4. ¨Ubung “Von-Neumann-Algebren”

Dr. Thomas Timmermann, timmermt@math.uni-muenster.de 9. Mai 2007

4. ¨ Ubung “Von-Neumann-Algebren”

Sei H ein unendlich-dimensionaler Hilbertraum.

1. [Dixmier, Kapitel 1.1 Aufgabe 9 (a)] SeiM ⊂ B(H) eine Von-Neumann- Algebra, H₀ ⊂ H eine dichte Teilmenge, (T_ν)_ν eine Netz in M und T ∈ B(H). Zeige: Wenn

limν hη|T_νξi=hη|T ξiund lim

ν hη|T_ν^∗ξi=hη|T^∗ξi f¨ur alle η∈H, ξ ∈H₀, dann gilt T ∈M (Hinweis: Zeige, dass hη|ST ξi=hη|T Sξi f¨ur alle η, ξ ∈ H und S ∈M⁰ gilt).

2. [Dixmier, Kapitel 1.1 Aufgabe 9 (b)] Sei{e₁, e₂, e₃, . . .}eine ONB von H und Tn∈ B(H) f¨ur jedes n∈N definiert durch

T_ne₂ = 2e₂−3e₃, T_ne_n=−ne₂+ 3

2ne₃, T_ne_i = 0 f¨ur i6= 2, n.

Sei T ∈ B(H) definiert durch

T e₂ = 2e₂−3e₃, T e_i = 0 f¨ur i6= 2.

(a) Zeige: limnTnei =T ei f¨ur alle i.

(b) Sei S ∈ B(H) definiert durch Se₁ = P

ne_n/n und Se_i = e₁/i f¨ur i > 1. Zeige, dass ST_n = T_nS f¨ur alle n ∈ N, aber he₂|ST e₁i 6=

he₂|T Se₁i.

(c) Zeige:T geh¨ort nicht zur Von-Neumann-Algebra, die von{T_n|n ∈ N} erzeugt wird.

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