4. Verbesserung der Kanalschätzung in
4.2. Nachbearbeitung der Kanalschätzung
4.2.2. Rekursives Smoothing
1 ξ ξ2 ξ3 · · · ξNS−1 ξ 1 ξ ξ2 · · · ξNS−2 ξ2 ξ 1 ξ · · · ξNS−3 ξ3 ξ2 ξ 1 · · · ξNS−4
... ... ... ... . .. ... ξNS−1 ξNS−2 ξNS−3 ξNS−4 · · · 1
. (4.16)
Aus der vorgestellten Interpretation der Struktur der Matrix der exponen-tiellen VergessensfaktorenΞfolgt, dass mit Hilfe vonΞ′ alle OFDM-Symbole für die Schätzung der Korrelationsmatrizen und somit auch für die Berechnung der Kanalübertragungsfunktion herangezogen werden.
Analog zur Matrix-Vektor-Multiplikation der einfachen RLS-Verarbeitung werden die Korrelationsmatrizen aus den Gleichungen (4.12) und (4.13) gebil-det,
Φˇ′′t,r,k=Ξ′·Φˇt,r,k, (4.17) θˇ′′t,r,k=Ξ′·θˇt,r,k, (4.18) so dass die geschätzte Kanalübertragungsfunktion mit Hilfe der Normalglei-chung berechnet werden kann:
H[n, k] =˜
Φˇ′′−1[n, k]·ˇθ′′[n, k]H
. (4.19)
Der rekursive Aufbau des entscheidungsbasierten RLS-Kanalschätzalgorith-mus macht die Durchführung des RLS-AlgorithRLS-Kanalschätzalgorith-mus vor der Matrix-Vektor-Multiplikation mit der vollbesetzten Matrix der exponentiellen Gewichtungs-faktoren notwendig, da für die Entscheidungsrückführung in jedem Schritt zu-nächst die Kanalübertragungsmatrix bestimmt werden muss. Nach der Durch-führung der RLS-Kanalschätzung werden die Korrelationsmatrizen ˇΦ und ˇθ verwendet, um die Kanalschätzung mittels der Gleichungen (4.17) bis (4.19) durchzuführen. Bild 4.16 zeigt die Empfängerstruktur der durch exponenti-elle Rahmengewichtung modifizierten Kanalschätzung zur Verbesserung der MIMO-Detektion.
4.2.2. Rekursives Smoothing
Ein Ansatz zur Kanalschätzung mit Hilfe des RLS-Algorithmus im Zeitbereich wurde in [KFS06] entwickelt. Darauf aufbauend wurde das Verfahren des
rekur-4.2. Nachbearbeitung der Kanalschätzung
Pilottöne nR
r CP FFT
Kanal-Schätz.
ˇθ′′/Φˇ′′H
MIMO-Detektor
Π−1 C−1
Senke
LD1
LA2
LD2
˜ u
Bild 4.16.: Empfängerstruktur mit Nachbearbeitung der Kanalschätzung durch exponentielle Rahmengewichtung.
siven Smoothings in dem MIMO-OFDM-Kontext erarbeitet und soll deshalb kurz skizziert werden. Die Symbole der einzelnen Sende-, Empfangsantennen-und Subträgerkombinationen sind als Vektoren angeordnet, der Index auf Zeitsampleebene wird mit m= 1, . . . , MS bezeichnet. Unter Anwendung des Matrix-Inversionslemmas ergibt sich für die Durchführung des (vorwärts ge-richteten) RLS-Algorithmus folgende Gleichung:
h[m] = ˆˆ h[m−1] +g[m]·h
rH[m]−sH[m]·h[mˆ −1]i
, (4.20)
wobei die geschätzte Kanalimpulsantwort mit ˆh bezeichnet wird. Anhand von Gleichung (4.20) wird die rekursive Struktur des Algorithmus deutlich.
Der verwendete Verstärkungsfaktorgund die inverse Autokorrelationsmatrix Pdes Matrix-Inversionslemmas werden durch
g[m] =P[m−1]·s[m]·[sH[m]·P[m−1]·s[m] +ξ]−1, (4.21) P[m] =ξ−1·[P[m−1]−g[m]·sH[m]·P[m−1]] (4.22) beschrieben. Der RLS-Algorithmus wird für allem= 1, . . . , MS durchgeführt.
Die Kombination von vorwärts und rückwärts gerichteter RLS-Kanalschät-zung wird alsSmoothing bezeichnet. Hierfür wird die in Gleichung (4.15) an-gegebene Kostenfunktion zu Grunde gelegt. Diese Kostenfunktion bildet die Basis zur Herleitung des rückwärts gerichteten Anteils der Kanalschätzung,
4. Verbesserung der Kanalschätzung in MIMO-BICM-Systemen
H[n]
s[n]
RLS
H[n]
s[n]
Smoothing
Bild 4.17.: Darstellung des RLS- und Smoothing-Prinzips anhand von Graphen.
welche unter Anwendung des Matrix-Inversionslemmas ebenfalls durch eine rekursive Rechenvorschrift dargestellt wird:
˜hS[m] = ˆh[m] +ξ·[˜hS[m+ 1]−h[m]].ˆ (4.23) Die geschätzte Kanalimpulsantwort der rückwärts gerichteten RLS-Durch-führung wird mit ˜hS bezeichnet. Aus Gleichung (4.23) geht hervor, dass der Rückwärtsanteil aus der vorwärts-geschätzten Kanalimpulsantwort aufgebaut wird. Für die Berechnung der Kanalimpulsantwort aus den Rückwärtsdaten wird demnach der Verstärkungsfaktor und auch die inverse Autokorrelations-matrix des Matrix-Inversionslemmas nicht benötigt. Für den Rückwärtsanteil wird die Rekursion von m=MS−1, . . . ,1 durchgeführt, wobei die Initialisie-rung auf der VorwärtsdurchfühInitialisie-rung beruht: ˜hS(MS) = ˆh(MS).
Das Prinzip des Smoothings ist in Bild 4.17 dargestellt. Für die Darstellung werden Graphen verwendet, bei denen die Knoten Variablen und die Kästchen an den Kanten Funktionen repräsentieren, welche die Variablen nach einer Funktionsvorschrift in neue Variablen überführen.
Das linke Teilbild stellt den RLS-Algorithmus dar. Durch die Pfeile wird die Richtung der Durchführung verdeutlicht. Die Kanalübertragungsfunktion zum Zeitpunkt n, H[n], wird aus dem empfangenen Symbol s[n] und der letzten KanalübertragungsfunktionH[n−1], von links in das Bild kommend, gebildet.
Die Funktionen unterhalb der Pfeile geben die genaue Transformation der Eingangsvariablen in die aktuelle Kanalübertragungsfunktion H[n] an. Die aktuelle Kanalübertragungsfunktion wird mit einer weiteren Funktion an die nächste weitergegeben.
Das Smoothing ist im rechten Teilbild dargestellt. Hier ist die Richtung der Pfeile umgedreht, wodurch die Rückwärtsrichtung des Smoothings beschrie-ben wird. In Kombination von vorwärts gerichtetem RLS-Algorithmus mit
4.2. Nachbearbeitung der Kanalschätzung Smoothing werden demnach alle Symbole für die Kanalschätzung des n-ten Symbols verwendet.
Die Signalverarbeitung ist aus Komplexitätsgründen im Frequenzbereich praktischer, weshalb der Ansatz des Smoothing nach [KFS06] im Rahmen dieser Arbeit in den Frequenzbereich übertragen wurde. Der RLS-DDCE-Al-gorithmus wird hierbei wie gewohnt durchgeführt. Für das Smoothing im Fre-quenzbereich bildet die Kostenfunktion (4.15) die Grundlage, auf deren Basis die Auto-, und KreuzkorrelationsmatrixΦS undθS des Smoothings berechnet werden:
ΦS[n, k] =
NS
X
˜ n=1
ξ|NS−n˜|·s[˜n, k]·sH[˜n, k], (4.24)
θS[n, k] =
NS
X
˜ n=1
ξ|NS−n˜|·s[˜n, k]·rH[˜n, k]. (4.25) Nach einigen Umformungen ergibt sich die Inverse der Autokorrelationsma-trixPS zu
PS[n, k] =P[n, k] +ξ2·
PS[n+ 1, k]−ξ−1·P[n, k]
, (4.26)
wobei zu beachten ist, dass die inverse Autokorrelationsmatrix des Smoothings die inverse AutokorrelationsmatrixPdes vorwärts gerichteten RLS-Algorith-mus beinhaltet. Aus der inversen Autokorrelationsmatrix sowie den Umfor-mungen der Herleitung lässt sich die Rechenvorschrift für die RLS-Kanalschät-zung in Rückwärtsrichtung ableiten:
H˜S[n, k] = ˜H[n, k] +ξ·[ ˜HS[n+ 1, k]−H[n, k]].˜ (4.27) Hierbei ist die geschätzte Kanalübertragungsmatrix des Smoothing durch H˜S gekennzeichnet, die des RLS-Algorithmus in Vorwärtsrichtung durch ˜H.
Die Rekursion wird vonn=NS−1 bisn= 1 durchgeführt, wobei die Kanal-übertragungsmatrix ˜HS[NS, k] mit ˜H[NS, k] initialisiert wird. Zu beachten ist die Ähnlichkeit der Rechenvorschrift im Frequenz- und Zeitbereich.
Das Smoothing erfolgt im Anschluss an die vorwärts gerichtete RLS-Ka-nalschätzung und sorgt dafür, dass alle OFDM-Symbole für die Kanalschät-zung verwendet werden. Der Ansatz entspricht jenem in Abschnitt 4.2.1, es unterscheiden sich jedoch die jeweiligen Rechenvorschriften. Der in diesem Ab-schnitt implementierte Ansatz führt zu einer rekursiven Rechenvorschrift, die
4. Verbesserung der Kanalschätzung in MIMO-BICM-Systemen
Bild 4.18.: Zweidimensionale Kanalansicht mit ganzzahligen Werten zur Ver-anschaulichung eines Medianfilters mit 3×3-Nachbarschaft.
auf der einfachen Kanalschätzung aufbaut und auf diese zurückgreift. Das Ver-fahren der vollbesetzten Matrix mit exponentiellen Vergessensfaktoren aus Ab-schnitt 4.2.1 dagegen führt die Nachbearbeitung in Form von Matrix-Vektor-Multiplikationen aus, so dass für jede geschätzte Kanalübertragungsfunktion das Schema der Gewichtung mit den Vergessensfaktoren erhalten bleibt. Aus den Näherungen der Herleitung für den Ansatz im Frequenzbereich ergibt sich eine rekursive Rechenvorschrift mit dem Vorteil der geringeren Komplexität und optionalen, ergänzenden Ausführung nach dem RLS-DDCE-Algorithmus.