Dr. Thomas Timmermann, timmermt@math.uni-muenster.de 6. Juni 2007
8. ¨ Ubung “Von-Neumann-Algebren”
Sei H ein Hilbertraum.
1. SeiM ⊂ B(H) eine vN-Algebra undξ∈H. Zeige:ξist separierend/zyklisch f¨urM ⇔ξ ist zyklisch/separierend f¨ur M0.
2. SeiA ⊂ B(H) eineC∗-Algebra und ξ ∈H. Beweise oder widerlege:
(a) Ist ξ zyklisch f¨ur A, so auch f¨ur A00.
(b) Ist ξ separierend f¨ur A, so auch f¨ur A00. (Hinweis: Setze H :=
L2([0,1], µ), wobeiµdie Summe des Lebesgue-Maßes und des Punkt- maßes f¨ur den Punkt 1∈[0,1] ist, setzeξ(t) := 1−tf¨ur allet ∈[0,1], und w¨ahle A geeignet).
Eine vN-Algebra M ⊂ B(H) heißt maximal kommutativ, wenn M kommuta- tiv ist und keine gr¨oßere kommutative vN-Algebra N ⊂ B(H) mit M ⊂ N existiert.
Sei M ⊂ B(H) eine vN-Algebra.
3. Zeige: M ist maximal kommutativ⇔ M =M0.
4. Zeige: M ist kommutativ ⇔ alle selbstadjungierten Elemente von M kommutieren ⇔ alle Elemente von M sind normal.
5. SeiM kommutativ und ξ∈H ein zyklischer Vektor f¨ur M. (a) Zeige: ξ ist separierend f¨urM.
(b) Zeige: F¨ur jedes S ∈ B(H) gilt: S ist normal ⇔ kSηk=kS∗ηk f¨ur alle η∈H.
(c) SeiS ∈M0. Zeige:
i. Es gibt eine Folge (Tn)n in M mit limnTnξ =Sξ.
ii. (Tn∗ξ)n ist eine Cauchy-Folge (Hinweis: (b)) und limnTn∗ξ = S∗ξ.
iii. S ist normal (Hinweis: (b)).
(d) Schlussfolgere:M ist maximal kommutativ.
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