Über die Dimension von Vektorräumen ganzer vektorwertiger Heckeformen

vektorwertiger Heckeformen

Dissertation

zur Erlangung des Grades eines Doktors der Naturwissenschaften Der Fakultät für Mathematik der Technischen Universität Dortmund

im Februar 2010 vorgelegt von

Andrea Hennekemper

Prüfungskommission:

Vorsitzender: Prof. Dr. H. Blum

Erster Gutachter: Prof. Dr. G. Rosenberger Zweiter Gutachter: Prof. Dr. B. Fine

Weiterer Prüfer: Prof. Dr. R. Brück

Wiss. Mitarbeiter: Dr. T. Camps

Inhaltsverzeichnis

0 Einleitung 2

1 Grundlagen 3

2 Heckegruppen 9

3 Multiplikatorsysteme, Strichoperator 29

4 Vektorwertige Heckeformen 31

5 Erste Dimensionsaussagen 43

6 Poincaré Reihen 48

7 Eisenstein Reihen 53

Symbolverzeichnis 55

Literaturverzeichnis 57

0 Einleitung

Seit langem werden vektorwertige Modulformen als Teilgebiet der Theorie der Modul- formen behandelt (s. z.B. [20], [4]). Doch erst zu Beginn dieses Jahrhunderts begannen Marvin Knopp und Geoffrey Mason, angeregt durch Fragestellungen aus RCFT (Ratio- nal Conformal Field Theory), den systematischen Aufbau einer eigenständigen Theo- rie ([10], [11], [12]). Dabei wird zunächst versucht, klassische, skalare Sätze auf den vektorwertigen Fall zu übertragen. Dies ist keinesfalls trivial, denn es gibt vektorwer- tige Modulformen, deren Komponentenfunktionen keine klassischen Modulformen sind ([10]).

Viele klassische Sätze liefern Dimensionsaussagen über Vektorräume von Modulfor- men (siehe etwa [15], [18]). In [12] werden analoge Aussagen für ganze vektorwertige Modulformen auf der Modulgruppe Γ gewonnen. Das Ziel dieser Arbeit ist die Ver- allgemeinerung dieser Ergebnisse auf die Heckegruppen G(λ) mit λ = λ q := 2 cos ^π _q , q ∈ N , q ≥ 3.

Alle dazu benötigten Definitionen und Sätze werden in den Abschnitten 1 bis 4 be- reitgestellt.

Im Abschnitt 5 wird eine Konstante α ≥ 0 definiert und wir zeigen durch Abschätzung des Absolutbetrages der Komponentenfunktionen in der Nähe der reellen Achse nach oben, dass der Vektorraum der ganzen vektorwertigen Heckeformen vom Gewicht k für k < −2α nulldimensional ist. Daraus folgt dann eine allgemeine Dimensionsab- schätzung nach oben.

Eine Dimensionsabschätzung nach unten setzt die Konstruktion vektorwertiger Heckeformen voraus. Dies gelingt im Abschnitt 6 analog zur klassischen Theorie über Poincaré Reihen.

Damit erhalten wir im Abschnitt 7 die gewünschte Abschätzung für k > 2 + 2α.

An dieser Stelle danke ich ganz herzlich Herrn Prof. Dr. Rosenberger für die Anregung

und stetige Förderung dieser Dissertation und der Technischen Universität Dortmund

für die gewährte finanzielle Unterstützung.

1 Grundlagen

Definitionen 1.1

i) Obere Halbebene in C

H := { τ = x + iy ∈ C | y > 0}

ii) Einheitskreisscheibe in C

E := { z ∈ C | | z | < 1}

punktierte Einheitskreisscheibe in C

E ˙ := { z ∈ C | | z | < 1} \ {0}

Linksgeschlitzte Einheitskreisscheibe in C

−

E := E \ { z ∈ C | Im z = 0, Re z ≤ 0}

Rechtsgeschlitzte Einheitskreisscheibe in C

E

:= E \ {z ∈ C | Im z = 0, Re z ≥ 0}

iii) Argumentfunktionen

Für z ∈ C \ {0} definieren wir arg z ∈ ] − π , π ] durch arg z :=



 

 

2 arctan _Re ^Im _z+|z| ^z für z ∈ C \ {z ∈ C | Im z = 0, Re z ≤ 0}

π für z ∈ {z ∈ C | Im z = 0, Re z < 0}

und arg g z ∈ [0 , 2π [ durch

arg g z :=



 

 

arg z für z ∈ C \ {0} mit Im z ≥ 0 arg z + 2π für z ∈ C \ {0} mit Im z < 0 . iv) Logarithmus

Für z ∈ C \ {0} definieren wir log z durch

log z := log | z | + i arg z und log g z durch

log g z := log | z | + i arg g z .

Die Zuordnung z 7→ log z definiert eine holomorphe Funktion Log auf

E und

z 7→ log g z eine holomorphe Funktion Log auf g E

.

v) Allgemeine Potenz

Für z ∈ C \ {0} und k ∈ C sei

z ^k := exp(k log z) . Satz 1.2

Es sei f : H → C holomorph, nicht konstant und periodisch mit Periode p ∈ R

. Dann gilt:

i) Die Menge der reellen Perioden P

(f ) von f ist eine abgeschlossene, diskrete Untergruppe der additiven Gruppe (R , + ).

ii) (positive reelle Elementarperiode) Wählen wir ω ∈ P

(f ), so dass

0 < ω = min{p ∈ P

(f ) | p > 0} , dann gilt

P

(f ) = Zω = { zω | z ∈ Z } . Beweis:

Zu i): Die Untergruppeneigenschaft ist klar.

Gibt es ein r ∈ R

, so dass unendlich viele p ∈ P

(f ) mit p < r existieren, besitzt M = { τ 0 + p | p ∈ P

(f ), p < r } für τ 0 ∈ H einen Häufungspunkt in H . Da f (τ) = f (τ 0 ) für alle τ ∈ M gilt, liefert der Identitätssatz für holomorphe Funktionen ([8], Satz 4.16) einen Widerspruch zur Voraussetzung.

Zu ii): Die angegebene Menge ist nach Voraussetzung nicht leer; also ist die Wahl von ω nach i) möglich. Ist p ∈ P

(f ), so haben wir |p − bp/ωcω| ∈ P

(f ) und

| p − b p/ω c ω | = | p/ω − b p/ω c| ω < ω ,

d.h. p/ω = bp/ωc wegen der Wahl von ω und damit P

(f ) ⊆ Z ω. Die Inklusion Z ω ⊆ P

(f ) ist offensichtlich.

Satz 1.3

Es sei f : H → C holomorph und periodisch mit Periode p ∈ R

. Dann gilt:

i) Es existiert genau eine holomorphe Funktion f b : ˙ E → C mit f (τ) = f (e b ^{2π iτ/p} ). f b

ist in ˙ E eindeutig in eine absolut kompakt konvergente (d.h. absolut konvergente

und auf jedem Teilkompaktum absolut gleichmäßig konvergente) Laurent-Reihe

∞

X

n=−∞

a _n z ⁿ mit a _n = 1 2π i

Z

|z|=r

f (z) b

z ⁿ⁺¹ dz (n ∈ Z , 0 < r < 1) entwickelbar.

ii) f ist in H eindeutig in eine absolut kompakt konvergente Fourier-Reihe

∞

X

n=−∞

a _n e ^{2π inτ/p} entwickelbar.

Für jedes τ 0 ∈ H , jedes n ∈ Z und 0 < r < 1 gilt a _n = 1

2π i Z

|z|=r

f (z) b

z ⁿ⁺¹ dz = 1 p

Z

[τ

, τ

f (τ)e

dτ .

iii) Kann man n 0 ∈ Z so wählen, dass a n = 0 für n < n 0 ist, so gibt es zu jedem ∈ R

ein C ∈ R

mit

| f (τ) | ≤ Ce

^Imτ/p für τ ∈ H , Im τ > .

Beweis:

Die holomorphe Funktion g :

(

H → ˙ E

τ 7→ e ^{2π iτ/p} = e

^{Im τ/p} e ^{i 2π Re τ/p}

ist surjektiv; genau die Gerade Im τ = c ∈ R

wird auf die Kreislinie | z | = e

abgebildet.

Zu i): Ist z ∈ ˙ E und g(τ) = z für ein τ ∈ H , so muss f (z) b = f (τ) sein; die Surjektivität von g ergibt einerseits die Eindeutigkeit von f b . Andererseits wird durch die Setzung f (z) b := f (τ) eine Funktion f b definiert: Haben wir nämlich g(τ) = z = g( τ), so ist ˜ τ = τ ˜ + kp mit einem k ∈ Z und f (τ) = f ( τ) ˜ wegen der p-Periodizität von f .

Weiterhin sieht man f b |

= f ◦ ^p

2π i Log und f b |

= f ◦ ^p

2π i Log (Def. 1.1 iv)), d. h. g f b ist holomorph auf ˙ E . Die Aussagen über die Laurent-Entwicklung ergeben sich nun direkt aus [8], Satz 5.10.

Zu ii): Wir müssen nur noch die Gleichheit der beiden Kurvenintegrale zeigen. Durch-

läuft t die Werte von 0 bis 2π , so durchläuft τ 0 + _2π ^p t die Strecke von τ 0 nach τ 0 + p

und e ^{2π i(τ}

^t)/p den Kreis um 0 mit dem Radius e

^{Im τ}

^/p . Es folgt 1

p Z

[τ

, τ

f (τ)e

dτ

= 1 2π

2π

Z

0

f (τ 0 + p

2π t)e

^t)/p dt

= 1 2π

2π

Z

0

f (e b ^{2π i(τ}

^t)/p )e

^t)/p dt

= 1 2π i

2π Z

0

f (e b ^{2π i(τ}

^t)/p )

e

t)/p ie

^t)/p dt

= 1 2π i

Z

|z|=e^{−2πImτ0/p}

f (z) b z ⁿ⁺¹ dz .

Zu iii): Für z ∈ E ˙ gilt f (z) b = z ⁿ

h(z) mit einem in E holomorphen h. Für τ ∈ H mit Im τ > haben wir | g(τ) | < e

; wählen wir also ein C ∈ R

, so dass | h(z) | für z ∈ E mit |z| ≤ e

< 1 durch C beschränkt ist, so ergibt sich

| f (τ) | = | f (g(τ)) b | = | g ⁿ

(τ) || h(g(τ)) | ≤ e

^{Im τ/p} C . Lemma 1.4

Für c, d ∈ R und z = x + iy ∈ C gilt y ²

1 + | z | ² (c ² + d ² ) ≤ | cz + d | ² ≤ 2( | z | ² + y

)(c ² + d ² ) . Beweis:

Aus

0 ≤ (|c| − |d||z|) ² = c ² − 2|c||d||z| + d ² |z| ² folgt zunächst

2| c || d || z | ≤ c ² + d ² | z | ² und mit der Dreiecksungleichung damit

|cz + d| ² ≤ (|c||z| + |d|) ² = c ² |z| ² + 2|c||d||z| + d ²

≤ c ² |z| ² + c ² + d ² |z| ² + d ² = (|z| ² + 1)(c ² + d ² ).

Für | z | ≥ 1 ist | z | ² + 1 ≤ 2| z | ² und für | z | < 1 haben wir | z | ² + 1 ≤ | z | ² + y

wegen y

> 1, womit sich die obere Abschätzung ergibt.

Mit

| cz + d | ² ≥ Im ² (cz + d) = c ² y ²

und

| z | ² | cz + d | ² = | z(cz + d) | ² = | c | z | ² + dz | ² = | c | z | ² + dz | ² ≥ Im ² (c | z | ² + dz) = d ² y ² sieht man

(1 + | z | ² ) | cz + d | ² = | cz + d | ² + | z | ² | cz + d | ² ≥ c ² y ² + d ² y ² = y ² (c ² + d ² ) , die untere Abschätzung.

Lemma 1.5

Es seien a, b, c, d ∈ Z \ {0} und λ ∈ {1 , √ 2 , √

3}.

i) Es gibt es ein s ∈ Z , so dass | ( −| a | s + b)λ | < | a | gilt.

ii) Es gibt es ein t ∈ Z , so dass |−| c | tλ ² + d | < | c | λ gilt.

Beweis:

Zu i): Wir haben

| ( −| a | s + b)λ | < | a | ⇐⇒ −| a | < −| a | sλ + bλ < | a |

⇐⇒ | a | (λs − 1) < bλ < | a | (λs + 1) .

Die Intervalle ]|a|(λs − 1) , |a|(λs + 1)[ mit s ∈ Z bilden eine offene Überdeckung von R : Die Intervallänge beträgt jeweils 2| a |; der Abstand eines Intervallmittelpunktes

| a | λs zu den Nachbarintervallmittelpunkten ist jeweils | a | λ, also kleiner als 2| a |.

Damit liegt bλ in einem dieser Intervalle.

Zu ii): Wir haben

|−|c|tλ ² + d| < |c|λ ⇐⇒ −|c|λ < −|c|tλ ² + d < |c|λ

⇐⇒ | c | λ(λt − 1) < d < | c | λ(λt + 1) .

Die Intervalle ]|c|λ(λt−1) , |c|λ(λt+1)[ mit s ∈ Z bilden eine offene Überdeckung von R : Die Intervallänge beträgt jeweils 2|c|λ; der Abstand eines Intervallmittelpunktes

|c|λ ² t zu den Nachbarintervallmittelpunkten ist jeweils |c|λ ² , also kleiner als 2|c|λ.

Damit liegt d in einem dieser Intervalle.

Lemma 1.6

Für j ∈ Z und ϕ ∈ R gilt

sin jϕ = 2 cos ϕ · sin(j − 1)ϕ − sin(j − 2)ϕ .

Beweis:

Zunächst ist

e ^iϕ = cos ϕ + i sin ϕ = 2 cos ϕ − (cos ϕ − i sin ϕ) = 2 cos ϕ − e

. Es folgt

e ^ijϕ = e ^i(j−1)ϕ · e ^iϕ = 2 cos ϕ · e ^i(j−1)ϕ − e ^i(j−2)ϕ . Übergang zum Imaginärteil liefert die Behauptung.

Aus der Linearen Algebra benötigen wir das folgende Ergebnis:

Satz 1.7

Es seien n, p ∈ N und M eine komplexe (p × p)-Matrix.

Ist dann M ⁿ gleich der (p × p)-Einheitsmatrix E _p , so existiert eine komplexe inver- tierbare (p × p)-Matrix U derart, dass

UMU

= diag(e ^{2π iϕ}

, . . . , e ^{2π iϕ}

) mit ϕ 1 , . . . , ϕ _p ∈]0 , 1] ∩ Q gilt.

Beweis:

Wegen M ⁿ = E _p ist das Minimalpolynom von M ein Teiler von x ⁿ − 1, zerfällt also über C vollständig in Linearfaktoren und besitzt nur einfache Nullstellen. Nach [17], Kapitel V, F15 gibt es somit eine komplexe invertierbare (p × p)-Matrix U , so dass UMU

= diag(c 1 , . . . , c _p ). Wegen

diag(c ₁ ⁿ , . . . , c _p ⁿ ) = (UMU

) ⁿ = UM ⁿ U

= diag(1, . . . , 1)

sind die Diagonalelemente von UMU

n-te Einheitswurzeln.

2 Heckegruppen

Definitionen 2.1 Für p ∈ N

sei:

i)

Mat(p , Z ) := Z -Algebra der ganzzahligen p × p-Matrizen ii)

Mat(p , R) := R -Algebra der reellen p × p-Matrizen iii)

Mat(p , C) := C -Algebra der komplexen p × p-Matrizen iv)

E := E p := p × p-Einheitsmatrix Vereinbarung 2.2

Die Elemente einer 2 × 2-Matrix M notieren wir, wenn nichts anderes gesagt wird, mit a, b, c, d, d.h.

M =



 a b c d



 . Definitionen 2.3

i) Allgemeine lineare Gruppe vom Grad p über R

GL(p, R) := { M ∈ Mat(p, R) | det M 6= 0}

ii) Allgemeine lineare Gruppe vom Grad p über C

GL(p, C) := { M ∈ Mat(p, C) | det M 6= 0}

iii) Spezielle lineare Gruppe vom Grad p über R

SL(p, R ) := {M ∈ Mat(p, R ) | det M = 1}

iv) Spezielle lineare Gruppe vom Grad p über C

SL(p, C) := { M ∈ Mat(p, C) | det M = 1}

v) Projektive spezielle lineare Gruppe vom Grad 2 über R PSL(2, R ) := SL(2, R )/ { E , − E } vi) (homogene elliptische) Modulgruppe

Γ := SL(2, Z) := { M ∈ Mat(2, Z) | det M = 1}

Definitionen 2.4

i) Den C -Vektorraum der in H holomorphen Funktionen bezeichnen wir mit O ( H ) .

ii) Die Gruppe aller biholomorphen Abbildungen H → H bezeichnen wir mit Aut(H) .

iii) Die Gruppe aller C

-Diffeomorphismen H → H bezeichnen wir mit Dif(H) .

Als Gruppenoperationen haben wir natürlich in 2.3 die Matrizenmultiplikation, in 2.4 ii), iii) die Abbildungskomposition.

Die Elemente aus Aut( H ) sind spezielle gebrochen lineare Transformationen:

Satz 2.5

V ∈ Aut(H) ⇐⇒

Es gibt a, b, c, d ∈ R , ad − bc = 1, so dass V τ := V (τ) = aτ + b

cτ + d für alle τ ∈ H gilt . Beweis:

[8], Lemma 11.12 Definitionen 2.6

i) Für

M =



 a b c d



 ∈ SL(2, R ) wird durch

Φ _M (τ) := aτ + b

cτ + d

ein Φ _M ∈ Aut( H ) definiert.

ii) Statt Φ _M und Φ _M (τ) schreiben wir auch M c und Mτ c oder einfach M und Mτ . iii)

M:τ := cτ + d Satz 2.7

Für L, M, N ∈ SL(2, R), τ ∈ H gilt

Φ _E = id, Φ

= Φ _M , Φ _LM = Φ _L ◦ Φ _M , Φ _M

= Φ _M

, Im Φ _M (τ) = Im τ

| cτ + d | ² = Im τ

(cx + d) ² + c ² y ² , MN :τ = (M :Nτ)(N:τ) .

Beweis:

[15], II.1.1. , [18], (2.2.2) Satz 2.8

Durch

Φ :







SL(2, R ) → Aut( H ) M 7→ Φ _M

wird ein Gruppenepimorphismus mit Kern Φ = {E , −E} definiert.

Es gilt

Aut( H ) › PSL(2, R ) . Beweis:

[15], II.1.3.

Definition 2.9

Ist V ∈ Aut( H ), so schreiben wir (falls die Mehrdeutigkeit keine Probleme verursacht) V oder auch einfach V für jedes der zwei mod { E , − E } äquivalenten Elemente aus Φ

[ { V } ] und setzen (bis auf den Faktor −1 eindeutig)

V :τ := V :τ für τ ∈ H .

Definitionen 2.10

Es sei G eine Untergruppe von Aut( H ).

i)

G heißt diskret : a n













 a b c d















|



 a b c d



 ∈ Φ

[G] o

ist diskrete Teilmenge des R ⁴ .

ii)

G heißt diskontinuierlich :⇐⇒

Es gibt ein τ 0 ∈ H und eine Umgebung U (τ 0 ) von τ 0 , so dass für alle V ∈ G, V 6= id,

V [U(τ 0 )] ∩ U (τ 0 ) = ∅ gilt . Definitionen 2.11

Es sei G eine Untergruppe von Aut(H).

i) τ 1 , τ 2 ∈ H heißen G-äquivalent genau dann, wenn es ein V ∈ G mit V (τ 1 ) = τ 2

gibt.

ii) Eine offene Menge F ⊆ H heißt Fundamentalbereich von G genau dann, wenn 1) Je zwei verschiedene τ 1 , τ 2 ∈ F sind nicht G-äquivalent.

2) Jedes τ ∈ H ist G-äquivalent zu einem τ ∈ F.

Die Definitionen 2.10, 2.11 übertragen sich vermöge Φ auf Untergruppen von SL(2, R ).

Satz 2.12

Es sei G eine Untergruppe von Aut( H ).

G diskret a G diskontinuierlich a G besitzt einen Fundamentalbereich

Beweis:

[15], II.,4., [16], Chapter 1 Definitionen 2.13

Es sei

T :







H → H τ 7→ − ¹

τ

und für λ ∈ R

S _λ :







H → H τ 7→ τ + λ und

U _λ := T S _λ . Definitionen 2.14

i) Die Heckegruppe zu λ ∈ R

ist die von T und S λ erzeugte Untergruppe von Aut(H):

G(λ) := h T , S λ i = h T , U λ i < Aut(H) .

Die Elemente von G(λ) nennen wir Hecketransformationen zu λ.

ii)

G(λ) := Φ

[G(λ)] = D T =





0 −1

1 0



 , S _λ =





1 λ

0 1



 E

= D T =





0 −1

1 0



 , U _λ =





0 −1

1 λ





E < SL(2, R )

heißt die Heckematrizengruppe zu λ.

Die Elemente von G(λ) nennen wir die Heckematrizen zu λ.

Vereinbarung 2.15

Falls keine Probleme zu erwarten sind, unterscheiden wir im folgenden oft nicht zwischen einer Hecketransformation V und den zwei durch Φ

zugeordneten, mod { E , − E } äquivalenten Heckematrizen.

Satz 2.16 Es sei λ ∈ R

.

G(λ) diskontinuierlich a λ ≥ 2 oder λ = λ q := 2 cos π

q mit q ∈ N, q ≥ 3 Beweis:

[6] oder [5]

Vereinbarung 2.17

Im folgenden betrachten wir nur Heckegruppen zu λ = λ q := 2 cos ^π _q mit q ∈ N , q ≥ 3.

Man beachte, dass damit λ ∈ [1 , 2[ , also 1 ≥ 2 − λ > 0.

Für einige Heckegruppen lassen sich die Elemente explizit angeben. So gilt zum Bei- spiel:

Satz 2.18

Es sei λ ∈ {1 = λ 3 , √

2 = λ 4 , √

3 = λ 6 }. Dann gilt

G(λ) = Γ (λ) :=











a bλ cλ d





a, b, c, d ∈ Z , ad − λ ² bc = 1





 [











aλ b c dλ





a, b, c, d ∈ Z , λ ² ad − bc = 1





 .

Beweis:

Man prüft leicht nach, dass Γ (λ) eine Untergruppe von SL(2, R ) ist. Wegen 0 −1

1 0

!

, 1 λ 0 1

!

∈ Γ (λ)

folgt G(λ) ⊆ Γ (λ) und wir müssen nur noch Γ (λ) ⊆ G(λ) zeigen. Wegen aλ b

c dλ

!

= − b aλ

− dλ c

! 0 −1

1 0

!

| {z }

∈G(λ)

reicht es dazu,

Γ _N (λ) :=

( a bλ cλ d

!

a, b, c, d ∈ Z , ad − λ ² bc = 1

)

⊆ G(λ) nachzuweisen. Dies geschieht durch Induktion über | a |.

Es sei also

M := a bλ

cλ d

!

∈ Γ _N (λ) . Induktionsanfang:

Ist a = 0, so gilt λ = 1 und

M = ± 0 −1

1 d

!

wegen ad − λ ² bc = 1. Die Produktdarstellung

± 0 −1

1 d

!

= ± 0 −1

1 0

!

| {z }

∈G(1)

1 d

0 1

!

| {z }

∈G(1)

zeigt M ∈ G(1).

Vor dem Induktionsschritt stellen wir drei Hilfsergebnisse zusammen.

1. Hilfsergebnis:

Ist b = 0, so gilt a = d = ±1 wegen ad − λ ² bc = 1 und

M = ± 1 0

cλ 1

! . Die Produktdarstellung

± 1 0 cλ 1

!

= ∓ 0 −1

1 0

!

| {z }

∈G(λ)

1 − cλ

0 1

!

| {z }

=S^−c_λ ∈G(λ)

0 −1

1 0

!

| {z }

∈G(λ)

liefert M ∈ G(λ).

2. Hilfsergebnis: Es gibt eine Matrix aus N ∈ G(λ), so dass MN = a bλ e

cλ d e

!

mit | b e | λ < | a | gilt.

Beweis: Wir wählen zunächst (Lemma 1.5 i)) ein s ∈ Z mit

| ( −| a | s + b)λ | < | a | . Es folgen

a bλ cλ d

! 1 − sgn(a)sλ

0 1

!

| {z }

∈G(λ)

= a ( −| a | s + b)λ cλ − sgn(a)csλ ² + d

!

und damit die Behauptung.

3. Hilfsergebnis: Es gibt eine Matrix aus P ∈ G(λ), so dass MP = a bλ e

cλ d e

!

mit | d e | < | c | λ gilt.

Beweis: Wir wählen zunächst (Lemma 1.5 ii)) ein t ∈ Z mit

|−|c|tλ ² + d| < |c|λ . Es folgt

a bλ cλ d

! 1 − sgn(c)tλ

0 1

!

| {z }

∈G(λ)

= a ( − sgn(c)at + b)λ cλ −| c | tλ ² + d

!

,

also die Behauptung.

Wir führen den Induktionsschritt von 0, . . . , n auf n + 1, indem wir die Matrix M mit a = n + 1 fortlaufend mit Matrizen aus G(λ) multiplizieren, so dass entweder b = 0 oder |a| verkleinert wird.

Ausgehend von M gehen wir nach dem ersten Hilfsergebnis über zu einer Matrix a bλ e

cλ d e

!

mit | b e | λ < | a |. Ist bλ e = 0, so sind wir nach dem 1. Hilfsergebnis fertig. Andernfalls konjugieren wir mit T und erhalten

− d e cλ bλ e − a

! . Jetzt liefert das 3. Hilfsergebnis den Übergang zu

− d e cλ e bλ e − a e

!

mit | a e | < | b e | λ. Eine weitere Konjugation mit T ergibt a e bλ e

cλ e d e

!

mit | a| e < |a|.

Korollar 2.19

G(1) = Γ (inhomogene elliptische Modulgruppe)

Für alle von uns betrachteten Heckegruppen gelingt eine Abschätzung der Matrixele- mente nach unten (Satz 2.26). Dazu benötigen wir einige Vorbereitungen.

Definition 2.20

Für r ∈ N ∪ {−1} definieren wir

u _r := u _r (λ _q ) :=

sin r ^π _q sin ^π _q . Lemma 2.21

i)

u

= −1, u 0 = 0, u 1 = 1

ii)

u _q−1 = 1, u _q = 0, u _q+1 = −1 iii)

u r = − u r

+ u r

λ q für r ∈ N

iv)

u _r ≥ λ _q für q ≥ 4, r = 2, . . . , q − 2 v)

u r−1 u r + u r u r

− λ q u ² _r = 0 für r ∈ N vi)

u ² _r

− λ _q u _r

u _r + u ² _r = 1 für r ∈ N Beweis:

i) Definition, sin 0 = 0, sin − x = − sin x ii) u q−1 sin ^π _q = sin(π − ^π

q ) = sin ^π _q , u q+1 sin ^π _q = sin(π + ^π

q ) = − sin ^π _q iii)

u _r sin π

q = sin r π q

1.6 = 2 cos π

q · sin(r − 1) π

q − sin(r − 2) π q iv) Zunächst erhält man mit i), ii) und iii)

u 2 = −u 0 + u 1 λ _q = λ _q (womit für q = 4 alles bewiesen ist) und

0 = u q = − u q−2 + u q−1 λ q = − u q−2 + λ q , also u q−2 = λ q . Für q ≥ 5 betrachten wir auf [2 , q − 2] die durch

f (x) = sin x ^π _q sin ^π _q definierte Funktion f .

Wir haben u 2 = f (2) = f (q − 2) = u _q−2 = λ _q , f

(x) > 0 für x ∈ [2 , ^q ₂ [ und f

(x) < 0 für x ∈ ] ^q ₂ , q − 2], d.h. f (x) ≥ λ _q im Intervall [2 , q − 2].

v)

u _r

u _r + u _r u _r+1 − λ _q u ² _r = u _r (u _r

+ u _r

− λ _q u _r ) ⁱⁱⁱ⁾ = 0

vi) Beweis durch Induktion:

r = 0:

u ²

− λ _q u

u 0 + u ² ₀ = ⁱ⁾ (−1) ² − λ _q (−1)0 + 0 ² = 1 r → r + 1:

u ² _r − λ _q u _r u _r

+ u ² _r+1 ⁱⁱⁱ⁾ = u ² _r − λ _q u _r ( − u _r

+ u _r λ _q ) + ( − u _r−1 + u _r λ _q ) ²

= u ² _r

+ λ _q u _r

u _r + u ² _r = 1 Lemma 2.22

Für r ∈ N ist

U ^r _λ =





− u r−1 − u r

u r u r



 .

Beweis durch Induktion:

r = 0:

U ⁰ _λ = 1 0 0 1

!

2.21 i)

= −u

−u 0

u 0 u 1

!

r → r + 1:

U ^r+1 _λ = −u _r−1 −u _r u r u r

! 0 −1

1 λ

!

= −u _r u _r−1 − u _r λ u r

− u r + u r

λ

!

2.21 iii)

= − u _r − u _r

u r

u r+2

!

Korollar 2.23

U λ hat in G(λ) die Ordnung q, U λ hat in G(λ) die Ordnung 2q.

Beweis:

2.21, 2.22 zeigen: U ^r _λ 6= ±E 2 für r = 1, . . . , q − 1 und U ^q _λ = −E 2 . Korollar 2.24

Es gilt

Im U _λ ^r τ < Im τ

für τ ∈ H mit | τ | > 1, | Re τ | ≤ ^λ ₂ und r = 1, . . . , q − 1.

Beweis:

Wir haben nach Lemma 2.21 für r = 1, . . . , q − 1 u ² _r > 0, u _r u _r

≥ 0 , also

| u r τ + u r

| ² = (u r x + u r

) ² + u ² _r y ² = u ² _r (x ² + y ² ) + 2u r u r

x + u ² _r

> u ² _r + 2u _r u _r+1 x + u ² _r+1 ≥ u ² _r − λu _r u _r+1 + u ² _r

^2.21 = ^vi) 1 . Dies ergibt

Im U _λ ^r τ = Im τ

|u _r τ + u _r+1 | ² < Im τ zusammen mit 2.7 und 2.22.

Korollar 2.25

Es sei r = 1, . . . , q − 1.

(τ ∈ H mit Re τ > 0) ∨ (τ ∈ H mit | τ | ≥ 1, | Re τ | ≤ λ

2 ) =⇒ Re U _λ ^r τ < 0 . Beweis:

Zunächst gilt nach 2.22

Re U _λ ^r τ = Re −u _r−1 τ − u _r u r τ + u r

= − (u _r

x + u _r )(u _r x + u _r

) + u _r

u _r y ²

| u r τ + u r+1 | ² (1)

= − u r−1 u r | τ | ² + (u r

u r

+ u ² _r )x + u r u r

|u _r τ + u _r+1 | ²

= − u r−1 u r | τ | ² + u r u r

+ 2u ² _r x + (

=−

det U

z }| { u r

u r

− u ² _r )x

|u _r τ + u _r

| ²

= − u _r−1 u _r |τ| ² + u _r u _r

+ 2u ² _r x − x

| u _r τ + u _r+1 | ² . (2) Sei zunächst τ ∈ H mit Re τ > 0. Für r = 1, . . . , q − 1 haben wir nach Lemma 2.21

(u r

x + u r )(u r x + u r+1 ) ≥ u ² _r x > 0 und

u r

u r y ² ≥ 0 .

(1) liefert die Konklusion.

Sei nun τ ∈ H mit | τ | ≥ 1, | Re τ | ≤ ^λ ₂ . Für r = 1, . . . , q − 1 haben wir nach Lemma 2.21

u _r−1 u _r , u _r

u _r

≥ 0 . Es folgt

u _r−1 u _r | τ | ² + u _r u _r

+ 2u ² _r x − x ≥ u _r

u _r + u _r u _r+1 − λu ² _r + λ

2

2.21 v)

= λ 2 > 0 . (2) ergibt das Gewünschte.

Satz 2.26





m 11 m 12

m 21 m 22



 ∈ G(λ) =⇒ m kl = 0 ∨ | m kl | = 1 ∨ | m kl | ≥ λ für alle k, l ∈ {1 , 2}

Beweis:

Es ist (Lemmma 2.22)

( − T )U ^r _λ = 0 1

−1 0

! − u _r−1 − u _r u r u r

!

= u _r u _r+1 u r

u r

!

für r = 1, . . . , q − 1, d.h. (Lemma 2.21) alle Elemente von ( − T )U ^r _λ sind entweder 0, 1 oder ≥ λ. Dies gilt dann auch bei einem Produkt der Form

P = (−T )U ^r _λ

· · · (−T )U ^r _λ

, r 1 , . . . , r _m ∈ {1, . . . , q − 1} .

T ² = −E 2 , 2.23 und 2.14 zeigen, dass sich jedes M ∈ G(λ) schreiben läßt als M = ±P , M = ±T P oder M = ±P T . Da eine Multiplikation mit T höchstens die Anordnung oder die Vorzeichen der Matrizenelemente ändert, ist alles bewiesen.

Korollar 2.27 Es sei



 a b c d



 ∈ G(λ) .

Dann gilt | cτ + d | ² ≥ 2 − λ für τ ∈ H mit | τ | ≥ 1 und | Re τ | ≤ ^λ ₂ .

Beweis:

Ist c = 0, so ist d 6= 0, also nach 2.26 und 2.17 | cτ + d | ² = | d | ² ≥ 1 ≥ 2 − λ. Ist d = 0, so ist c 6= 0, also |cτ + d| ² = |c| ² |τ| ² ≥ |c| ² ≥ 1 ≥ 2 − λ nach Voraussetzung, 2.26 und 2.17. Für c, d 6= 0 haben wir

| cτ + d | ² = (cτ + d)(cτ + d) = c ² | τ | ² + 2cd Re τ + d ²

1) ≥ c ² − λ|cd| + d ² = (|c| − |d) ² + (2 − λ)|cd|

≥ (2 − λ) | cd | ≥ ²⁾ 2 − λ mit 1): Voraussetzung an τ, 2): 2.26 und 2.17.

Korollar 2.28 Es sei

V =



 a b c d



 ∈ G(λ), τ ∈ H . Dann ist für c = 0

Im τ = Im V τ und für c 6= 0

Im τ ≤ 1 Im V τ . Beweis:

Ist c = 0, so gilt a = d = 1 oder a = d = −1 wegen 2.26 und det V = 1, d.h. aber Im τ = Im V τ.

Sei nun c ≠ 0, also c ² ≥ 1 nach 2.26. Es folgt zusammen mit τ = V

V τ und V

= d −b

− c a

!

Im τ ^2.7 = Im V τ

|− cV τ + a | ² = Im V τ

c ² (Im V τ) ² + (a − c Re V τ) ²

≤ Im V τ

c ² (Im V τ) ² ≤ Im V τ

(Im V τ) ² = 1 Im V τ . Satz 2.29

F _λ :=

τ ∈ H

| τ | > 1, | Re τ | < λ 2 ist ein Fundamentalbereich von G(λ).

Der Beweis wird in mehreren Schritten geführt (2.30 — vor 2.36).

Definitionen 2.30

Es seien T 1 , T 2 , T 3 ∈ Dif( H ) definiert durch

T 1 :







H → H τ 7→ ^τ

|τ|²

= ¹

τ

,

T 2 :







H → H τ 7→ − τ und

T 3 :







H → H

τ 7→ − (τ + λ) .

Auf τ ∈ H angewandt bewirkt T 1 eine Spiegelung an der Einheitskreislinie, T 2 eine Spiegelung an der imaginären Achse und T 3 eine Spiegelung an der durch Re τ = − ^λ ₂ definierten Gerade.

Mit der Definition folgt unmittelbar:

Lemma 2.31 i)

ord(T 1 ) = ord(T 2 ) = ord(T 3 ) = 2 ii)

T 1 T 2 = T 2 T 1 = T T 1 T 3 = U λ , T 3 T 1 = U _λ

T 2 T 3 = S λ , T 3 T 2 = S _λ

iii) Die Komposition einer geraden Anzahl von T 1 = T ₁

, T 2 = T ₂

, T 3 = T ₃

ist Element von G(λ) und umgekehrt.

iv)

T 2 [F λ ] = F λ T 2 [F λ ] = F λ

v)

G(λ) < h T 1 , T 2 , T 3 i < Dif(H) vi) Zu jedem τ ∈ H existiert ein V ∈ h T 2 , T 3 i, so dass

V τ ∈ M λ := { τ ∈ H | − λ

2 ≤ Re τ ≤ 0} .

Gilt − λ ≤ Re τ < − ^λ ₂ , so kann man V = T 3 wählen.

vii) Konvergiert eine Folge (τ _n ), τ _n ∈ { τ ∈ H | | τ _n | < 1 , − ^λ ₂ ≤ Re τ ≤ 0}, gegen ein Element aus { τ ∈ H | | τ _n | = 1 , − ^λ ₂ < Re τ ≤ 0}, so gibt es ein n 0 ∈ N , so dass T 1 τ _n

∈ { τ ∈ H | | τ _n | > 1 , − ^λ ₂ ≤ Re τ ≤ 0}.

Lemma 2.32

Zu jedem τ ∈ H existiert ein V ∈ G(λ), so dass V τ ∈ F λ . Beweis:

Wir zeigen, dass es ein V ∈ h T 1 , T 2 , T 3 i gibt, so dass V τ ∈ F λ ; wegen 2.31 iii), iv) ist dann alles bewiesen.

Dazu definieren wir induktiv eine Folge (τ n ) n∈

, τ n ∈ M λ : τ 0 := V 0 τ

mit einem V 0 ∈ h T 2 , T 3 i gemäß Lemma 2.31 vi).

Ist τ n schon definiert, so sei

τ _n+1 := V _n+1 T 1 τ _n .

Dabei sei V n+1 ∈ h T 2 , T 3 i nach Lemma 2.31 vi) so gewählt, dass V n+1 T 1 τ n ∈ M λ . Ist eines unserer τ _n vom Betrage größer oder gleich 1, so sind wir fertig. Dass dies immer eintritt, beweisen wir durch Widerspruch.

Es gelte also | τ n | < 1 für alle n ∈ N . Dann ist zunächst (y n ) wegen y _n+1 = y n

| τ n | ² > y _n > 0 eine streng monoton steigende Folge in ]0 , 1[ .

Ist τ ein Häufungswert der beschränkten Folge (τ _n ) mit |τ| < 1, so exitiert eine Teilfolge (τ _n

) _k∈

von (τ _n ) mit | τ _n

| ² ≤ c < 1 und

y _n

≥ y n

c ≥ . . . ≥ y _n

c ^k−1 → ∞ liefert einen Widerspruch zur Beschränktheit von (y n ).

2.31 vii) zeigt nun, dass der einzige Häufungswert τ von (τ n ) der Schnittpunkt der Einheitskreislinie mit der Geraden Re τ = − ^λ ₂ ist.

Es ist arg τ n > arg τ (und damit x n < 0) für n ∈ N , denn aus arg τ n ≤ arg τ folgt wegen

y _n+1 = |τ _n | sin(arg τ _n )

| τ _n | ² ≥ |τ _n | sin(arg τ)

| τ _n | ² > | τ | sin(arg τ) = y

ein Widerspruch zur streng monoton steigenden Konvergenz von (y _n ) gegen y.

Wegen Re T 1 τ = − ^λ ₂ gibt es daher ein n 0 ∈ N , so dass − λ < Re T 1 τ n < − ^λ ₂ , also (2.31

vi)) τ _n+1 = T 3 T 1 τ _n für n ≥ n 0 gilt. Wir erhalten für n ≥ n 0

x _n+1 − x _n = −λ − x n

|τ _n | ² − x _n = − 1

x _n (λx _n + cos ² (arg τ _n ) + x _n ² )

> − 1

x _n (λx _n + cos ² (arg τ) + x _n ² ) = − 1

x _n (λx _n + λ ²

4 + x _n ² )

≥ − 1 x n

(x n + λ

2 ) ² ≥ 0 .

Also ist (x _n ) _n≥n

eine streng monoton wachsende Zahlenfolge in [− ^λ ₂ , 0]. Dies steht im Widerspruch zu lim

n→∞ x _n = Re τ = − ^λ ₂ . Lemma 2.33

Gilt V τ 1 = τ 2 für τ 1 , τ 2 ∈ F λ , V ∈ h T 1 , T 3 i, so ist V = id.

Beweis:

Es sei o.B.d.A. Im τ 1 ≤ Im τ 2 . Wir führen den Beweis durch Widerspruch und nehmen dazu an, dass V τ 1 = τ 2 mit id 6= V ∈ hT 1 , T 3 i. Dann ist V 6= T 1 und V 6= T 3 , da andernfalls nicht τ 1 , τ 2 ∈ F _λ sein können. Mit Lemma 2.31 i) sieht man, dass sich V entweder als V = T ₃ ^ρ (T 1 T 3 ) ^r oder als V = T ₃ ^ρ (T 3 T 1 ) ^r mit ρ = 0, 1 und r ∈ Z

darstellen läßt. Wegen (T 1 T 3 )

= T 3 T 1 gibt es immer die erste Darstellungform. Da nach Korollar 2.23 T 1 T 3 = U _λ die Ordnung q besitzt können wir von einer Darstellung V = T ₃ ^ρ (T 3 T 1 ) ^r mit ρ = 0, 1 und r = 1, . . . , q − 1 ausgehen. Mit 2.24 ergibt sich dann

Im τ 2 = Im V τ 1 = Im(T 1 T 3 ) ^r τ 1 = Im U _λ ^r τ 1 < Im τ 1

im Widerspruch zu Im τ 1 ≤ Im τ 2 . Lemma 2.34

Es sei V ∈ h T 1 , T 3 i, V 6= id, V 6= T 1 .

(τ ∈ H mit Re τ > 0) ∨ (τ ∈ F λ ) =⇒ Re V τ < 0

Beweis:

Wir können ausgehen (vgl. den Beweis zu 2.33) von einer Darstellung V = T ₁ ^ρ (T 1 T 3 ) ^r mit ρ = 0, 1 und r = 1, . . . , q − 1. Wegen sgn Re T 1 τ = sgn Re τ genügt es, sich auf V = (T 1 T 3 ) ^r = U _λ ^r zu beschränken. Wegen Korollar 2.25 ist damit die Implikation bewiesen.

Beweis von 2.29:

Wir zeigen durch Widerspruch: Aus τ 1 , τ e ∈ F λ , V ∈ h T 1 , T 2 , T 3 i und V τ 1 = τ e folgt

V = id oder V = T 2 . Wegen 2.31 v), T 2 ∉ G(λ) und Lemma 2.32 ist dann alles

nachgewiesen.

Unter allen V ∈ h T 1 , T 2 , T 3 i, V 6= id, V 6= T 2 , für die es τ 1 , τ e ∈ F λ mit V τ 1 = τ e gibt, wählen wir ein V , das als Produkt minimal vieler T 1 , T 2 , T 3 darstellbar ist. Nach Lemma 2.33 muss in dieser Darstellung mindestens ein T 2 vorkommen. Jedoch kann keine minimale Produktdarstellung mit T 2 beginnen oder enden; denn wegen 2.31 iv) könnte man diese Faktoren streichen, um einen Widerspruch zur minimalen Wahl zu erhalten. Eine minimale Darstellung hat also die Form

V = W 1 T 2 W 2 · · · T 2 W n+1

mit n ∈ N

, W l ∈ h T 1 , T 3 i, W l 6= id für l = 1, . . . , n + 1.

Es ist W 1 , W _n+1 6= T 1 , denn sonst hätte man wegen T 1 T 2 = T 2 T 1 eine minimale Darstel- lung, die mit T 2 beginnt bzw. endet. Ebenfalls ist W l 6= T 1 für l = 2, . . . , n, denn sonst enthielte die Produktdarstellung eine Sequenz T 2 T 1 T 2 , die man wegen T 1 T 2 = T 2 T 1

und T 2 T 2 = id zu T 1 verkürzen könnte.

Es sei nun für l = 2, . . . , n + 1

τ l := T 2 W l · · · T 2 W n+1 τ 1 . Es gilt

Re τ 2 = Re W ₁

V τ 1

2.34 < 0 .

Haben wir Re τ l < 0 für ein l = 2, . . . , n, so ist Re T 2 τ l > 0 und Re τ _l+1 = Re W _l

T 2 τ _l ^2.34 < 0 . Damit ist induktiv Re τ _n+1 < 0 gezeigt.

Andererseits gilt aber (2.34) Re W n+1 τ 1 < 0, also

Re τ _n+1 = Re T 2 W _n+1 τ 1 > 0 . Korollar 2.35

Gilt

M =



 a b

0 d



 ∈ G(λ) , so ist mit n ∈ Z

M = ±





1 nλ

0 1



 . Definition 2.36

Für V ∈ G(λ) definieren wir durch L _λ (V ) := L(V ) := min

l ∈ N | V = W 1 · · · W _l mit W _j ∈ { T } ∪ { S _λ ^k | k ∈ Z }

die Eichler-Länge von V in G(λ).

Da G(λ) von T und S _λ erzeugt wird und T die Ordnung 2 hat, ist L(V ) wohldefiniert.

Eine Abschätzung von L(V ) gab Eichler in [3] an. Einen fehlerbereinigten Beweis dazu findet man in [9].

Satz 2.37

Zu jedem λ gibt es k 1 , k 2 ∈ R

, so dass für alle V ∈ G(λ) mit V =



 a b c d





gilt

L(V ) ≤ k 1 ln(a ² + b ² + c ² + d ² ) + k 2 . Lemma 2.38

Es sei ρ : G(λ) → GL(p , C ) ein Gruppenhomomorphismus. Gilt kρ(T )k

, kρ(S ⁿ _λ )k

≤ c 1

für alle n ∈ Z mit c 1 ∈ R

, dann gibt es c 2 , C ∈ R

, so dass für alle V =



 a b c d



 ∈ G(λ) gilt:

p k ρ(V ) k

≤ c 2 (a ² + b ² + c ² + d ² ) ^{C ln(pc}

⁾ . Beweis:

Ein vorgegebenes V ∈ G(λ) schreiben wir in der Form

V = ± W 1 · · · W _L , W _j ∈ { T } ∪ { S ^k _λ | k ∈ Z } mit k 1 , k 2 ∈ R

und

L ≤ k 1 ln(a ² + b ² + c ² + d ² ) + k 2

gemäß 2.36, 2.37. Damit folgt ρ(V ) = ρ(W 1 ) · · · ρ(W _L ) =





p

X

m

,...,m

ρ _jm

(W 1 )ρ _m

_m

(W 2 ) · · · ρ _m

_n (W _L )





j,n=1,...,p

, also (Dreiecksungleichung, p ^L−1 Summanden, L-Faktoren ≤ c 1 in jedem Summanden)

kρ(V )k

≤ p ^L−1 c ₁ ^L . Wir erhalten

p k ρ(V ) k

≤ (pc 1 ) ^L = e ^{L ln(pc}

⁾ ≤ e ^(k

^ln(a

^)+k

^{) ln(pc}

⁾

≤ c 2 (a ² + b ² + c ² + d ² ) ^c

^ln(pc

⁾ .

Satz 2.39

Es gibt eine Rechtstransversale R von h S _λ i in G(λ) und ein k ∈ R

, so dass für alle R ∈ R mit R =



 a b c d





a ² + b ² + c ² + d ² ≤ k(c ² + d ² ) gilt.

Beweis:

Aus jeder Rechtsnebenklasse h S λ i R von h S λ i in G(λ) wählen wir einen Vertreter R, so dass − ^λ ₂ ≤ Re R(2i) ≤ ^λ ₂ gilt; dies ist durch Vorschaltung einer geeigneten Translati- on aus h S _λ i ohne Zerstörung der Vertretereigenschaft möglich. Diese R bilden eine gewünschte Rechtstransversale R:

Nach Satz 2.7 haben wir

0 < Im R(2i) = 2

|2ci + d| ² = 2 4c ² + d ² .

Da c und d nicht beide verschwinden können, ergibt sich | Im R(2i) | ≤ 2 mit Satz 2.26. Insgesamt erhalten wir

4a ² + b ² 4c ² + d ² =

2ai + b 2ci + d

2

= | R(2i) | ² ≤ 4 + λ ² 4 ≤ 5 also

a ² + b ² ≤ 4a ² + b ² ≤ 5(4c ² + d ² ) ≤ 20(c ² + d ² ) . Wir können also k = 21 wählen.

Bemerkungen 2.40

i) Ist R eine Rechtstransversale von h S λ i in G(λ), so ist R := Φ

[ R ] wegen − E 2 6∈

h S λ i eine Rechtstransversale von h S λ i in G(λ). Satz 2.39 gilt also analog für G(λ).

ii) Ist R eine Rechtstransversale von h S λ i in G(λ), so verstehen wir unter R ^c6=0 die Menge aller M ∈ R mit c 6= 0. Wegen Korollar 2.35 und − E 2 6∈ h S λ i können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit

R = R ^c6=0 ∪ {E 2 , − E 2 } im folgenden annehmen.

iii) Ist R eine Rechtstransversale von h S _λ i in G(λ), V ∈ G(λ), so ist dies auch R V ,

denn die Rechtmultiplikation mit V ist eine Bijektion in G(λ).

Satz 2.41

Es seien k ∈ R , k > 2, R eine Rechtstransversale von h S _λ i in G(λ).

i) R ist abzählbar und die Reihe

X

M∈R

1

|M : τ| ^k konvergiert für alle τ ∈ H .

ii) In jedem Vertikalstreifen V ε := { τ = x + iy ∈ H | | x | ≤ ε

, y ≥ ε }, ε > 0, konvergiert die Reihe gleichmäßig.

iii) Die Reihe ist in H kompakt konvergent.

iv) Es gilt

lim

τ→i∞

X

M∈R

1

| M : τ | ^k = 0 .

Beweis:

[16], Seiten 68–70, 72