4. ¨ Ubung zur Mathematischen Programmierung

Prof. Dr. U. Faigle SS 2003 B. Fuchs

4. ¨ Ubung zur Mathematischen Programmierung

Abgabe bis sp¨atestens Montag, 26. Mai um 10:00 in der ¨Ubung bzw. den Briefkasten vorm ZAIK

Aufgabe 1

Weisen Sie nach, dass die Wahl des Parameters λ_k nach HESTENES-STIEFEL, FLETCHER- REEVESund POLAK-RIBIEREjeweils tats¨achlich eine Verallgemeinerung der konjugierten Gra- dienten ist.

Aufgabe 2

Seiq(x₁, x₂) =x²₁+rx²₂mitr >1. Zeigen Sie, dass das klassische Gradientenverfahren, gestartet in(x⁽⁰⁾₁ , x⁽⁰⁾₂ ) = (r,1), die Punkte

(x^(k)₁ , x^(k)₂ ) =

r−1

r+ 1

k

(r,(−1)^k)

durchl¨auft.

Aufgabe 3

Seiq(x) = ¹₂x^TAx+b^Txeine quadratische Funktion mit positiv definitemA. Zeigen Sie, dass das Newton-Verfahren bei belieben Startpunktx₀ das globale Minimum in einem Schritt findet.

Aufgabe 4

Suchen Sie mithilfe der Java-Implementation des konjugierten Gradienten-Verfahrens unter http://www.zaik.uni-koeln.de/˜buzdemir/nichtlineare opt/

ein Minimum der Funktion

x² + 2y²−2x−y mit Startpunkt(0,0). W¨ahlen Sie als Funktionsform

”differenzierbar“, und lassen Sie den Para- meterλ_k(der hierα_kheißt) nach den drei verschiedenen Methoden bestimmen.

Tun Sie das gleiche mit der Funktion

x²+ 2y²+ 3 cos²(x)−sin(y)

Versuchen Sie es daraufhin mit dem Startpunkt(0.1,0)und allen drei Methoden. Was f¨allt Ihnen auf?

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