diag(I1, I2, I3) Damit gilt I1+I2 =X l ml((x′)2l + (y′)2l + 2(z′)2l)≥X l ml((x′)2l + (y′)2l) =I3

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie

Theoretische Physik B - L¨osungen SS 10

Prof. Dr. Alexander Shnirman Blatt 11

Dr. Boris Narozhny, Dr. Holger Schmidt 29.06.2010

1. Tr¨agheitstensor, Hauptachsen und Steiner’scher Satz (6 Punkte) (a) Trivial,

(b) Es gilt mit x1 =x, x2 =y, x3 =z

I =



 P

lml(y_l²+z_l²) −P

lmlxlyl −P

lmlxlzl

−P

lmlxlyl

P

lml(x²_l +z_l²) −P

lmlylzl

−P

lmlxlzl −P

lmlylzl

P

lml(x²_l +y²_l)





(c) Es gilt hier

I^′ =



 P

lml((y^′)²_l + (z^′)²_l) 0 0

0 P

lml((x^′)²_l + (z^′)²_l) 0

0 0 P

lml((x^′)²_l + (y^′)²_l)





= diag(I1, I2, I3) Damit gilt

I1+I2 =X

l

m_l((x^′)²_l + (y^′)²_l + 2(z^′)²_l)≥X

l

m_l((x^′)²_l + (y^′)²_l) =I3. Die anderen Komponenten zeigt man analog.

(d) Mit I^′ =A^TIA gilt (zyklische Vertauschung unter der Spur ist erlaubt und A^TA= AA^T = 1):

Spur (I^′) = Spur A^TIA

= Spur IAA^T

= Spur (I) (e) Wir setzen ~x = ~x ^′ +~a. Setzt man dies ein und verwendet, dass gilt P

lml~xl = 0 bzw. P

lml(xi)l = 0 (jede Komponente des Schwerpunktes verschwindet) so folgt I˜ik = X

l

ml (~x^′)²_lδik−(x_i^′)l(x_k^′)l

= X

l

ml (~xl−~a)²δik−((xi)l−ai)((xk)l−ak)

= X

l

ml ~x²_lδik−(xi)l(xk)l

+ X

l

ml

!

~a²δik−aiak

= Iik+M(~a²δik−aiak)

2. Tr¨agheitstensor einer diskreten Massepunkteverteilung (8 Punkte) (a) Tr¨agheitstensor f¨urN Massepunkte: I˜ij =

N

X

n=1

mn[ (rⁿ)²δi,j −xⁿ_ixⁿ_j ] Diagonalelemente: I˜ii=

N

X

n=1

mn[ (xⁿ1)²+ (xⁿ2)² + (xⁿ3)²−(xⁿ_i)²] Außerdiagonalelemente: I˜_ij

i6=j =−

N

X

n=1

m_n[xⁿ_i xⁿ_j ] Hier:

I˜xx = (m+M)a² I˜yy = (m+M)a² I˜zz = 2(m+M)a² I˜xy = Iyx =−M a² I˜xz = Iyz = 0















⇒I˜=





(m+M)a² −M a² 0

−M a² (m+M)a² 0

0 0 2(m+M)a²





(b) Eigenvektoren: Ie˜ ^′_i = ˜Iie^′_i ⇒ ( ˜I−I˜i1)e^′_i = 0 Eigenwerte:

det( ˜I−I˜i1) = 0 ⇒ (2(m+M)a² −I˜i) [ ((m+M)a² −I˜i)²−(M a²)²] = 0 daraus folgt

I˜3 = 2(m+M)a² und ((m+M)a²−Ii)²−(M a²)² = 0

⇒ I˜1 =ma² , I˜2 = (m+ 2M)a² Zugeh¨origer Eigenvektor: ˜I3 = 2(m+M)a² ⇒

Mit e^′₃ = bx

b_y bz

!

: −(m+M)bx−M by = 0

−M bx−(m+M)by = 0

⇒ bx =by = 0 0b_z = 0 ⇒ b_z = beliebig







⇒ e^′₃ =c3

0 0 1

!

mit der freien Konstante c3 ≡ bz.

Zugeh¨origer Eigenvektor: ˜I¹ =ma² ⇒ Mit e^′1 =

bx

by

b_z

! :

M bx −M by = 0

−M bx+M by = 0

⇒ bx =by

(m+ 2M)bz = 0 ⇒ bz = 0







⇒ e^′1 =c1

1 1 0

!

mit der freien Konstante c1 ≡ b_y.

Zugeh¨origer Eigenvektor: ˜I2 = (m+ 2M)a² ⇒

Mit e^′₂ = bx

by

bz

! :

−M bx−M by = 0

−M bx−M by = 0

⇒ bx =−by

mb_z = 0 ⇒ b_z = 0







⇒ e^′₂ =c2

−1 1 0

!

mit der freien Konstante c2 ≡ by.

Die Konstanten ci werden jetzt so bestimmt, daß die Eigenvektoren normiert sind (Einheitsvektoren), |e^′_i|= 1 , und es ergibt sich schließlich

I˜1 = ma² I˜2 = (m+ 2M)a² I˜3 = (2m+ 2M)a² e^′₁ = 1

√2 1 1 0

!

e^′₂ = 1

√2

−1 1 0

!

e^′₃ = 0 0 1

!

Die Benennung derIiund zugeh¨origene^′_i (welcher also der 1., 2., oder 3. Eigenvektor sein soll) ist nat¨urlich willk¨urlich. Mit der hier benutzten Benennung bilden die Hauptachsen in der Reihenfolgee^′₁,e^′₂,e^′₃ ein rechtsh¨andiges Bezugssystem. Siehe auch die nichtvorhandene Skizze.

(c) Die Transformationsmatrix in e^′_i =Ae_i lautet

A= (e^′1,e^′₂,e^′₃) =





√1

2 −^√12 0

√1 2

√1

2 0

0 0 1





Die Matrix ist orthogonal, denn die Spalten sind paarweise orthogonal (sogar or- thonormal), e^′_ie^′_j =δi,j.

Die Komponenten ˜I_ij^′ des Tr¨agheitstensors in der neuen Basis sind I˜_ij^′ = (A⁻¹IA)ij =





I˜1 0 0 0 I˜2 0 0 0 I˜3





ij

Die MatrixI wird durch die ¨Ahnlichkeitstransformation Λ ja gerade diagonalisiert.

Davon kann man sich notfalls durch Ausmultiplizieren von ˜I^′ =A⁻¹IA˜ uberzeugen.¨ (d) Schwerpunkt im “alten” Koordinatensystem:

R= P

nmnr_n P

nmn

= 1

3m+M

"

ma 1 0 0

! +ma

0 1 0

! +M a

1 1 0

! #

= (m+M)a 3m+M

1 1 0

!

||e^′₁ Wenn nun das Hauptachsensystem e^′1,e^′2,e^′3 in Richtung e^′1 auf den Schwerpunkt

verschoben wird, werden die Drehachsene^′₂ und e^′₃ jeweils um|R|parallel verscho- ben, e^′₁ dagegen bleibt unver¨andert. Der Satz von Steiner, r¨uckw¨arts angewendet, f¨uhrt dann auf

I1 = ˜I1

I2 = ˜I2 −Mtot|R|² , Mtot = 3m+M I3 = ˜I3 −M_tot|R|²

Um das Ergebnis einfach nachpr¨ufbar zu halten, vereinfachen wir aufM =m, dann gilt

R= a 2

1 1 0

!

⇒ |R|² = a²

2 , M_tot = 4m

also

I1 =ma² , I2 =ma² , I3 = 2ma²

Dies ergibt sich nat¨urlich auch direkt, wenn man M = m setzt und die I_ij be- rechnet; also bez¨uglich eines Koordinatensystems, dessenxund y-Achsen durch die Ecken des Quadrats aus den 4 Massen m gehen, mit dem Ursprung in der Mitte (Schwerpunkt).

3. Tr¨agheitstensor einer kontinuierlichen Masseverteilung (8 Punkte) (a)

ρ(~x) = ( m

a³, 0≤x, y, z ≤a,

0, sonst. .

(b) Es gilt:

I11 = Z

R³

ρ(~x) (x²2+x²3)d³x= m a³

Z a 0

dx1

Z a 0

dx2

Z a 0

dx3(x²2+x²3)

= m

a³ aa³

3 a+ m a³ a a a³

3 = 2ma²

3 =I2,2 =I3,3. Ebenso:

I12 = − Z

R³

ρ(~x)x1x2d³x=−m a³

Z a 0

dx1

Z a 0

dx2

Z a 0

dx3x1x2

= −m a³

a² 2

a²

2 a=−ma²

4 =I1,3 =I2,3 =I2,1 =I3,1 =I3,2. Also in Matrixform:

I= (Iij) = ma² 12





8 −3 −3

−3 8 −3

−3 −3 8



.

Iist symmetrisch.

(c) Eigenwerte von Iliefern die Haupttr¨agheitsmomente Ii:

|I−λ1|= 121

864a⁶m³− 55

48a⁴m²λ+ 2a²m λ²−λ³. Ansatz:

λ= ma²

12 α⇒242−165α+ 24α²−α³ =−(α−2)(α−11)² = 0,^! also

I1 =λ1 = ma²

6 , I2,3 =λ2,3 = 11ma² 12 . Haupttr¨agheitsachse~e1^′ zu I1 ist Eigenvektor zu I1:

I−λ11= ma² 4





2 −1 −1

−1 2 −1

−1 −1 2



,

also

~e1^′ = 1

√3



 1 1 1



 (2P).

Haupttr¨agheitsachsen~e2^′,3 zu I2,3:

I−λ21=−ma² 4





1 1 1 1 1 1 1 1 1



,

also zum Beispiel

~e2^′ = 1

√2



 1

−1 0



, ~e3^′ = 1

√6



 1 1

−2



 (3P).

Die Haupttr¨agheitsachsen zu verschiedenen Haupttr¨agheitsmomenten stehen also senkrecht aufeinander.

(e) ~ω1 = (ω1,0,0)^T, also

~Lrot =I~ω1 = ma²ω1

12



 8

−3

−3



.

Damit sind Drehimpuls und Rotationsachse nicht parallel zueinander.

(f)

~

ω2= ω2

√3



 1 1 1



=ω2~v1, also

~Lrot =I~ω2 =I1~ω2.

Drehimpuls und Rotationsachse sind parallel zueinander, da die Drehachse mit einer der Hauptachsen zusammenf¨allt.