Universit¨ at Duisburg-Essen SS 2012 Ingenieurwissenschaften / Informatik 16. April 2012
Dozent: Dr. Sander Bruggink Ubungsblatt 1 ¨
Ubungsleitung: Jan St¨ ¨ uckrath Abgabe: 23. April 2012
Automaten und formale Sprachen
Aufgabe 1 Mengennotation (7 Punkte)
(a) Bestimmen Sie die Potenzmenge P (M
i) f¨ ur folgende Mengen:
1) M
1= {a, (a, b), b} (1 p)
2) M
2= {1} × {1, 2} (1 p)
3) M
3= M
1∩ M
2(1 p)
(b) Formulieren Sie die folgenden Mengen mit Hilfe der Mengennotation aus der Vorlesung:
1) Die Menge aller geraden, nat¨ urlichen Zahlen. (1 p)
2) Die Menge aller Teilmengen von ganzen Zahlen, die ungerade viele Elemente enthal-
ten. (1 p)
3) Die Menge aller Tripel (3-Tupel) von ganzen Zahlen, bei der die Summe der drei
Zahlen kleiner ist als Null. (1 p)
4) Die Menge aller Paare (2-Tupel), bei denen beide Elemente Teilmengen der nat¨ urlichen Zahlen sind und das erste Element ist eine Teilmenge des zweiten Elements. (1 p)
Aufgabe 2 Die Kunst des Beweisens (7 Punkte)
Im folgenden sind mehrere mathematische Aussagen aufgef¨ uhrt. Beweisen oder widerlegen Sie diese Aussagen, wie es in der Vorlesung gezeigt wurde.
(a) Beweisen Sie folgende Aussagen:
1) F¨ ur alle Mengen A, B gilt: P (A) ∩ P (B) = P (A ∩ B). (3 p)
2) Die Relation < (echt kleiner) ist keine Ordnungsrelation. (1 p)
(b) Widerlegen Sie folgende Aussagen:
1) F¨ ur alle Mengen A, B gilt: P (A) ∪ P (B) = P (A ∪ B). (1,5 p)
2) Es gibt zwei nat¨ urliche Zahlen n 6= m, so dass n ≤ k und m ≤ k f¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen k gilt, d.h. es gibt zwei kleinste nat¨ urliche Zahlen. (1,5 p)
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Aufgabe 3 Adventure (Level 1) (6 Punkte) Sie sind ein auf Schatzsuche befindlicher Abenteurer bzw. eine Abenteurerin und erhalten die untenstehende Karte ¨ uber folgendem Alphabet Σ: Drache (d), Torbogen (b), T¨ ur (t), Schwert (w), Schatz (a), Fluß (f ) und Schl¨ ussel (l). Ihre Aufgabe ist die folgende: Sie sol- len am Anfangszustand aufbrechen und sich zum Endzustand bewegen, wobei die folgenden Einschr¨ ankungen gelten.
(S) Sie m¨ ussen mindestens zwei Sch¨ atze finden. Wenn man das gleiche Schatzfeld mehrmals betritt, dann erh¨ alt man immer wieder einen neuen Schatz.
(T) Durch T¨ uren kann man nur dann gehen, wenn man vorher einen Schl¨ ussel gefunden hat.
Jeder Schl¨ ussel passt zu jeder T¨ ur.
(D) Wenn man einen Drachen trifft, dann muß man sofort anschließ end in einen Fluß springen, da uns der Drache in Brand steckt. Diese Bedingung gilt aber nicht mehr, sobald man ein Schwert gefunden hat, da man damit den Drachen rechtzeitig t¨ oten kann. Wenn man mehrere Male das gleiche Drachenfeld betritt, befindet sich dort immer wieder ein neuer Drache.
1 2 3 4 5 6
10 14
7 8 15
9 13 11 12
