6. ¨ Ubung “Von-Neumann-Algebren”

Dr. Thomas Timmermann, timmermt@math.uni-muenster.de 15. Mai 2007

6. ¨ Ubung “Von-Neumann-Algebren”

1. Beweise Satz 4.3 ii)–iv), d.h. zeige, dass f¨ur jede Familie (M_ν)_ν von vN- Algebren auf Hilbertr¨aumen (Hν)ν gilt:

(a) F¨ur jedes ν₀ existiert

• ein normaler injektiver∗-Homomorphismusιν: Mν0 →M,Tν0 7→

(δ_ν0,νT_ν0);

• ein normaler surjektiver ∗-Homomorphismus p_ν: M → M_ν0, (T_ν)_ν 7→T_ν0.

(b) Z(M) =Q(vN)

ν Z(M_ν).

(c) M∗ ∼={(ω_ν)_ν ∈Q

ν(M_ν)∗ |P

νkω_νk<∞}.

2. SeiH ein Hilbertraum. Zeige: Istf: R→Ceine Borel-messbare Funkti- on und die Abbildung Φf: B(H)sa→ B(H), T 7→f(T), stetig bez¨uglich der starken Topologie, so istf stetig. Hinweis: Betrachte Operatoren der Form t·id_H f¨urt∈R.

3. SeiM eine vN-Algebra auf einem Hilbertraum H und P ∈M eine Pro- jektion. Zeige: Die kleinste Projektion in Z(M), welche gr¨oßer gleich P ist, ist die Projektion auf spanM P H. Diese Projektion wird die zentrale H¨ulle (eng. central cover) von p bzgl. M genannt.

4. SeiM eine vN-Algebra und P ∈M⁰ eine Projektion. Zeige:

(a) Wenn die zentrale H¨ulle von P bzgl. M⁰ gleich id_H ist, so ist die Abbildung M →M_P, T 7→T_P, ein normaler Isomorphismus.

(b) Es giltZ(M_P) = Z(M)_P (Hinweis: Betrachte die zentrale H¨ulle von P bzgl. M⁰).

(c) F¨ur jede Projektion Q∈M gilt Z(M_Q) =Z(M)_Q.

5. SeiM eine vN-Algebra,K ein Hilbertraum,π: M → B(K) ein normaler

∗-Homomorphismus und N :=π(M)⁰⁰.

(a) Sei x ∈ M_sa, kπ(x)k ≤ 1 und χ(1,∞] die charakteristische Fuktion des Intervalls (1,∞]. Zeige: π χ(1,∞](x)

= 0 (Hinweis: Funktional- kalk¨ul).

Bezeichne M_sa,1 und N_sa,1 die Einheitskugeln inM_sa und N_sa. Zeige:

(b) π(Msa,1) ist dicht in Nsa,1 bzgl. der σ-schwachen Topologie.

(c) π(M_sa,1) ist abgeschlossen bzgl. der σ-schwachen Topologie.

(d) π(M) = N.

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