2 Z d3p (2π~)3f0(ε(p)−µ

1 a) Im Gleichgewicht, ohne ¨außere Felder:

j⁰(r) =−2e

Z d³p (2π~)³

p

mf⁰(ε(p)−µ)

Mit ε(p) = ε(|p|) (Isotropie) ist auch f⁰ = f⁰(|p|) . Zu jedem p gibt es ein −p unter dem Integral, so daß sich alle Beitr¨age zu p/m wegheben; also: j⁰ = 0 . Auch anschaulich klar, daß im Gleichgewicht kein Strom fließt.

Ganz genauso ist j⁰_Q = 0 .

Die Teilchendichte ist der schon bekannte Ausdruck f¨ur das Fermi-Gas:

n⁰(r) = 2

Z d³p

(2π~)³f⁰(ε(p)−µ) = 2

Z d³k

(2π)³f⁰(ε(k)−µ) = 21 V

X

k

f⁰ = N V mit, wie ¨ublich,

ε(k) = ~²k²

2m , d³k = (2π)³ V

Die Teilchendichte ist im Gleichgewicht also homogen, n⁰(r) =N/V .

b) Mit ¨außeren Feldern: f(p,r) =f(p, T(r), µ(r)) in die Boltzmanngleichung einsetzen. Dazu brauchen wir

∇^rf(p,r) = ∂f

∂T ∇T + ∂f

∂µ∇µ

In linearer Ordnung inE,∇T,∇µ kann in der Gleichung in allen Ableitungen f durch f⁰ ersetzt werden. Also:

p m

∂f⁰

∂T ∇T +∂f⁰

∂µ ∇µ

−eE∇^pf⁰ =−1

τ[f(p,r)−f⁰] Jetzt sollte man noch die Ableitungen umformen:

f⁰ =f⁰(x) , x= ε(p)−µ

kT , ∂f⁰

∂ε = 1 kT

∂f⁰

∂x ⇒ ∂f⁰

∂x =kT∂f⁰

∂ε Damit folgt

∂f⁰

∂T = ∂f⁰

∂x

∂x

∂T =

−∂f⁰

∂ε

ε(p)−µ

T , ∂f⁰

∂µ = ∂f⁰

∂x

∂x

∂µ =

−∂f⁰

∂ε

Außerdem gilt ∇^pf⁰ = p m

∂f⁰

∂ε

;

das alles einsetzen und nach f(p,r) aufl¨osen ergibt schließlich f(p,r) =f⁰+τ

−∂f⁰

∂ε

X

ν=x,y,z

p^ν

m[−eE^ν −(∇µ)^ν− ε(p)−µ

T (∇T)^ν]

c) Wir machen’s allgemeiner als die Aufgabe verlangt, f¨ur beliebig gerichtete Felder:

Leitf¨ahigkeitstensor: j^µ=σ^µνE^ν (implizite Summation).

Stromdichte f¨ur ∇T =∇µ= 0 : j^µ =−2e

Z d³p

(2π~)³f(p,r)p^µ

m = j^0µ

|{z}=0

+2e²τ

Z d³p (2π~)³

p^µp^ν m²

−∂f⁰

∂ε

E^ν

Der Leitf¨ahigkeitstensor l¨aßt sich nun ablesen als σ^µν = 2e²τ

m²

Z d³p (2π~)³

−∂f⁰

∂ε

p^µp^ν

Mit der Isotropie von f⁰(p) = f⁰(|p|) wird das Integral null f¨urp^µp^ν =p^xp^y, p^xp^z, p^yp^z, ungleich null also nur f¨urp^µp^ν = (p^x)²,(p^y)²,(p^z)². Durch zyklisches Umbenennen der Integrationsvariablen p^x, p^y, p^z f¨uhren diese drei M¨oglichkeiten auf dasselbe σ; in kurz:

p^µp^ν →δ_µ,ν(p^x)² =δ_µ,ν(p^y)² =δ_µ,ν(p^z)² =δ_µ,ν1

3[ (p^x)²+ (p^y)²+ (p^z)²] Die Leitf¨ahigkeit lautet damit

σ^µν =δµ,νσ , σ = 2e²τ 3m²

Z d³p (2π~)³

−∂f⁰

∂ε

ε=ε(p)

p²

F¨urT →0 gilt

−∂f⁰

∂ε

= δ(ε−µ)|T=0 =δ(ε−εF) =δ( p² 2m − p²_F

2m) = δ(p−pF)

|pF/m| Damit ergibt sich

σ = e²τ m 24π

3 pF

2π~ 3

Die Teilchendichte bei T →0 ist n⁰ = 2

Z d³p (2π~)³ f⁰

T=0 = 2

Z d³p

(2π~)³ Θ(ε_F −ε(p))

| {z }

= Θ(p_F −p)

= 2

(2π~)³ Z

dΩ

| {z }

= 4π

p_F

Z

0

p²dp= 24π 3

pF

2π~ 3

n⁰ ist nat¨urlich gerade 2×das Volumen der Fermikugel.

Damit l¨aßt sich pF aus σ rauswerfen, σ = n⁰e²τ m

d) Die thermische Leitf¨ahigkeit ist definiert ¨uber j_Q^µ =K^µν(−∇T)^ν. Der W¨armestrom lautet

j_Q^µ = 2

Z d³p (2π~)³

p^µ

m[ε(p)−µ]f(p,r) = j_Q^0µ

|{z}=0

+1 T

2τ m²

Z d³p (2π~)³

−∂f⁰

∂ε

[ε−µ]²p^µp^ν(−∇T)^ν

Die Isotropie-Argumente von oben gelten hier genauso, und der Tensor der thermischen Leitf¨ahigkeit lautet

K^µν =δµ,νK , K = 1 T

2τ 3m²

Z d³p (2π~)³

−∂f⁰

∂ε

[ε(p)−µ]²p²

F¨ur T → 0 ist wieder

−^∂f_∂ε⁰

=δ(ε−µ) , und leider ist damit K = 0 . Wir m¨ussen also f¨ur die f¨uhrende Ordnung T mind. eine Ordnung h¨oher in der Sommerfeldentwicklung gehen. Dazu ist es vorteilhaft, die p-Integration in eine ε-Integration umzuwandeln, ¨uber die Zustandsdichte:

N(ε) = 1 V

X

k

δ(ε−ε(k)) =

Z d³k

(2π)³δ(ε−ε(k)) =

Z d³p

(2π~)³δ(ε−ε(p)) = 2m

~²

3/2 √ ε 4π²Θ(ε) Der explizite Ausdruck f¨ur Elektronen in 2 Dimensionen wurde ja schon in Blatt 3, Aufg. 3 b) hergeleitet. Mit p² = 2mεergibt sich damit

K = 1 T

4τ 3m

Z

dε N(ε)(ε−µ)²ε

| {z }

≡A(ε)

−∂f⁰

∂ε

F¨ur die Sommerfeldentwicklung (siehe ¨Ubungsblatt) brauchen wir A(ε) =N(ε) (ε−µ)²ε , A(µ) = 0 , A⁰⁰(µ) = 2N(µ)µ dies f¨uhrt auf

K = 1 T

4τ

3m[ 2N(µ)µπ²

6 (kT)²+O(T⁴) ]

Aus der Vorlesung ist bekannt, daß µ(T) =ε_F +O(T²) , so daßµ=ε_F in f¨uhrender Ordnung T in K gesetzt werden kann. Damit ist

K = 4τ

3mN(ε_F)ε_Fπ² 3 k²T

Jetzt muß wieder die Teilchendichte herhalten, um εF zu eliminieren:

n⁰ = 2 Z

dεN(ε)f⁰ = 2

ε_F

Z

0

dεN(ε)+O(T²) , N(ε) =α√

ε , n⁰ = 2α2

3(εF)^3/2 = 4

3N(εF)εF

Dies einsetzen f¨uhrt schließlich auf K = n⁰τ

m π²

3 k²T =σ k

e 2

π² 3 T

2 a) Die Eigenzust¨ande von ˆHsind offenbar alle einfachen Produktzust¨ande aus ˆSz-Eigenzust¨anden, denn alle beteiligten Operatoren kommutieren:

Hˆ|σ1i¹|σ2i² = [−J~²

4 σ1σ2−B~

2(σ1+σ2) ]|σ1i¹|σ2i² , σ1, σ2 =±1

Kanonische Zustandssumme:

Z(T, B) =X

α

hα|e^−βHˆ|αi= X

σ1,σ2

e^β[J~

2

4σ1σ2+B^~₂(σ1+σ2) ]

Durch die Wechselwirkung ∼J faktorisiert die Zustandssumme hier nicht ! Z(T, B) =e^β[J~

2

4−B~]+e^β[J~

2

4 +B~]+ 2e^−β[J~

2 4 ]

b) Magnetisierung:

M(T, B) =hSˆ₁^z+ ˆS₂^zi=kT 1 Z

∂Z

∂B =− ∂F

∂B

T

Einsetzen liefert

M(T, B) =~ sinh(β~B)

cosh(β~B) + exp(−βJ~²/2) Suszeptibilit¨at:

χ(T) = ∂M

∂B

B=0

= ~² kT

1

1 + exp(−βJ~²/2) Grenzf¨alle hohe/tiefe Temperatur:

kT J ⇒ e^−βJ~2/2 '1−βJ^~₂² '1 ⇒ χ(T)' _kT^{~2 1}₂ kT J ⇒ e^−βJ~2/2 '0 ⇒ χ(T)' _kT^~2 c) Magnetisierung:

M(T, B) =h( ˆS₁^z+ ˆS₂^z)i= 1 Z

∂Z

∂ βB Suszeptibilit¨at

χ(T, B) = ∂M

∂B =β ∂M

∂ βB =β

"

−1 Z²

∂Z

∂ βB 2

+ 1 Z

∂²Z

∂(βB)²

#

Mit 1 Z

∂²Z

∂(βB)² =h( ˆS₁^z+ ˆS₂^z)²i folgt

⇒ χ(T, B) = 1 kT

hh( ˆS₁^z+ ˆS₂^z)²i − h( ˆS₁^z+ ˆS₂^z)i²i

und f¨urB = 0

⇒ χ(T) = lim

B→0χ(T, B) = 1

kT h( ˆS₁^z+ ˆS₂^z)²i

B=0

Die Nullfeld-Suszeptibilit¨at ist also durch die thermischen Schwankungen (Fluktuationen) des Gesamtspins des Systems gegeben.

Anwendung:

B = 0 : Z = 2(e^−βJ~

2

4 +e^βJ~

2 4 ) B = 0 : h( ˆS₁^z+ ˆS₂^z)²i= 1

Z ~

2 2

X

σ1,σ2

exp βJ~² 4 σ1σ2

(σ1+σ2)² = 2~²exp βJ^~₄² Z

⇒ h( ˆS₁^z+ ˆS₂^z)²i= ~² 1 +e^−βJ~2/2

Damit wird das Ergebnis f¨urχ(T) aus b) reproduziert.