Universit¨at Duisburg-Essen SS 2012 Ingenieurwissenschaften / Informatik 11. Juni 2012
Dozent: Dr. Sander Bruggink Ubungsblatt 7¨
Ubungsleitung: Jan St¨¨ uckrath Abgabe: 18. Juni 2012
Automaten und formale Sprachen
Aufgabe 19 Abschlusseigenschaften regul¨arer Sprachen (6 Punkte) Sei Σ = {a, b} und seien die folgenden beiden deterministischen endlichen Automaten M1 = (Z1,Σ, δ1, s1, E1) und M2 = (Z2,Σ, δ2, s2, E2) gegeben:
M1 : s1
s2
s3 a
b a
b
a
b
M2 : t1 t2 t3
a
b a
b a
b
Der Kreuzproduktautomat MS von M1 und M2 kann wie folgt definiert werden:
MS = (Z1×Z2,Σ, δ,(s1, s2), E1×E2),
wobei δ((z1, z2), a) = (δ1(z1, a), δ2(z2, a)) f¨ur z1 ∈ Z1, z2 ∈ Z2 und a ∈ Σ ist. Die von dem Automaten MS akzeptierte Sprache ist
T(MS) = T(M1)∩T(M2).
(a) (i) Konstruieren Sie – mit Hilfe des obigen Verfahrens – einen deterministischen endli- chen AutomatenMS, der die Sprache
T(MS) =T(M1)∩T(M2)
akzeptiert. (2 p)
(Hinweis: Sie m¨ussen nur die erreichbaren Zust¨ande angeben.)
(ii) Geben Sie einen deterministischen endlichen Automaten MV an, der die Sprache T(MV) =T(M1)∪T(M2)
akzeptiert. (2 p)
(Hinweis: Sie k¨onnen diesen Automaten durch ein ¨ahnliches Verfahren wie das oben Beschriebene konstruieren.)
(b) Beschreiben Sie wie man im Allgemeinen f¨ur zwei beliebige deterministische endliche Automaten M0 = (Z0,Σ, δ0, s0, E0) und M00 = (Z00,Σ, δ00, s00, E00) einen deterministischen endlichen Automaten M konstruiert, der die Sprache
T(M) = T(M0)∪T(M00)
akzeptiert. Begr¨unden Sie außerdem die Korrektheit Ihres Verfahrens! (2 p)
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Aufgabe 20 Fragen zu Abschlusseigenschaften (8 Punkte) Uberlegen Sie sich, ob folgende Aussagen f¨¨ ur beliebige SprachenL1, L2 ⊆Σ∗ gelten. Geben Sie jeweils entweder einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an. Antwortenohne Begr¨undung erhalten keine Punkte.
(a) Wenn Σ∗\L1 regul¨ar ist, dann ist auch L1 regul¨ar. (2 p)
(b) Wenn genau eine der beiden Sprachen regul¨ar ist, dann ist auch L1∪L2 regul¨ar. (2 p)
(c) WennL1∪L2regul¨ar ist, dann ist mindestens eine der SprachenL1 oderL2 regul¨ar. (2 p)
(d) Wenn L1 regul¨ar ist und L1 ⊆L2 gilt, dann ist auchL2 regul¨ar. (2 p)
Aufgabe 21 Abschlusseigenschaften und Sprachklassifikation (3 Punkte) Sei Σ ={a, b}. Gegeben ist die Sprache
L={w∈Σ∗ |#a(w) = #b(w)}
Begr¨unden Sie mit Hilfe der Abschlusseigenschaften f¨ur regul¨are Sprachen, warum L nicht regul¨ar sein kann. Sie d¨urfen verwenden, dass die Sprache {anbn |n∈N0} nicht regul¨ar ist.
Aufgabe 22 Abschlusseigenschaften und das Adventure (Level 1) (3 Punkte) Ein Adventure ist ein nichtdeterministicher endlicher Automat und bildet daher eine regul¨are Sprache. Jede der drei Regeln l¨asst sich ebenfalls durch eine regul¨are Grammatik darstellen.
Argumentieren Sie wie man mit Hilfe dieser Voraussetzungen einen Algorithmus konstruieren kann, der f¨ur ein beliebiges Adventure pr¨uft ob es eine L¨osung besitzt.
Die Hausaufgaben zu diesem ¨Ubungsblatt m¨ussen bis sp¨atestens Montag, den 18. Juni 2012 um 16:00 Uhr abgegeben werden. Bitte werfen Sie Ihre Abgabe in den mitAutomaten und formale Sprachen beschrifteten Briefkasten neben Raum lf, oder geben Sie sie online ab ¨uber die moodle-Plattform. Wenn Sie online abgeben, laden Sie bitte ihre L¨osungen in Form einer einzigen pdf-Datei hoch. Bitte schreiben Sie auf Ihre Abgabe deutlich Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer, die Gruppenummer und die Vorlesung (“Automaten und formale Sprachen”).
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