Automaten und formale Sprachen

Universit¨ at Duisburg-Essen SS 2012 Ingenieurwissenschaften / Informatik 14. Mai 2012

Dozent: Dr. Sander Bruggink Ubungsblatt 4 ¨

Ubungsleitung: Jan St¨ ¨ uckrath Abgabe: 21. Mai 2012

Automaten und formale Sprachen

Aufgabe 10 Regul¨ are Ausdr¨ ucke f¨ ur regul¨ are Sprachen (8 Punkte)

Geben Sie regul¨ are Ausdr¨ ucke f¨ ur die folgenden Sprachen ¨ uber dem Alphabet Σ = {a, b, c} an.

(a) Die Menge aller W¨ orter gerader L¨ ange, bei denen jedes zweite Symbol ein b ist. (2 p)

(b) Die Menge aller W¨ orter, bei denen die L¨ ange durch drei teilbar ist. (2 p)

(c) Die Menge aller W¨ orter, die mit a beginnen und mit a enden. (2 p)

(d) Die Menge aller W¨ orter beliebiger L¨ ange, die aus maximal zwei unterschiedlichen Sym- bolen bestehen (gemeint ist beispielsweise aabb oder ccc aber nicht abbc). (2 p)

(Hinweis: Verwenden Sie f¨ ur Ihre regul¨ aren Ausdr¨ ucke ausschließlich die Notation, die in der Definition regul¨ arer Ausdr¨ ucke aus der Vorlesung verwendet wurde!)

Aufgabe 11 Regul¨ are Ausdr¨ ucke im Vergleich (6 Punkte) (a) Begr¨ unden Sie, warum

L(a ^∗ | b ^∗ ) ( L((a | b) ^∗ ) gilt. Zeigen Sie dazu, dass

L(a ^∗ | b ^∗ ) ⊆ L((a | b) ^∗ ), aber nicht L(a ^∗ | b ^∗ ) = L((a | b) ^∗ )

ist. (3 p)

(b) Geben Sie einen regul¨ aren Ausdruck γ an, f¨ ur den L((a | b) ^∗ ) = L(γ)

gilt und zus¨ atzlich darf γ kein Vorkommen des Operators | enthalten. Begr¨ unden Sie, falls m¨ oglich mit einem formalen Beweis, warum der von Ihnen angegebene regul¨ are Ausdruck

γ eine L¨ osung ist. (3 p)

(Hinweis: Sie d¨ urfen ohne Beweis benutzen, dass L(ϕ ^∗ ) = [

n∈ N

(L(ϕ)) ⁿ

f¨ ur beliebige regul¨ are Ausdr¨ ucke ϕ gilt.)

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Aufgabe 12 Umwandlung von regul¨ aren Ausdr¨ ucken in endliche Automaten (6 Punkte)

Sei Σ = {a, b, c}. Gegeben seien die folgenden regul¨ aren Ausdr¨ ucke ¨ uber Σ:

α = (a | b | abc) ^∗ und β = (a | c) ^∗ (a | b) ^∗ .

(a) Welche Sprachen L(α) und L(β) werden durch die regul¨ aren Ausdr¨ ucke beschrieben?

(2 p)

(b) Wandeln Sie die beiden regul¨ aren Ausdr¨ ucke α und β in nichtdeterministische Automaten M _α und M _β um. Nutzen Sie dazu das Verfahren aus der Vorlesung! Die Automaten M _α und M _β sollen die gleiche Sprache akzeptieren, die durch die regul¨ aren Ausdr¨ ucke α und β beschrieben wird, es soll also gelten:

L(α) = T (M _α ) und L(β) = T (M _β ).

Geben Sie außerdem alle Zwischenschritte ihrer Umwandlung an. Endliche Automaten f¨ ur a, b und c m¨ ussen nicht seperat angegeben werden. (4 p)

Die Hausaufgaben zu diesem ¨ Ubungsblatt m¨ ussen bis sp¨ atestens Montag, den 21. Mai 2012 um 16:00 Uhr abgegeben werden. Bitte werfen Sie Ihre Abgabe in den mit Automaten und formale Sprachen beschrifteten Briefkasten neben Raum lf , oder geben Sie sie online ab ¨ uber die moodle-Plattform. Wenn Sie online abgeben, laden Sie bitte ihre L¨ osungen in Form einer einzigen pdf-Datei hoch. Bitte schreiben Sie auf Ihre Abgabe deutlich Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer, die Gruppenummer und die Vorlesung (“Automaten und formale Sprachen”).

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