Adaptive, entscheidungsbasierte Kanalschätzung in mobilen MIMO-OFDM Systemen

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Adaptive, entscheidungsbasierte Kanalschätzung in mobilen

MIMO-OFDM Systemen

Vom Fachbereich Elektrotechnik der Helmut-Schmidt-Universität / Universität der Bundeswehr Hamburg zur Erlangung des akademischen Grades eines

Doktor-Ingenieurs genehmigte

Dissertation

vorgelegt von

Patric Alain Beinschob

aus Hamburg

Hamburg 2010

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Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Udo Zölzer

(Helmut-Schmidt-Universität Hamburg) Prof. Dr.-Ing. Gerd Scholl

(Helmut-Schmidt-Universität Hamburg) Tag der mündlichen Prüfung: 12.11.2010

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Vorwort

Die vorliegende Dissertation ist während meiner Tätigkeit als wissenschaftli- cher Mitarbeiter an der Professur für Allgemeine Nachrichtentechnik an der Helmut-Schmidt-Universität / Universität der Bundeswehr entstanden.

Ich möchte mich bei meinem Betreuer Professor Udo Zölzer bedanken für die Möglichkeit diese Arbeit durchzuführen und die Anregungen während mei- nes Forschungsvorhabens und bei der Verschriftlichung. Weiterhin gilt mein Dank meinem Diplomarbeitsbetreuer und späteren Kollegen Matthias Lieberei für die wichtigen Forschungsimpulse, fachlichen Ratschläge und Diskussionen.

Meine Studenten Markus Muxfeldt, Ken Suto, Kai Thiemrodt und mein spä- terer Kollege Jan Oliver Hinz haben außerdem wichtige Beiträge zu dieser Arbeit geleistet. Auch allen weiteren Kollegen aus dem Arbeitsbereich Allge- meine Nachrichtentechnik sei gedankt.

Ich möchte mich bei Professor Robert Fischer bedanken für die wichtige Rückmeldung bei den ITG Fachgruppensitzungen; Professor Gerd Scholl für die Übernahme des Zweitgutachtens und Professor Christian Schäffer für die Übernahme des Prüfungsvorsitzes.

Mein besonderer Dank gilt meiner Frau Ulrike und meinen Eltern Otto und Danuta Beinschob.

Hamburg, im November 2010

Patric Beinschob

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Inhaltsverzeichnis

1. Einführung 1

1.1. Orthogonal Frequency Division Multiplexing . . . 4

1.2. Multiple-Input Multiple-Output . . . 9

1.2.1. Vektorisierte Formulierung der MIMO-Systemgleichung 11 1.3. Räumliches Kanalmodell . . . 12

1.4. Modulationstechniken . . . 12

1.4.1. Interleaver . . . 14

1.4.2. Symbolmodulation . . . 15

1.4.3. Bit Interleaved Coded Modulation . . . 16

1.4.4. MIMO-OFDM Spatial Multiplexing . . . 18

1.5. Kanalcodierung mit LDPC Codes . . . 19

1.5.1. Codierung . . . 19

1.5.2. Konstruktion . . . 20

1.5.3. Log Likelihood Algebra . . . 22

1.5.4. L-Werte aus dem AWGN-Kanal . . . 24

1.5.5. LDPC Decodierung . . . 25

1.5.6. Ensemble-Optimierung . . . 25

1.5.7. EXIT-Chart . . . 26

2. MIMO Detektion 31 2.1. Lineare Detektion . . . 32

2.1.1. Symboldetektion . . . 33

2.2. Sukzessive Interferenzauslöschung . . . 34

2.2.1. VBLAST/ZF . . . 35

2.2.2. VBLAST/MMSE . . . 35

2.3. Symbolvektor-Detektion . . . 37

2.3.1. Maximum Likelihood Symbolvektor-Detektor . . . 38

2.3.2. Soft Maximum Likelihood-Detektor . . . 38

2.4. MIMO Bit-Detektion . . . 39

2.4.1. Maximum Likelihood Bit-Detektor . . . 40

2.4.2. Maximum A Posteriori Bit-Detektor . . . 40

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Inhaltsverzeichnis

2.5. Vergleich der Detektionsverfahren . . . 41

2.6. Entzerrer im Zeitbereich . . . 44

2.7. Zusammenfassung . . . 46

3. Adaptive, entscheidungsbasierte Kanalschätzung 49 3.1. Recursive Least Squares-Kanalschätzung . . . 51

3.2. Pilot-Initialisierung . . . 55

3.2.1. Orthogonale Sequenzen . . . 56

3.2.2. Nicht-orthogonale Pilotsequenzen . . . 59

3.3. Entscheidungsrückführung . . . 60

3.4. Kanalprädiktion . . . 61

3.4.1. Zero-Order-Prädiktor . . . 62

3.4.2. RLS-Prädiktor . . . 62

3.4.3. Exponentielle Vorhersage . . . 64

3.4.4. Ergebnisse . . . 65

3.4.5. Zusammenfassung . . . 67

4. Verbesserung der Kanalschätzung in MIMO-BICM-Systemen 69 4.1. Verzögerungskritische Systeme . . . 70

4.1.1. Systeme mit Rahmenverschachtelung . . . 70

4.1.2. Beschränkungen OFDM-blockverschachtelter Systeme . 71 4.1.3. Verbesserung der Kanalschätzung in verzögerungskriti- schen Systemen durch Rückführung codierter Daten . . 73

4.1.4. Codegestützte MIMO-Symbolrekonstruktion . . . 76

4.2. Nachbearbeitung der Kanalschätzung . . . 80

4.2.1. Exponentielle Rahmengewichtung . . . 83

4.2.2. Rekursives Smoothing . . . 86

4.2.3. Glättung der Kanalübertragungsfunktion durch Median- Filterung . . . 90

4.2.4. Ergebnisse . . . 91

4.3. Entscheidungsrückführung in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung 93 4.3.1. Erweiterte Kanalschätzung durch Turbo Decodierung mit LDPC-Codes . . . 97

4.3.2. Summation der a posteriori LLRs . . . 102

4.3.3. Ergebnisse . . . 103

5. Zusammenfassung 107

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Inhaltsverzeichnis

Anhang 109

A. Parameter des 3GPP Kanalmodells 111

B. Matrix-Inversionslemma 115

C. Turbo Decoder 117

Symbol- und Abkürzungsverzeichnis 121

Literaturverzeichnis 127

Index 135

Lebenslauf 137

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1. Einführung

Spätestens seit Beginn des analog sunset, evident durch das Abschalten der letzten analogen terrestrischen Fernsehsender in Deutschland (2008) und den USA (2009) ist klar, dass in der digitalen Übertragungstechnik die Zukunft liegt. Paradoxerweise stellt uns aber gerade diese neue Technik vor Probleme, die vorher bereits gelöst waren. So bleibt der Bildschirm in Hochgeschwindig- keitszügen mit handelsüblichen DVB-T Empfängern oft dunkel. Auch Breit- band-Internetverbindungen für Reisende in der Bahn oder in Flugzeugen sind noch nicht so selbstverständlich wie der DSL-Zugang zu Hause. In deralways on Wissensgesellschaft ist der Reisende geradezu abgeschnitten von der Welt, in der er sich mit hoher Geschwindigkeit bewegt. Stellt doch die Passagier-Ka- bine ein besonders anspruchsvolles Szenario für ein Kommunikationsnetz dar:

Viele Nutzer mit unterschiedlichen Datenanforderungen durch verschiedene Dienste wie E-Mailing, Browsing, Audio/Video Streaming auf engem Raum mit hoher Hindernisdichte und einer Vielzahl möglicher Signalausbreitungs- pfade. Zuverlässige, hochratige Kommunikation bei Geschwindigkeiten bis zu 350 km/h wurde bereits als Zielvorgabe zukünftiger Mobilfunknetze formuliert [3rd09]. Die vorliegende Arbeit will dazu beitragen, den Zugriff auf Informa- tion für viele Nutzer zu ermöglichen. Dazu wurden Verfahren entwickelt, die speziell in mobilen Empfängern helfen sollen, den Breitband-Funkkanal mög- lichst genau zu vermessen, um die Übertragungsqualität auch unter widrigen Bedingungen auf einem hohem Niveau stattfinden zu lassen. Als Grundlage für alle diese Verfahren dient eine Technik, die als Schlüsseltechnologie zur Unterstützung von Datenraten-Anforderungen zukünftiger Kommunikations- netzwerke angesehen wird: Unter MIMO (Multiple-Input Multiple-Output) ver- steht man die koordinierte Nutzung mehrerer Sende- und Empfangsantennen zur Funkübertragung.

Eine Steigerung der Kanalkapazität kann in MIMO-Systemen durch eine Erhöhung der rechnerischen Komplexität bzw. des Implementierungsauf- wand erreicht werden, während die Primärressourcen wie Gesamtsendeleis- tung und Kanalbandbreite konstant gehalten werden. Diese Steigerung bildet die grundsätzliche Motivation, sich mit drahtlosen MIMO-Übertragungs- techniken auseinander zu setzen. Die theoretisch hohen Kapazitäten, die

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1. Einführung

−30

−20

−10 0

−20 −10 0 10 20 f in MHz

Sender

LDSindB→

−30

−20

−10 0

−20 −10 0 10 20 f in MHz

Empfänger

LDSindB→

Bild 1.1.: Mehrfachnutzung desselben Frequenzbands durch 4 × 4 MIMO- OFDM Technik; geschätzte Leistungsdichtespektren (LDS) der vier Sendesignale am Sender (links) und am Empfänger (rechts).

durch erhöhte Diversität und Interferenzunterdrückung erreicht werden, lassen den Einsatz im Mobilfunkbereich immer wahrscheinlicher werden. Arbei- ten wie [Fos96, WFGV98] und [FG98] demonstrierten das enorme Potential und praktische Erreichbarkeit hoher Bandbreiteeffizienz mit Hilfe der Mehr- antennentechnik und Raummultiplex-Übertragung.

Um die Vorteile von MIMO in Breitbandkanälen nutzen zu können, wird die MIMO-Technik mit der bekannten Breitbandmodulationstechnik Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM) zu MIMO-OFDM-Systemen kom- biniert. OFDM wird in vielen modernen Kommunikationssystemen wie DVB (Digital Video Broadcast), DAB (Digital Audio Broadcast), DRM (Digital Ra- dio Mondial), IEEE 802.11a/g/n und 802.16 (WiMAX), DSL (Digital Subs- criber Line) erfolgreich eingesetzt. So kann zum einen ein Diversitätsgewinn erzielt werden, zum anderen die erreichbare Datenrate in frequenzselektiven Kanälen erhöht werden (siehe Bild 1.1). MIMO-OFDM Systeme bilden ein vielbeachtetes Themenfeld aktueller Forschung auf Grund ihrer hohen spek- tralen Effizienz und Verbindungszuverlässigkeit [BGP02].

Bisher vorgeschlagene MIMO-OFDM-Systeme zeigen jedoch deutlich nied- rigere Übertragungsraten als es auf Grund der Kanalkapazität zu erwarten wäre. Dies ist besonders der Fall in den erwähnten mobilen Szenarien, wie in Bild 1.2 skizziert [3G 09]. Eine exakte Kenntnis des Kanals kann hierbei als Grundlage kohärenter Detektion zu einer Verringerung der Bitfehlerraten oder

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←v

Bild 1.2.: Szenario mit fester Basisstation und mobilem Terminal mit Geschwindigkeit v in einer städtischen Umgebung mit Mehrwegeausbreitung.

zu einer Steigerung der Übertragungsraten beitragen.

Fortschritte in der Codierungstheorie im letzten Jahrzehnt führten zur Kon- zentration auf kombinierte Systemansätze von MIMO-OFDM und insbeson- dere Turbo Codes, so dass sogenannte joint detection und das Prinzip von iterativer Decodierung entwickelt wurden. Iterative Systeme, wie in [AH07b]

oder [SH09] vorgeschlagen, zeigen gute Resultate. Durch die Länge des Turbo Codes entsteht allerdings eine Verzögerung in der Verarbeitung im Empfän- ger, da erst das gesamte Codewort empfangen werden muss, bevor decodiert werden kann. Gewisse Anwendungen wie z.B. Sprachübertragung erfordern allerdings eine beschränkte, maximale Verzögerung. Sie sind zudem sehr kom- plex und weisen durch die mehrfache Verarbeitung der empfangenen Daten ebenfalls eine noch zusätzliche, höhere Verzögerung auf.

Auf die Schätzung des Kanals in MIMO-OFDM-Systemen ist in dieser Ar- beit besondere Aufmerksamkeit gerichtet. Es werden hierbei Möglichkeiten untersucht, den zeitlich-veränderlichen Kanal im Empfänger zuverlässig zu schätzen und zu verfolgen. Um den Einsatz von Primärressourcen – Bandbrei- te bzw. Sendeleistung – möglichst gering zu halten, wurde ein entscheidungs- basierter Ansatz gewählt. Die Kanalschätzung unter diesen Randbedingungen stellt immer noch eine Herausforderung dar, mit der sich nicht viele Arbei- ten beschäftigen. Die Arbeit in [KYIG05] befasst sich mit zeitvarianten MI- MO-Kanälen, die mit Hilfe von Kalman-Filtern verfolgt werden. In [AH07a]

wird eine adaptive Kanalschätzung vorgeschlagen, die durch Anwendung einer Dimensionsreduktionstechnik eine akzeptable Komplexität aufweist und durch Anwendung eines langen Turbo Codes auch unter schlechten Signal-zu- Rauschverhältnissen (SNR) geringe Bitfehlerraten zeigt.

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1. Einführung

In der vorliegenden Arbeit wurden Turbo Codes auf Grund ihrer typischen langen Verzögerungen vermieden und ein Ansatz mit kurzen LDPC Codes verfolgt, die durch eine spezielle Empfängerstruktur helfen, den Schätzfeh- ler in der Kanalschätzung zu verringern, bzw. die in bandbreiteeffizienteren, entscheidungsbasierten Kanalschätzalgorithmen häufig auftretende problema- tische Fehlerfortpflanzung so weit wie möglich zu vermindern.

Inwieweit die Verbesserung der Kanalschätzung tatsächlich zu einer Verrin- gerung der Bitfehlerraten führt, wird dann durch Evaluation des Verhaltens in Systemen mit höchster Bandbreiteeffizienz untersucht. Somit ergibt sich der Raummultiplex-Modus (Spatial Multiplexing - SM) als zentrales MIMO- Übertragungsverfahren.

Die vorliegende Arbeit ist in fünf Kapitel gegliedert. Nach der sich anschlie- ßenden Einführung in OFDM und der zugrunde liegenden Modulationstech- nik sowie Erläuterungen zur verwendeten Notation, werden das verwendete MIMO-Kanalmodell und die Kanalcodierung vorgestellt. Kapitel 2 ist der Dis- kussion von MIMO-Detektionsalgorithmen gewidmet. Die Vorstellung eines grundsätzlichen MIMO-Kanalschätzalgorithmus, sowie das in diesem Zusam- menhang auftretende Problem der Initialisierung sind Themen in Kapitel 3.

Eigene Lösungsansätze sind in Kapitel 4 nachzulesen: Hier werden weiterfüh- rende Algorithmen zur Verbesserung der Kanalschätzqualität und spezielle Systemvorschläge evaluiert. Die Arbeit schließt mit einer Zusammenfassung in Kapitel 5.

1.1. Orthogonal Frequency Division Multiplexing

Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM) ist ein weit verbreitetes Mehrträgermodulationsverfahren in Breitbandkommunikationssystemen. Es geht zurück auf Arbeiten von [WE71, AL87]. Einträgerverfahren weisen bei zunehmend längeren Kanalimpulsantworten in Breitbandkanälen eine drasti- sche Steigerung der algorithmischen Komplexität des Entzerrers auf. Deshalb liegt es nahe, diese Breitbandkanäle in mehrere Schmalbandkanäle zu unter- teilen (to divide) und mehrere Subträger (Subcarrier) parallel zu nutzen, d. h.

Datenströme zu verteilen (multiplexing). Das Besondere an der OFDM-Tech- nik ist die inhärente Orthogonalität der Subträger: Der Funkkanal wird als lineares, zeitinvariantes (LTI) System aufgefasst. Die komplexen Schwingun- gen sind dessen Eigenfunktionen, d. h. sie werden durch das System nur in ihrer

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1.1. Orthogonal Frequency Division Multiplexing

✦ ✦

✦ ✦ ✦

✦ ✦

▲

✦ ✦

✦ ✦ ✦

✦ ✦

▲

Bild 1.3.: Entwurf eines Gleichwellennetz, Diversitätseffekte an überlappenden Zellgrenzen durch Speisung des Empfängers durch zwei Sender.

✦- Basisstation ▲- Mobiler Empfänger

komplexen Amplitude verändert und bilden eine orthogonale Basis. Bei Nut- zung der Eigenfunktionen als Träger von Information ist der Empfänger durch einfache Korrektur der komplexen Amplituden in der Lage, die Information zurückzugewinnen, so dass keine schmalbandigen Filter oder Schutzbänder wie im konventionellen FDM nötig sind.

Weitere besondere Merkmale dieser Technik sind:

• hohe Bandbreiteeffizienz durch überlappende Subträger,

• einfache Ressourcenallokation durch inhärentes Frequenz Division Mul- tiplexing,

• günstige Hardware-Implementierung durch Nutzung des FFT-Algorith- mus,

• Nutzen von Diversitätseffekten in Gleichwellennetzen durch mehrere Sen- der, vgl. Bild 1.3.

OFDM findet Anwendung in Funk-Standards wie IEEE 802.11g/n, WiMAX, LTE, Digital Audio Broadcast, Digital Video Broadcast aber auch in draht- gebundenen Applikationen wie DSL alsDiscrete Multitone (DMT). In einem konventionellen digitalen Einträger-Übertragungssystem (single carrier) mit SymboltaktfS ist die DatenrateR∝1/TS umgekehrt proportional zur Sym- boldauerTS. Der Bedarf an hohen Datenraten führt auf kurze Symboldauern und somit breitbandige Sendesignale, die über Breitbandkanäle übertragen

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1. Einführung

werden müssen. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass ihre Kohärenzbandbrei- teBC sehr viel kleiner ist als die GesamtbandbreiteB:

B≫BC. (1.1)

Ist Bedingung (1.1) erfüllt, so spricht man von einem frequenzselektiven Kanal.

Fasst man den Kanal als Zufallsprozess h(t, τ) in Zeitt und Verzögerung τ auf, so erfolgt die Definition der Kohärenzbandbreite über den Kehrwert der mittleren Impulsverbreiterung delay spread, dem zweiten Zentralen Moment des Zufallsprozesses:

BC= 1

∆τ, ∆τ= E

|h(t, τ)|² . (1.2) Die Länge der Kanalimpulsantwort ist durch die physikalische Umgebung gegeben. Die längste Umweglaufzeit τmax, bzw. L+ 1 Samples, bestimmt die KanalordnungL, die durch Abtastung in SymboltaktenL+ 1 =fS·τmaxbe- messen wird. Ist die Kanalimpulsantwort im Vergleich zur Symboldauer lang, 1/fS =TS ≫τmax, so werden am Empfänger verschiedene Versionen des ver- zögerten Sendesignals durch den Kanal überlagert. Die Folge ist eine Störung des momentanen Symbols durch L vorangegangene Symbole. Dieser Effekt wird unter dem Begriff Intersymbolinterferenz (ISI) subsumiert. Durch Kennt- nis der Kanalimpulsantwort ist der Entwurf von Entzerrer-Filtern möglich, die den Einfluss der Interferenz vermindern. Dieser Vorgang wirdinterference cancellation genannt. Der Aufwand für die Entzerrung im Empfänger wächst mit der Kanalordnung.

Wird der Breitbandkanal inKSchmalbandkanäle bzw. Subträger aufgeteilt, so dassB/K < BCgilt, kann die Verzerrung des Kanals durch einen komplexen Faktor, dem Koeffizienten der so abgetasteten Kanalübertragungsfunktion, beschrieben werden. Die Entzerrung wird zur einfachen komplexen Division.

Der Sachverhalt ist in Bild 1.4 und 1.5 illustriert. Die Reduzierung der Band- breite verlängert die Mehrträger-Symboldauer (multi-carrier) um den Faktor K, die Anzahl der Subträger:

TMC=K·TS. (1.3)

Unter der Voraussetzung der Orthogonalität der emittierten Subträger ist trotz überlappender Spektren das Ausbleiben von ISI zum Abtastzeitpunkt garantiert. Damit stellt die Orthogonalitätsbedingung eine Verallgemeinerung des ersten Nyquist-Kriteriums dar.

(15)

1.1. Orthogonal Frequency Division Multiplexing

τ T bzw.l h(τ) bzw.h[l]

●

● ●

● ● ● ● ω

|H(jω)|

●

● ●

●

|H[k]|

ωk

Bild 1.4.: Kontinuierliche und abgetastete Kanalimpulsantworth(t) bzw. h[l]

und ÜbertragungsfunktionH(jω) bzw.H[k].

B

ω

|H(jω)|

|HT(jω)|

0 0 1 1 0 1 0 0

t TS

0 1 2 3 4 5 6 7 8

B

ω

|H(jω)|

|HT,k(jω)|

00 11

01 B/K

00

t TMC

0 1

Bild 1.5.: Gegenüberstellung von Einträgersignalstruktur (links) und Mehrträ- germodulationsverfahren (rechts).

Eine Basis elementarer Signaleψn,k(t), n=t/TMC =−∞, . . . ,∞, ist definiert durch:

ψn,k(t) =gk(t−n·TMC), mit gk(t) =

e^j2πf^k^t 0≤t≤TMC

0 sonst. (1.4)

Das Überlappen der SpektrenGk(jω) =F{gk(t)} ist in Bild 1.6 dargestellt.

Intersymbolinterferenz kann bei Symbolübergängen trotzdem nicht verhin- dert werden. Die ersten (L+ 1)< K Samples des Mehrträgersymbols werden durch die Kanalimpulsantwort unbrauchbar. Dem Symbol wird ein Schutzin- tervall (Guard Interval) der LängeLCvorangestellt, das aus der periodischen Fortsetzung des Sendesignals um mindestensL Samples besteht. Im Empfän- ger wird dieses Schutzintervall unausgewertet entfernt, wie in Bild 1.7 skizziert. Durch das Schutzintervall entsteht ein Effizienzverlust um den Faktor

(16)

1. Einführung

ω Gk(jω)

ω0 ω1 ω2 ω3 ω4 ω5 ω6 ω7

Bild 1.6.: ISI-freie Überlagerung der Subträger-Spektren.

K/(K+LC). Die OFDM-Symboldauer ist damit gegeben durch:

TOFDM= (K+LC)·TS. (1.5) Die Basisfunktionen in Gleichung (1.4), Eigenfunktionen linearer, zeit- invarianter (LTI)-Systeme, wurden so gewählt, dass sie in ihrer zeitdiskreten Form effizient durch denFast Fourier Transform-Algorithmus berechnet werden können. Die Komplexität der FFT beträgt nurO(KlogK), im Gegensatz zur DFT mit O(K²). OFDM-Modulatoren können somit in Hardware güns- tig realisiert werden, was eines der Hauptargumente für OFDM-Systeme aus industrieller Sicht darstellt.

Bei der Implementation ist sicherzustellen, dass die verwendeten Signale auf den Subträgern nicht interferieren. Durch mangelhafte Frequenz-Synchronisa- tion, Dopplerverschiebungen oder mobile Empfänger kannIntercarrier Inter- ference (ICI) auftreten.

Häufig wird der Kanal als konstant während eines OFDM-Symbols angenommen und dementsprechend in Simulationen modelliert, nämlich als Block- Fading-Kanalmodell. Diese Annahme ist in dieser Arbeit nicht getroffen wor- den. Für mobile Empfänger wird ein – im Rahmen der Abtastung – kontinu- ierlich-veränderlicher Kanal mit zeitvarianter Impulsantwort simuliert, siehe Abschnitt 1.3. Es ist also mit Intercarrier-Interferenz zu rechnen. Als wichtiges Maß dient die normalisierte Dopplerfrequenz,

fd,n=vMS·f0

c ·TOFDM, (1.6)

in der die Geschwindigkeit des Empfängers vMS (mobile station), Trägerfre- quenzf0, Lichtgeschwindigkeit c und die OFDM-SymboldauerTOFDM einge- hen. Es wird des Weiteren von festen Basisstationen ausgegangen.

(17)

1.2. Multiple-Input Multiple-Output

t sk(t)

rk =Hk·sk

t rk(t)

h(τ) s(t) r(t) s(t) =P

k

sk(t)

t

r(t) =P

k

rk(t)

t Ergänze zyklisches Präfix Entferne Präfix

Bild 1.7.: Analyse und Synthese der Eigenfunktionen des Kanals.

1.2. Multiple-Input Multiple-Output

Im Allgemeinen können MIMO-Techniken in drei Kategorien unterteilt werden:

1. Maximierung der räumlichen Diversität um die Leistungseffizienz zu er- höhen. Beispiele hierzu sinddelay diversity,Space Time Block Codesund Space Time Trellis Codes [Ala98].

2. Geschichtete Übertragung durch unabhängiges Senden (unconstraint si- gnaling) auf mehreren Sendeantennen, [Tel95, Tel99, Fos96, FG98]: Übli- cherweise wird diese Technik unter dem Begriff BLAST oderSpatial Mul- tiplexing (Raummultiplex) subsumiert, letzterer geprägt in [WFGV98].

Dieser Ansatz bildet den Schwerpunkt in der vorliegenden Arbeit.

3. Senderseitige Signalverarbeitung: Unter Voraussetzung der Kanalmatrix- Kenntnis am Sender kann mit Hilfe von Vorverarbeitungsalgorithmen – Precoding, Bitloading oder Beamforming-Techniken – relativ nahe an der Kapazitätsgrenze übertragen werden, vgl. [AJM⁺08].

Im Folgenden wird die allgemeine Modellierung für den Raummultiplex-Fall vorgestellt. Das MIMO-Systemmodell für nur eine Direktkomponente ist for-

(18)

1. Einführung

muliert durch:



 r1

... rnR



=





h1,1 · · · h1,nT

... ... ... hnR,1 · · · hnR,nT



·



 s1

... snT



+





˜ w1

...

˜ wnR



, (1.7)

bzw. in Matrix-Vektor-Schreibweise

r=h·s+ ˜w. (1.8)

Bei signifikanter Mehrwegeausbreitung, d. h. Verzögerungen um mehr als eine Abtastdauer – wie in Breitbandkanälen zu erwarten – wird der Kanal frequenzselektiv, so dass das Modell wie folgt erweitert wird: Ein MIMO-Kanal mit OrdnungLkann durchL+1 Kanalmatrizen in einem zeitdiskreten System mit SystemtaktT zum Zeitpunktm·T beschrieben werden durch:

h[l, m] =





h1,1[l, m] · · · h1,nT[l, m]

... ... ... hnR,1[l, m] · · · hnR,nT[l, m]



, 0≤l≤L, ∀m. (1.9)

Alternativ kann Gleichung (1.9) als Zusammenfassung der nR·nT Kanalim- pulsantworten der LängeL+ 1 interpretiert werden.

Der Empfangsvektor des MIMO-Systems zum Zeitpunktm·T ist dementsprechend die Überlagerung derL·nT vorherigen gesendeten Symbole und der momentanennT Symbole. Er wird berechnet durch

r[m] = XL

l=0

h[l, m]·s[m−l] + ˜w[m]. (1.10) In den Frequenzbereich transformiert, lässt sich das Kanalmodell wie folgt formulieren: Für jeden Subträger k = 1, . . . , K und jedes OFDM-Symbol n existieren Kanalmatrizen

H[k, n] =





H1,1[k, n] · · · H1,nT[k, n]

... ... ... HnR,1[k, n] · · · HnR,nT[k, n]



, ∀k, n, (1.11)

so dass aus Gleichung (1.10) das MIMO System pro Subträger formuliert werden kann:

r[n, k] =H[k, n]·s[n, k] +w[n, k], (1.12)

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1.2. Multiple-Input Multiple-Output wobei mit ˜w[m] undw[n] unabhängiges, identisch verteiltes, weißes, komplexes zirkulär-symmetrisches normalverteiltes Rauschen (AWGN) gemeint ist. Nach dem zentralen Grenzwertsatz der Stochastik ist ˜w[m] nach der FFT ebenfalls normalverteilt, mittelwertfrei und mit gleicher Varianz.

1.2.1. Vektorisierte Formulierung der MIMO- Systemgleichung

Ausgehend von Gleichung (1.10) lässt sich die Faltung, unter der Vorausset- zung der Interferenzfreiheit eines Blocks von K bzw. M Zeitsamples, z. B.

durch Verwerfen des OFDM-Schutzintervalls, mit Hilfe der Faltungsmatrix h⁽^v⁾ausdrücken¹:

r⁽^v⁾=h⁽^v⁾·s⁽^v⁾+w⁽^v⁾. (1.13) Im zeitvarianten Kanal enthält die Faltungsmatrix nicht nur die verscho- bene Version der Impulsantwort in den Spalten, sondern in jeder Spalte die Momentanimpulsantwort des Systems.

h⁽^v⁾=







h[0,0] 0 · · · 0

h[1,0] h[0,1] 0 · · · ... ... h[0, m] · · · h[l,0] h[l−1,1] . .. . ..

... ... . ..

h[L+ 1,0] h[L,1] . .. ... 0 h[L+ 1,1] · · · . ..

... ... . .. 0

0 0 · · · h[0, K]







(1.14)

Die vektorisierte Formulierung des Sende-, bzw. Empfangsvektors lautet wie folgt

s⁽^v⁾= (s1[1], . . . , snT[1], . . . , s1[m], . . . , snT[K])^T, (1.15) r⁽^v⁾= (r1[1], . . . , rnR[1], . . . , r1[m], . . . , rnR[K])^T. (1.16)

1 Der hochgestellte Index (v) zeigt die vektorisierte Formulierung an.

(20)

1. Einführung

1.3. Räumliches Kanalmodell

Zur Evaluation der Interferenzunterdrückung in MIMO-Algorithmen ist ein realistisches Kanalmodell nötig, das die Nutzung der Diversitäten in Frequenz und Raum bei quasi-kontinuierlicher Zeitvarianz durch relative Bewegung von Empfänger und Sender unterstützt [3rd08].

Die Impulsantworten lassen sich imNon Line of Sight-Szenario für omnidi- rektionale, lineare Antennenarrays mit Abstandλ/2 und AntennengewinnG berechnen durch

hr,t[l, m] =

rPl·σSF

Λ XI

i=1

√Gexp (j[kdtsin(θl,i,AoD) + Ψl,i])

·√

Gexp (jkdrsin(θl,i,AoA))

·exp

jkkvkcos(θl,i,AoA−θv)m fS

. (1.17) Dabei stehtkhier für die Wellenzahl und ist nicht zu verwechseln mit dem Sub- trägerindexk. Das zugrunde liegende Modell wird in Bild 1.8 illustriert. Zur Modellierung der Mehrwegeausbreitung werdenLsogenannte Scatter-Cluster eingeführt, in denen I Scatter zusammengefasst sind. Die Effekte innerhalb eines Clusters l werden summiert zum l-ten Koeffizienten der Kanalimpuls- antwort. Die Parameter wurden aus Messungen von 3GPP bestimmt. Durch Modellierung als Zufallsvariablen mit den in den Messungen festgestellten Ver- teilungen werden Parametersätze je nach Zell-Umgebungsszenario erzeugt. Ei- ne genaue Bestimmung der Parameter wird im Anhang A vorgestellt bzw.

tabellarisch in Tabelle A.1. Bild 1.9 stellt so erzeugte zeitvariante Kanalimpul- santworten dar.

1.4. Modulationstechniken

Um die bereits in Abschnitt 1.1 vorgestellte OFDM-Modulation durchzufüh- ren, sind weitere Schritte bzw. Subsysteme zur digitalen Übertragung nötig.

Sie werden nun im Einzelnen diskutiert, so dass schließlich in Abschnitt 1.4.4 eine komplette Übersicht über das in dieser Arbeit zugrunde liegende Über- tragungssystem gegeben werden kann.

Am Eingang dessen steht eine binäre InformationsquelleQ, die unkorrelierte Bits u∈ B mit gleicher WahrscheinlichkeitP(u= +1) =P(u=−1) = 1/2

(21)

1.4. Modulationstechniken

Sender

Empfänger Clusterl

Scattereri

∆l,i,AoD

θBS

δl,AoD

θl,i,AoD

δl,AoA

∆l,i,AoA

θl,i,AoA

θMS

Bild 1.8.:Non Line of Sight MIMO-Kanalmodell nach [3rd08] mit Scatter Cluster und äquidistanten Antennenabstand.

Verzögerungl→

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

●

● ●

●

● ●

● ● ● ● ●

●

● ● ●

●

● ●

●

● ● ●

●

● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ●

|h4,4|2 [l,m]

Zeitm→

Bild 1.9.: Beispielhafte zeitvariante Kanalimpulsantwort-Koeffizienten des (4,4)-Subkanals eines MIMO-Kanals.

(22)

1. Einführung

mit den Werten B={−1,+1}ausgibt². Ziel des Übertragungssystems ist es, die Daten der Quelle zur Senke zu transportieren, so dass an der Senke die Daten zur Verfügung stehen. Es werden Quellbitsuder LängenI blockweise einer FehlerschutzcodierungC unterzogen:

C:Bⁿ^I →Bⁿ^I⁺ⁿ^P,

x=C{u}. (1.18)

Aus den Datenbits der Quelle werden redundante Bits der Länge nP er- rechnet, die den Datenbits angehängt werden. Ein solcher Block x wird im Weiteren als Codewort mit LängeN =nI+nP bezeichnet. Eine genauere Be- schreibung der Kanalcodierung und ihrer wichtigen Aspekte für diese Arbeit erfolgt in Abschnitt 1.5.

1.4.1. Interleaver

Zur Überwindung von im Mobilfunkkanal unvermeidlichen Schwunderschei- nungen (fading) werden codierte Bits verschachtelt und gekennzeichnet durch die Verschachtelungsabbildung Π:

x^′= Π{x}. (1.19)

Durch die inverse Abbildung Π⁻¹ im Empfänger – Deinterleaver – werden eventuell fehlerhafte Bits über der Zeit gespreizt und Bündelfehler (burst er- rors) zu Einzelfehlern gewandelt. Einzelfehler sind durch Kanaldecoder leichter korrigierbar, deshalb führen Interleaver zu einem höheren Fehlerschutz in Mo- bilfunksystemen [HLY02]. Allerdings entsteht durch den Interleaver eine Ver- zögerung zwischen Empfang und Decodierung, denn es ist nötig den Empfang des verschachtelten Blocks abzuwarten, bevor das Deinterleaving durchgeführt werden kann. Die Verzögerung ist direkt proportional zur Verschachtelungslän- ge|Π|.

Zur Erleichterung der Lesbarkeit wird im Folgenden auf eine Unterschei- dung zwischen codierten Bitsxund der verschachtelten Fassungx^′ verzichtet, solange durch den Kontext die Eindeutigkeit gewahrt bleibt.

Die Spreizung des Interleavers sollte in einem MIMO-OFDM System so groß sein, dass Bits, die vor dem Verschachteln benachbart waren, um mindestens

∆k Subträger verschoben werden, und muss dem entsprechend ∆k·κ·nT

Bits betragen, wobei κ die Anzahl der Bits pro Symbol darstellt. Um dies

2 Eine logische Null entspricht +1, eine logische Eins−1.

(23)

16^●

●

● ●

●

15^●

●

14^●

●

● ●

●

● ●

13^●

●

12^●

●

11^●

●

10^●

●

9^●

●

8^●

●

● ●

●

7^●

●

6^●

●

● ●

●

5^●

●

● ●

●

4^●

●

● ●

●

3^●

●

2^●

●

● ●

1^●

●

● ●

●

● ●

●

● ●

●

● ●

●

Bild 1.10.: Alternierende Zufallsinterleaver der Länge|Π|= 16.

zu realisieren, werden Zufallsinterleaver eingesetzt, die im Durchschnitt gute Spreizeigenschaften zeigen [SH09]. Im Einzelfall kann es allerdings zu gerin- geren Spreizungen kommen, so dass verschiedene Zufallsinterleaver in einem Rahmen angewandt werden, wie in Bild 1.10 gezeigt.

1.4.2. Symbolmodulation

Bei der SymbolmodulationMwerdenκBits zu einem (Sende)-Symbolsaus dem ModulationsalphabetSzusammengefasst, wobei|S|=M = 2^κ gilt:

M:B^κ→C, (1.20)

s=M









 x1

... xκ











. (1.21)

Dies dient zum einen der Anpassung an den Mobilfunkkanal – Mittelwert- freiheit – und zum Anderen einer möglichen Erhöhung der Bandbreiteeffizienz

(24)

1. Einführung

bei Verringerung der Energie pro Bit. Es wird dabei von leistungsnormalisier- ten Modulationsalphabeten ausgegangen, d. h.

1 M

X

∀s∈S

|s|²= 1. (1.22)

Bild 1.11 zeigt zwei mögliche Symbolmodulationen für ein sechszehnstufiges Modulationsalphabet vom QAM-Typ.

Beim MIMO Spatial Multiplexing oderdirect transmissionwerdennT Sym- bole s, bestehend aus nT ·κ Bits, zu einem Vektor s zusammengefasst. Die direkte Abbildung lautet:

Mⁿ^T :Bⁿ^T^·^κ→Cⁿ^T (1.23) s=Mⁿ^T









 x1

... xnT·κ











(1.24)

Die Menge aller möglichen Bitkombinationen, um alle Kombinationen von Sen- desymbolvektorenszu bilden, wird mitXbezeichnet. Die Anzahl der Elemen- te ist|X|= 2ⁿ^T^·^κ. Die Symbolvektormodulation kann als Symbolmodulation pro Sendeantenne aufgefasst werden. Da jede Sendeantenne mit Einheitsleis- tungEs= 1 sendet, ist die abgestrahlte Gesamtleistung des Übertragungssys- temsPT =nTEs.

1.4.3. Bit Interleaved Coded Modulation

In [Zeh92] wurde gezeigt, dass eine Verschachtelung der codierten Bits (Bit Interleaved Coded Modulation- BICM) einer codierten Modulation – z. B. der Trellis Coded Modulation (TCM) [Ung82] – in Rayleigh-Kanälen vorzuziehen ist. In BICM für MIMO ist die Reihenfolge von KanalcodierungC, Interleaving Π und SymbolmodulationMwie folgt festgelegt:

s1, . . . , sN/(κ·nT)

=Mⁿ^T{Π{C{u}}}, (1.25) vgl. Bild 1.12. Das abgebildete Kommunikationssystem kann in ein äußeres Codesystem, z. B. LDPC Code, und in ein inneres zerlegt werden. Das innere Codesystem bildet die Symbolmodulation, eine Codierung von B^N → Cⁿ^T. Beim Spatial Multiplexing wird allerdings keine Redundanz hinzugefügt, so dass der Decoder des inneren Codesystems keine Paritätsüberprüfungen oder

(25)

0000 0100 1100 1000

0001 0101 1101 1001

0011 0111 1111 1011

0010 0110 1110 1010

ℜ{s}

ℑ{s}

(a)

1111 0010 1101 0000

0100 1001 0110 1011

1010 0111 1000 0101

0001 1100 0011 1110

ℜ{s}

ℑ{s}

(b)

Bild 1.11.: 16-QAM Konstellationsdiagramm mit Gray- (a) und Anti-Gray- Mapping (b).

Binäre

Quelle

C Π M

ⁿ^T

nT

H nR

r

w AWGN MIMO-

Detektor

Π

⁻¹ ●

C

⁻¹ ●

Senke ●

u x x^′

LD1

LA2

LD2

˜ u

CoderateRc Interleaver

De-Interleaver Hard

Decision

Soft In/Out

Innerer Code Äußerer Code

Bild 1.12.: Bit Interleaved Coded Modulation-MIMO-System.

(26)

1. Einführung

ähnliches durchführen kann. Entsprechend ist zu erwarten, dass der Detektor, also der innere Decoder, einen großen Einfluss auf die Leistungsfähigkeit des Gesamtsystems hat. Bei der äußeren Codierung, der Kanalcodierung, werden nI Informationsbits mitnP durch den Code hinzugefügten, redundanten Bits aufN/(κ·nT) Symbolvektoren, verschachtelt abgebildet, vgl. Abschnitt 1.5.

1.4.4. MIMO-OFDM Spatial Multiplexing

Bild 1.13 zeigt den Aufbau eines MIMO-OFDM Systems mit BICM-Modula- tion. Die nach Gleichung (1.25) erzeugten Symbole werden auf die Subträger dernT OFDM-Systeme verteilt, visualisiert durch die Seriell-zu-Parallelwand- lung. Die so geformten MIMO-OFDM-Symbole s[k] ∈C^K^×ⁿ^T werden durch die inverse FFT innT Zeitbereichssignales[m] transformiert. Durch zyklische, partielle Wiederholung der nT OFDM-Zeitsignale wird das OFDM-Schutzin- tervall erzeugt und an den Beginn des Signals kopiert.

Die nT Zeitsignale werden im komplexen, äquivalenten Basisbandkanal nR·nT Faltungen mit den jeweiligen SISO-Kanalimpulsantworten unterzogen.

Um der Annahme eines zeit-veränderlichen Kanals nachzukommen, werden die Faltungen als zeitvariante, endliche Impulsantwortfilter (time variant fini- te impulse response - TV-FIR) realisiert, wie in Bild 1.9 dargestellt. DennR

Empfangssignalen werden schließlich die nach Gewichtung durch die Koeffi- zienten der Kanalmatrix unterschiedlichen Überlagerungen der Sendesignale zugeordnet und additives, weißes, normalverteiltes Rauschen (AWGN) hinzu addiert, vgl. Gleichung (1.10).

Das gegebene Signal-zu-Rauschverhältnis vor der Detektion ist definiert durch

SNR = E

r^Hr −E

˜ w^Hw˜

E{w˜^Hw˜} , (1.26)

wobei die Erwartungswerte über den diskreten Zeitindex mzu interpretieren sind. Die Energie pro Informationsbit Eb/N0 kann aus dem SNR ermittelt werden: Jede der nT Sendeantennen sendet Symbole mit normierter Energie Es, die nR Empfangsantennen nehmen nR·nT ·Es Energie auf, für κ·nT

codierte Bits, bzw.Rc·κ·nT Informationsbits. Deshalb wird die Energie pro Informationsbit am Empfänger definiert zuEb = (nT ·nR)/(Rc·κ·nT) oder im logarithmischen Maßstab:

Eb

N0

_dB= SNR

_dB+ 10 log₁₀ nR·nT

Rc·κ·nT

. (1.27)

(27)

1.5. Kanalcodierung mit LDPC Codes

Binäre

Quelle C Π Mⁿ^T ^S/P ^IFFT ^CP

nT

H

nR

r w AWGN Pilottöne

CP Kanal- FFT

Schätz.

MIMO- Detektor

Π⁻¹ C⁻¹

Senke

u x x^′

LD1

LA2

LD2

˜ u

Bild 1.13.: Zu Grunde gelegtes MIMO-OFDM System mit BICM-Modulation.

Dabei wird angenommen, dass die Symbolübertragung im Symboltakt fS erfolgt, d. h. es wird keine Überabtastung angewandt.

Im Empfänger werden die ISI-behafteten Schutzintervalle unter Annahme perfekter Synchronisation entfernt. Per FFT werden dienROFDM-Zeitsigna- le in den Frequenzbereich transformiert. Unter Zuhilfenahme der Pilotinfor- mationen und der daraus abgeleiteten Kanalschätzung wird kohärent detek- tiert, näher diskutiert in Kapitel 2. Bei der Detektion werden die logarith- mierten Wahrscheinlichkeitsverhältnisse LD2 (log-likelihood ratio - LLR) für die empfangene Bitsequenz yaus den Empfangssymbolvektorenr berechnet.

Auf Grund derer und der redundanten Bits berechnet der Kanal-DecoderC⁻¹, nach dem Deinterleaving Π⁻¹eine Schätzung der a posteriori LLRsLD2. Diese gehen durch Entscheidung nach Vorzeichen (hard decision) in die geschätzten Informationsbits ˜uüber und werden schließlich der Senke zugeführt.

1.5. Kanalcodierung mit LDPC Codes

1.5.1. Codierung

Seit Shannon wurden viele Codierungen vorgeschlagen, die trotz niedri- gem Signal-zu-Rauschabstand eine gegebene Bitfehlerwahrscheinlichkeit nicht

(28)

1. Einführung

überschreiten. Zwei relativ junge Verfahren sind dabei besonders herausra- gend: Turbo Codes [BG96] und Low Density Parity Check (LDPC) Co- des [Gal62, Gal63, Mac99]. In der vorliegenden Arbeit sollen hauptsächlich LDPC Codes betrachtet werden. Sie gehören zur Klasse linearer Blockcodes.

Die CodierungC ist durch eine Matrix-Vektor-Multiplikation im Galois-Feld von 2,F₂, beschreibbar. Ein Codewortvektorxergibt sich aus einem Bitvektor uwie folgt:

x≡ I

G

·u. (1.28)

Die Relation „≡“ ist gleichbedeutend mit x=

I G

·u mod 2.

Die GeneratormatrixG∈Bⁿ^P×nI wird gerade so konstruiert, dass gilt A·

I G

≡0, (1.29)

wobei mit A ∈Bⁿ^I×N eine erzeugte LDPC Paritätsmatrix bezeichnet wird.

Aufgrund der Linearität ist dies äquivalent zu

A·xv≡0, ∀v. (1.30)

Jedes mögliche Codewortxvwird durchAauf den Nullvektor abbildet. Da also jedes Codewort im Nullraum vonA sein muss, kann durch Gleichung (1.30) geprüft werden, ob es sich bei einem gegebenen Bitvektoryum ein Codewort handelt:

A·y≡^? 0. (1.31)

Wegen Gleichung (1.30) wird die Matrix AParitätskontrollmatrix genannt.

1.5.2. Konstruktion

Die Konstruktion vonLow Density Parity Check-Codes erfolgt über die Kon- struktion von dünn-besetzten Paritätskontrollmatrizen, daher der Name. In Bild 1.14 ist beispielhaft eine ParitätskontrollmatrixA5×10 dargestellt. Jede Zeile bildet einen Paritätskontrollknotenci, dessen Wert die modulo-2-Summe

(29)

der Variablenknotenvj ist:

c1≡v1+v7+v8+v9

c2≡v2+v6+v8+v10

c3≡v3+v6+v7+v9

c4≡v4+v6+v8+v10

c5≡v5+v7+v9+v10.

Die Werte der Variablenknoten sind definiert über den gegebenen Bitvektor, bzw. die Variablenknotenvj∈V,∀j sind die Eingangsstellen des zur Prüfung unterliegenden Codewortes, die Kontrollknoten C sind die korrespondieren- den Paritätsstellen. Die Paritätsmatrix kann als Tanner-Graph interpretiert werden: Die von Null verschiedenen Einträge der Matrix sind die KantenE zwischen den zwei Knoten-Mengen, den VariablenknotenV und den Kontroll- knotenci∈C,∀i. Der Graph ist bipartit, d. h. es existiert keine Kante zwischen zwei Knoten derselben Menge. Im Graphen TG = ({V, C}, E) ist abzulesen, dass jeder Kontrollknoten mit genau vier Variablenknoten verbunden ist. Dies ist identisch mit der Anzahl der Kanten aus Sicht der Kontrollknoten, ebenfalls vier. Das Zeilengewicht ist bei binären Codes die Summe der Zeilen, in dem Beispiel konstant vier. In den ursprünglichen Arbeiten über LDPC Codes werden Zufallsmatrizen unter Randbedingungen wie konstantem Zeilengewicht – sogenannte reguläre LDPC Codes – erzeugt. Die zugehörige Generatormatrix ist durch Gleichung (1.28) gegeben. Diese Codes erreichen das Shannon’sche Limit allerdings nicht, vgl. die Ergebnisse in [LMS⁺97]. Hier werden für asym- ptotisch unendliche Blocklängen optimale Spalten- und Zeilengewichtsvertei- lungen λ(j) bzw. ρ(i) – sog. irreguläre LDPC Codes – abgeleitet. Codes, die dieselben Kanten-Verteilungen aufweisen werden einem Ensemble zugerech- net. Denn auch wenn die Verteilung gegeben ist, wird die konkrete Erzeugung der Paritätskontrollmatrix in einem Algorithmus vorgenommen, der im ersten Schritt die Kanten (pseudo-) zufällig verteilt.

Optimierte LDPC Code-Ensembles für den Binary Input Additive Whi- te Gaussian Noise (BIAWGN)-Kanal wurden in der Literatur diskutiert, so in [RSU01]. Im Folgenden wird ein dort vorgeschlagenes Code-Ensemble betrachtet. In Bild 1.15 sind die Gradverteilungen der Kanten von V und C abgebildet. Mit Hilfe der Verteilungen wurden Paritätsmatrizen A für eine CodelängeN von 1024 und 8192 generiert. Korrespondierende Generatorma- trizen G wurden über Gleichung (1.29) berechnet. Design-Coderate ist 1/2.

Die konkrete Coderate Rc lässt sich über die Gewichtsverteilungen wie folgt

(30)

1. Einführung

v10 v9 v8 v7 v6 v5 v4 v3 v2 v1

A5×10=







1 1 0 1 0 1 0 0 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0 0 0

0 1 0 1 1 0 0 1 0 0

1 0 1 0 1 0 0 0 1 0

0 1 1 1 0 0 0 0 0 1





 c5

c4

c3

c2

c1

●

● v₁₀

v₉

v₈

v₇

v₆

v₅

v₄

v₃

v₂

v₁

■

■ c₅

c₄

c₃

c₂

c₁

Bild 1.14.: Tanner-Graph einer gegebenen LDPC ParitätsmatrixA5×10.

berechnen:

Rc =α⁻_v¹/α⁻_c¹, (1.32) wobei

α⁻_v¹=X

i

λi/i, α⁻_c¹=X

i

ρi/i (1.33)

undλi,ρi die diskretisierten Fassungen vonλ(x) bzw.ρ(x) darstellen.

1.5.3. Log Likelihood Algebra

SeiU Element ausF₂mit den Elementen{+1,−1}, wobei +1 das Nullelement der Addition⊕sei. Das logarithmierte Wahrscheinlichkeitsverhältnis einer bi-

(31)

Variablenknotensicht

0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 i λ(i)

Kontrollknotensicht

0 0,2 0,4 0,6 0,8

6 8 10 i ρ(i)

Bild 1.15.: Kanten-Gradverteilungen λ(i) und ρ(i) aus Sicht der Variablen- bzw. Kontrollknoten in dem verwendeten irregulären LDPC Code- Ensemble.

L(u)

0 0,5 1 P(u)

Bild 1.16.: Abbildung der WahrscheinlichkeitP(u) auf denL-WertL(u) eines Bitsu.

(32)

1. Einführung

nären ZufallsvariablenU, LU(u) ist definiert durch LU = lnPU(u= +1)

PU(u=−1). (1.34)

PU(u) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable den Wert u annimmt. Der log-likelihood ratio LU(u) wird LLR oder L-Wert der Zu- fallsvariablen U genannt [HOP96]. Das Vorzeichen von LU(u) ist die harte Entscheidung und der Betrag|LU(u)|die Zuverlässigkeit dieser Entscheidung.

Wenn die binäre ZufallsvariableU durch eine andere Zufallsvariable oder einen Vektor Y bedingt ist, dann ist der bedingte (a-posteriori)L-Wert LU|Y(u|y) gegeben durch

LU|Y(u|y) = lnPU|Y(u= +1|y)

PU|Y(u=−1|y) (1.35)

= lnPU(u= +1)

PU(u=−1)+ lnPY|U(y|u= +1)

PY|U(y|u=−1) (1.36)

=LU(u) +LY|U(y|u). (1.37) Der TermLU(u) wird a prioriL-Wert vonugenannt undLY|U(y|u) logarith- miertes Verhältnis der Übergangswahrscheinlichkeiten. Solange die Eindeutig- keit gewahrt bleibt, werden die Indizes derL-Werte und Wahrscheinlichkeiten weggelassen. Die L-Werte eines Blocks von Bits u = {uv}^Nv=1 der Länge N werden zusammengefasst notiert L(u) ={L(uv)}^Nv=1.

1.5.4. L -Werte aus dem AWGN-Kanal

Aus der Codierung des binären Wertesumit demL-WertL(u) geht ein codier- tes Bitxhervor, mitL-WertL(x). Für einen (N, nI)-systematischen Code sind nI der xBits identisch mit den Informationsbits u. Nach einer Übertragung über einen AWGN-Kanal kann derL-Wert vonxbedingt durch den Matched Filter-Ausgangy wie folgt berechnet werden:

L(x|y) = lnP(x= +1|y)

P(x=−1|y) (1.38)

= ln

P(y|x= +1)

P(y|x=−1)· P(x= +1) P(x=−1)

(1.39)

= lnexp(−^EN^s0(y−1)²)

exp(−^EN^s0(y+ 1)²)+ lnP(x= +1)

P(x=−1). (1.40)

(33)

1.5.5. LDPC Decodierung

Im allgemeinen Fall ist die empfangene Bitsequenzynicht gleich der gesende- tenx, so dass Gleichung (1.28) zu

A·y=:γ. (1.41)

wird. Ist der sog. Syndromvektorγ der Nullvektor, so entspricht das empfangene Codewort auf Grund des großen Codewortabstands vgl. [Mac99, RSU01]

mit hoher Wahrscheinlichkeit dem gesendeten:y=x. Ein wichtiges Maß bei der Decodierung linearer Blockcodes ist die Paritätssummekγk, die Hamming- Distanz des Syndromvektors zum Nullvektor. Der Decoder hat ein gültiges Co- dewort gefunden, wenn die Paritätssumme Null ist.

DerMaximum A Posteriori (MAP)-Decodiervorgang erfolgt durch rekursi- ve Berechnung der folgenden drei Größen (Sum-Product-Algorithmus [Gal63, HOP96, Mac99]):

L(rνh) = 2 atanh



 Y

h^′∈Vν\h

tanh 1

2L(qh^′ν) 

, (1.42)

L(qhν) =L(˜uh) + X

ν^′∈Ch\ν

L(rν^′h), (1.43)

L(Qh) =L(˜uh) + X

ν^′∈Ch

L(rν^′h). (1.44)

Am Ende jeder Iteration sind inL(Qh) die approximierten a posteriori LLRs zusammengefasst. Durch harte Entscheidung gehen die a posteriori LLRs L(Qh) in eine Schätzung der gesendeten Bitsequenz ˜x= sgn{L(Qh)}über, wobei die Informationsbits ˜u= ˜x1, . . . ,˜xnI

sind. Die Decoder-Iteration stoppt, wennkA·x˜k= 0.

1.5.6. Ensemble-Optimierung

Um die Decodiereigenschaften und damit die Approximationsqualität der a posteriori Wahrscheinlichkeiten zu verbessern, wurden die code-definierenden Paritätskontrollmatrizen gezielt nach kurzen Zyklen durchsucht [TJVW04].

Als kurzer Zyklus (stopping set) wird ein Untergraph von TG genannt, der isoliert vom restlichen Graph ist. Die Informationen werden nur innerhalb des Zyklus ausgetauscht, aber durch fehlende Verknüpfung fließt keine Information

(34)

1. Einführung

10^-7 10^-6 10^-5 10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 10⁰

0 1 2 3 4

Bitfehlerrate

Eb/N0 in dB

1024 bit 500 40 1024 bit 500 8 8192 bit 500 40 8192 bit 500 8

Bild 1.17.: Negative Auswirkung von Zyklenoptimierungen in LDPC Paritätsmatrizen.

von anderen Knoten ein. Die Folge ist eine unzureichende Decodierung, die sich auch nicht durch eine höhere Anzahl an Iterationen verbessern lässt [VDS07].

Es gibt unterschiedliche Ansätze, diese kurzen Zyklen zu identifizieren und zu entfernen. Zur Untersuchung wurden in einem Fall Zyklen bis zu einer Länge 8 Knoten entfernt und im anderen Fall bis zu einer Länge von 40.

Die durch die konkreten Codes erreichbaren Bitfehlerraten im BIAWGN- Kanal wurden durch Monte-Carlo-Simulationen ermittelt und sind in Bild 1.17 dargestellt.

Wie dort ersichtlich hat die Entfernung von Zyklen Auswirkungen auf die Decodiereigenschaften [MW03]. Da die Ergebnisse für den Fall 40 Knoten stärker schwanken, kann man davon ausgehen, dass die Decodiereigenschaften dann stärker von dem konkreten Bitmuster abhängen als im Fall von 8 Knoten.

Da die Codes, bei denen Zyklen bis zu einer Länge von 8 Knoten entfernt wurden, durchweg niedrige Bitfehlerraten aufweisen, sind folgende Überlegungen ausschließlich auf diesen Fall bezogen.

1.5.7. EXIT-Chart

EXtrinsic Information Transfer (EXIT)-Charts wurden zur Analyse von itera- tiven Decodern vorgeschlagen [tB99]. Die Methode dient zur Quantifizierung