= 0 annehmen. Sei µ∈Lbeliebig. Dann gilt
I 3xµ−µx= X
g∈G\{1}
(λgg(µ)−µλg)g
und es folgtxµ=µx. Daher istx∈CA(L) =L. Insbesondere istxinvertierbar und man erhältI =A. Also istA einfach.
Nach dem Doppel-Zentralisator-Satz istL⊗A∼=A⊗CA(L)o∼=Ln×n. Somit istLein Zerfällungskörper von A.
Lemma 5.9. Für γ, δ,∈Z2(G, L×) gilt LγG∼=LδG genau dann, wenn γ ≡δ (modB2(G, L×)).
Beweis. Sei A := LγG, B := LδG und f : A ∼= B. Offenbar ist L → A, λ 7→ γ(1,1)−1λ1 ein Monomorphismus. Wir können daher L als Teilkörper von A und B auffassen. Nach Skolem-Noether können wir dann f(λ) =λfür alleλ∈Lannehmen. Für g∈G gilt
f(g)λ=f(gλ) =f(g(λ)g) =g(λ)f(g).
Dies zeigt f(g) =µ(g)gfür µ(g)∈CB(L) =L. Nun ist
γ(g, h)µ(gh)gh=γ(g, h)f(gh) =f(γ(g, h)gh) =f(g·h) =f(g)·f(h)
=µ(g)g·µ(h)h=µ(g)g(µ(h))δ(g, h)gh, also γ =δ∂µ.
Sei umgekehrt γ = δ∂µ mit µ ∈ C1(G, L×). Wir betrachten die lineare Abbildung f : A → B, λg 7→ λµ(g)g für g ∈ G und λ ∈ L. Wegen γ(1,1) = δ(1,1)µ(1)1(µ(1))µ(1)−1 = δ(1,1)µ(1) gilt f(1A) =f(γ(1,1)−11) =γ(1,1)−1µ(1) =δ(1,1)−11 = 1B. Fürg, h∈Gund λg, λh∈List
f(λgg·λhh) =f(λgg(λh)γ(g, h)gh) =λgg(λh)γ(g, h)µ(gh)gh
=λgg(λh)δ(g, h)µ(g)g(µ(h))gh=λgµ(g)g·λhµ(h)h=f(λgg)·f(λhh).
Also ist f ein Homomorphismus. Da A einfach ist, ist f injektiv. Wegen dimA = dimB ist f auch surjektiv.
Satz 5.10. Für jede Galois-Erweiterung K ⊆L mitG:= Gal(L|K) ist Γ : H2(G, L×)→Br(L|K),
γ 7→[LγG]
ist ein Isomorphismus.
Beweis. Nach Satz 5.8 und Lemma 5.9 ist Γ wohldefiniert. Sei D eine zentrale Divisionsalgebra mit Zerfällungskörper L. Wie in Definition 5.5 ist L zu einer Unteralgebra vonA:= Dn×n isomorph und man erhält ag ∈A× und γ ∈ Z2(G, L×) mit g(x) = agxa−1g und agah =γ(g, h)agh für g, h∈ G und x∈L. Daher ist f :LγG→A, λg7→ λag ein Homomorphismus von Algebra. DaLγG einfach ist, ist f surjektiv. Nach Lemma 4.8 ist
dim(LγG) = dim(L)|G|= dim(L)|L:K|= dim(L)2=n2dim(D) = dim(A).
Also istf ein Isomorphismus undΓist surjektiv.
Seien nun γ, δ ∈ Z2(G, L×), A := LγG, B := LδG und C := LγδG. Nach Lemma 5.4 können wir γ(1,1) = δ(1,1) = 1 annehmen. Das neutrale Element von G ist dann das Einselement in A,B und C. Wir dürfen alsoL als Unteralgebra vonA,B undC auffassen. Wir betrachten dieK-Vektorräume U :=hλa⊗b−a⊗λb:a∈A, b∈B, λ∈Li und
V := (A⊗B)/U
(es giltV ∼=A⊗LB). Offenbar istU ein Untermodul des regulärenA⊗B-Rechtsmoduls. Daher ist V ein (A⊗B)o-Linksmodul. Sei n:= dimL =|G|. Seien a1, . . . , an2 ∈A und b1, . . . , bn2 ∈ B K-Basen von Abzw.B. Fürλgg∈C mit λg ∈L,g∈Gdefinieren wir
(λgg)(ai⊗bj) :=λggai⊗gbj.
Fürµ∈L ist
(λgg)(µai⊗bj−ai⊗µbj) =λgg(µ)gai⊗gbj−λggai⊗g(µ)gbj =g(µ)(λggai)⊗gbj−λggai⊗g(µ)gbj ∈U.
Fürλhh∈C gilt
(λgg·λhh)(ai⊗bj) = (λgg(λh)γ(g, h)δ(g, h)gh)(ai⊗bj) =λgg(λh)γ(g, h)δ(g, h)ghai⊗ghbj
≡λgg(λh)γ(g, h)ghai⊗δ(g, h)ghbj ≡(λgg)(λhhai⊗hbj)
≡(λgg)((λhh)(ai⊗bj)) (mod U).
Durch lineare Fortsetzung wird wirdV zu einem C-Modul. Da die beiden Operationen kommutieren, erhält man einen Homomorphismus f : (A⊗B)o →EndC(V). DaA⊗B einfach ist, ist f injektiv.
Offenbar bilden die Elemente der Formai⊗gmit1≤i≤n2 undg∈GeineK-Basis vonV. Dies zeigt dimV =n3. SeiC'Srdie Zerlegung des regulärenC-Moduls mit den einfachen ModulSder einfachen Algebra C. Wegen n2 = dimC = rdimS folgt V ' Snr. Nach Wedderburn ist EndC(V) ∼= Dnr×nr mit der DivisionsalgebraD:= EndC(S). Außerdem istn2 = dimCo= dim EndC(C) =r2dimD. Dies zeigt
dim(A⊗B)o =n4=n2r2dimD= dim EndC(V).
Daher ist f ein Isomorphismus. Insbesondere ist A⊗B ∼= (Do)nr×nr sowieC ∼= (Do)r×r. Dies liefert [A]·[B] = [C], d. h. Γist ein Epimorphismus.
Für die Injektivität betrachten wir das triviale Faktorensystem γ =: 1 mit γ(g, h) = 1 für alleg, h ∈ G. Dann besitzt A := L1G den einfachen Untermodul S := Le mit e := P
g∈Gg. Daher ist A ∼= EndA(Sn)o ∼= (EndA(S)o)n×n und EndA(S)o ∼= K aus Dimensionsgründen. Also ist Γ(1) = 1. Sei nun γ ∈ Z2(G, L×) mit Γ(γ) = 1. Dann ist LγG ∼= Kn×n ∼= L1G und Lemma 5.9 zeigt γ ≡ 1 (modB2(G, L×)).
Satz 5.11. Für γ ∈H2(G, L×) ist γ|G|= 1. Insbesondere ist Br(K) eine Torsionsgruppe.
Beweis. Seiδ(g) :=Q
x∈Gγ(g, x) fürg∈G. Nach (5.1) ist γ(g, h)|G|δ(gh) = Y
x∈G
γ(g, h)γ(gh, x) = Y
x∈G
g(γ(h, x))γ(g, hx) =g(δ(h))δ(g).
Dies zeigt γ|G|=∂δ∈B2(G, L×). Die zweite Behauptung folgt aus Satz 5.10.
Definition 5.12. Aus Satz 3.11 folgt, dass die Dimension einer zentral einfachen AlgebraA stets ein Quadrat ist. Man nenntdegA:=√
dimAdenGrad vonA. IstDeine Divisionsalgebra mitA∼=Dn×n, so nennt man e(A) := deg(D) denIndex von A (nach Wedderburn ist dies wohldefiniert).
Bemerkung 5.13. Für eine zentrale Divisionsalgebra D mit Zerfällungskörper L giltdegD |dimL nach Lemma 4.8. Der folgende Satz verbessert daher Satz 5.11.
Satz 5.14. Für [A]∈Br(K) gilt [A]e(A)= 1.
Beweis. Wir können annehmen, dass A = D eine Divisionsalgebra mit e := e(A) = deg(D) ist. Sei L ein Galois-Zerfällungskörper von D. Wie in Definition 5.5 können wir L in A := Dn×n einbetten.
Dabei gilt(ne)2 =n2dimD= dimA= dim(L)2 unddimL=ne. SeiG:= Gal(L|K). Dann existieren ag ∈ A× mit g(λ) = agλa−1g und agah = γ(g, h)gh für g, h ∈ G, λ ∈ L und γ ∈ C2(G, L×). Sei S =Dn×1 der einfacheA-Modul. Durch Einschränkung wirdS einL-Vektorraum. Dabei gilt
dimL(S) = dimS
dimL = ndimD ne =e.
Seiv1, . . . , ve eineL-Basis von S. Fürg∈Gseiα(g) = (αij(g))∈Le×e mit agvi =
e
X
j=1
αij(g)vj.
Fürg, h∈Ggilt dann γ(g, h)
e
X
j=1
αij(gh)vj =γ(g, h)aghvi=agahvi =ag
Xe
k=1
αik(h)vk
=
e
X
k=1
g(αik(h))agvk =
e
X
k,j=1
g(αik(h))αkj(g)vj.
Dies zeigt γ(g, h)α(gh) =g(α(h))α(g) für alle g, h∈G. Sei schließlich λ(g) := det(α(g)). Dann folgt γ(g, h)eλ(g) = det(γ(g, h)α(gh)) = det(g(α(h))) det(α(g)) =g(λ(h))λ(g).
Also istγe=∂λ∈B2(G, L×) und die Behauptung folgt aus Satz 5.10.
