10. ¨Ubung zur Mathematischen Programmierung Abgabe bis sp¨atestens Montag, 14. Juli um 10:05 in der ¨Ubung

Prof. Dr. U. Faigle SS 2003 B. Fuchs

10. ¨ Ubung zur Mathematischen Programmierung

Abgabe bis sp¨atestens Montag, 14. Juli um 10:05 in der ¨Ubung

Aufgabe 1

Betrachten Sie folgendes Optimierungsproblem:

maxx₁+ 2x₂ +x₃ mit x₁+x₂ = 20 x₂−x₃ ≤ 10 x₁−x₂+ 2x₃ ≤ 30 x₁, x₂ ≥ 0

a) Formulieren Sie dieses Problem in folgender Form:

minz mit z−c^Tx= 0 Ax=b x≥0

b) Geben Sie eine zul¨assige Startl¨osung (d.h. eine primal zul¨assige Basis) an.

c) Bestimmen Sie eine optimale L¨osung mit dem primalen Simplex-Verfahren.

Aufgabe 2

Geben Sie eine MatrixAund einen Vektorban, so dass zwei verschiedene Basen vonAdieselbe Ecke vonP ={x∈Rⁿ|Ax=b,x≥0}definieren.

Aufgabe 3

Betrachtet werde das Problem

min 3x₁+ 2x₂+x₃ mit 4x₁+x₂−2x₃ ≥ 2 x₁−2x₂+x₃ ≥ −1

−3x₁+ 3x₂+ 2x₃ ≤ 8 x₁, x₂, x₃ ≥ 0

1

a) Geben Sie eine ¨aquivalente Formulierung als LP in der Normalform

minz mit z−c^Tx = 0 Ax = b x ≥ 0

b) Bestimmen Sie eine dual zul¨assige Basis des LPs in (a) und stellen Sie das zugeh¨orige Sim- plextableau auf.

c) F¨uhren Sie eine Iteration des dualen Simplexalgorithmus aus.

Aufgabe 4

Betrachten Sie das Problem maxx₁ mit x^Tx = 1. Der zul¨assige Bereich sei gegeben durch F ={x∈Rⁿ|g₁(x) = x^Tx−1≤0, g₂(x) = 1−x^Tx≤0}.

a) Zeigen Sie: Jeder zul¨assige Punkt erf¨ullt die Bedingung von John.

b) Erf¨ullt die Optimall¨osung die Bedingungen von Karush-Kuhn-Tucker?

2