Blatt 5 1. Ornstein-Uhlenbeck-Prozess II.

Physikalische Kinetik SS 2019

Blatt 5 1. Ornstein-Uhlenbeck-Prozess II.

• Geben Sie die Fokker-Planck-Gleichung f¨ ur den Ornstein-Uhlen- beck-Prozess an.

• Zeigen Sie, dass die Verteilungsdichte p(x, t) von x(t) f¨ ur den Ornstein-Uhlenbeck Prozess zu jeder Zeit eine Gaußverteilung ist, d.h. zeigen Sie, dass die L¨ osung der Gleichung die Form

p(x, t|x

, t

) =

s

1

2πσ

(1 − g(t − t

)

) exp

"

− (x − g(t − t

)x

)

2σ

(1 − g(t − t

)

)

#

hat (x

und t

geben die Anfangsbedingungen an). Finden Sie den expliziten Ausdruck f¨ ur die Dispersion σ und f¨ ur die normierten Korrelationsfunktion g(t) (g (0) = 1).

2. Ornstein-Uhlenbeck-Prozess III.

Im weiteren besch¨ aftigen wir uns oft mit Markov -Prozessen, d.h. mit solchen Prozessen f¨ ur die die ¨ Ubergangswahrscheinlichkeiten p(x, t|x

, t

) einer Chapman-Kolmogorov-Gleichung gen¨ ugen:

p(x, t|x

, t

) =

Z ∞

−∞

p(x, t|x

, t

)p(x

, t

|x

, t

)dx

(1) bei beliebigem t

.

• Zeigen Sie, dass f¨ ur einen station¨ aren Gaussprozess die Gl.(1)

¨ aquivalent ist zu einer Forderung, dass

g(t) = g (t − t

)g(t

). (2)

• Zeigen Sie, dass der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess der einzige stati- on¨ are Zufallsprozess ist, der gleichzeitig Gauss’sch und Markov’sch ist, d.h. dass die L¨ osung von Gl.(2) die Form g(t) = exp(−t/τ) hat.

Hinweis: Nehmen Sie t − t

klein an und gehen Sie von der Funk- tionalgleichung, Gl.(2), zu einer Differentialgleichung ¨ uber.

1

3. Mastergleichung und Diffusionsgleichung

Wir betrachten ein System mit diskreten Zustnden. Die ¨ Uberg¨ ange zwischen diesen Zust¨ anden sind durch die ¨ Ubergangsraten w

be- schrieben,

d

dt p

=

m

w

p

− p

m

w

. (3)

Nehmen wir an, dass diese Raten sich nur f¨ ur m = n ± 1 von 0 un- terscheiden (ein ein-Schritt-Prozess). Im Folgenden diskutieren wir die kontinuierliche N¨ aherung zu dieser Gleichung, indem wir die kontinu- ierliche Variable x einf¨ uhren und eine Funktion p(x, t) betrachten, die zwischen den Werten p

(t) bei x

= an glatt interpoliert. In diesem Fall kann p

aus p(x) f¨ ur x = an durch Taylor-Entwicklung bestimmt werden.

• Nehmen Sie zun¨ achst alle nicht-verschwindenden Raten als gleich an, w

= w und bestimmen Sie in der niedrigsten nicht- verschwindenden Ordnung die Gleichung f¨ ur p(x, t) indem Sie die Differenzen-Gleichung (3) durch eine Differentialgleichung ann¨ ahern.

Diese hat die Form einer Diffusionsgleichung. Wie groß ist der Dif- fusionskoeffizient D?

Betrachten Sie nun die sich als Funktion von n langsam ¨ andernden Raten w

= w

(n) und w

= w

(n), so dass |w

(n + 1) − w

(n)| w

(n). Wir hehmen an, dass die Funktionen w

(n) durch entsprechende Funktionen w

(x) interpoliert werden k¨ onnen, und dass in der kontinuierlichen N¨ aherung die Entwicklung von p(x, t) durch eine Fokker-Planck-Gleichung mit Koordinaten-abh¨ angigen Diffusionskoef- fizienten D(x) beschrieben werden kann. Finden Sie diese Gleichung in den zwei folgenden Situationen:

• Lokal symmetrische Raten: w

(n) = w

(n)

• Detaillierte Bilanz (in Abwesenheit des ¨ außeren Feldes): w

(n) = w

(n + 1).

Hinweis: Die Symmetriebedingungen erlauben alle w

(n) durch ent- sprechende w

(n) auszudrucken. Bei der Diskussion der Ergebnis kann man alle Glieder von h¨ ohere Ordnung in a als a

vernachl¨ assigen.

2

Betrachten Sie nun die Situation wenn die Knoten n in Raum inhomo- gen verteilt sind, und die Koordinate des Knoten x

= f(n), mit sich hinreichend langsam ¨ andernden, monoton wachsenden Funktion f(n).

Im vorigen Abschnitt war f(n) einfach eine lineare Funktion f (n) = an.

Nun ist a an sich eine Funktion von n oder x.

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