Automaten und formale Sprachen

Universit¨ at Duisburg-Essen SS 2012 Ingenieurwissenschaften / Informatik 21. Mai 2012

Dozent: Dr. Sander Bruggink Ubungsblatt 5 ¨

Ubungsleitung: Jan St¨ ¨ uckrath Abgabe: 30. Mai 2012

Automaten und formale Sprachen

Aufgabe 13 Umwandlung von endlichen Automaten in regul¨ are Ausdr¨ ucke (6 Punkte) Gegeben seien die folgenden nichtdeterministischen Automaten M ₁ und M ₂ :

M ₁ : s ₁ s ₂ s ₃

s ₄ a

a, b b

a b b

M ₂ :

t ₁

t ₂

t 3 t 4

b a

a, b a

a, b

Wandeln Sie die beiden nichtdeterministischen Automaten M ₁ und M ₂ in regul¨ aren Ausdr¨ ucke α und β um. Nutzen Sie dazu das Verfahren aus der Vorlesung! Die regul¨ aren Ausdr¨ ucke α und β sollen die gleichen Sprachen beschreiben, die durch die Automaten M ₁ und M ₂ akzeptiert werden, es soll also gelten:

L(M ₁ ) = L(α) und L(M ₂ ) = L(β).

Geben Sie außerdem die Zwischenschritte ihrer Umwandlung an.

(Hinweis: Wenn Sie Regel S (Entfernen von Schleifen) so sp¨ at wie m¨ oglich anwenden, erhalten sie kleinere regul¨ are Ausdr¨ ucke.)

Aufgabe 14 Pumping Lemma f¨ ur Anf¨ anger (6 Punkte) Zeigen Sie mit Hilfe des Pumping Lemmas f¨ ur regul¨ are Sprachen, dass die folgenden Sprachen nicht regul¨ ar sind:

(a) L ₁ = {a ^k b ^(k

⁾ | k ∈ N 0 } (3 p)

(b) L 2 = {ba ^k ca ^k b | k ∈ N ⁰ } (3 p)

Ihr Beweis sollte dabei wie folgt aussehen:

Sei n eine beliebige nat¨ urliche Zahl. Wir w¨ ahlen das Wort x = . Dann ist x ∈ L und |x| ≥ n. Wir k¨ onnen x folgendermaßen in uvw zerlegen, so dass |uv| ≤ n und |v| ≥ 1:

1) u = , v = , w = , wobei

2) u = , v = , w = , wobei

3) u = , v = , w = , wobei

F¨ ur jede Zerlegung gibt es einen Index i, so dass uv ⁱ w / ∈ L. F¨ ur die oben aufgef¨ uhrten Zerle- gungen w¨ ahlen wir folgende Indizes:

1

1) i = , so dass uv ⁱ w = ∈ / L, da 2) i = , so dass uv ⁱ w = ∈ / L, da 3) i = , so dass uv ⁱ w = ∈ / L, da Nach dem Pumping Lemma ist L daher nicht regul¨ ar.

(Hinweis: Die Anzahl der ben¨ otigten F¨ alle h¨ angt von dem gew¨ ahlten Wort ab und davon wie man es aufschreibt.)

Aufgabe 15 Aquivalenz von W¨ ¨ ortern (8 Punkte)

In den folgenden zwei Teilaufgaben soll die ¨ Aquivalenz von W¨ ortern bez¨ uglich der Myhill- Nerode ¨ Aquivalenzrelation ¨ uberpr¨ uft werden. Begr¨ unden Sie dabei die Korrektheit Ihrer L¨ o- sungen in jeder Teilaufgabe.

(a) Gegeben sei die Sprache L ₁ = {(abc) ⁿ | n ∈ N 0 } ¨ uber dem Alphabet Σ = {a, b, c}. Im folgenden wird als ¨ Aquivalenzrelation die Relation ≡ _L

verwendet.

1) Geben Sie f¨ ur jedes der W¨ orter a, c und abc jeweils ein weiteres Wort an, das zu dem jeweiligen Wort ¨ aquivalent ist. Geben Sie außerdem ein Wort an, dass zu keinem der

drei W¨ orter ¨ aquivalent ist. (2 p)

2) Geben Sie die ¨ Aquivalenzklasse, in der das Wort a liegt und die ¨ Aquivalenzklasse in der das Wort abc liegt, jeweils in Mengennotation an. (2 p)

(b) Gegeben sei die Sprache L ₂ = {a ⁿ b ^m | n, m ∈ N 0 und n + m ist gerade} ¨ uber dem Alpha- bet Σ = {a, b}. Im folgenden wird als ¨ Aquivalenzrelation die Relation ≡ _L

verwendet.

1) Geben Sie f¨ ur jedes der W¨ orter ab, bb und a jeweils ein weiteres Wort an, das zu dem jeweiligen Wort ¨ aquivalent ist. Geben Sie außerdem ein Wort an, dass zu keinem der

drei W¨ orter ¨ aquivalent ist. (2 p)

2) Geben Sie die ¨ Aquivalenzklasse, in der das Wort bb liegt und die ¨ Aquivalenzklasse in der das Wort a liegt, jeweils in Mengennotation an. (2 p)

(Hinweis: N 0 ist die Menge der nat¨ urlichen Zahlen inklusive der Null.)

Die Hausaufgaben zu diesem ¨ Ubungsblatt m¨ ussen bis sp¨ atestens Mittwoch, den 30. Mai 2012 um 12:00 Uhr abgegeben werden. Bitte werfen Sie Ihre Abgabe in den mit Auto- maten und formale Sprachen beschrifteten Briefkasten neben Raum lf , oder geben Sie sie online ab ¨ uber die moodle -Plattform. Wenn Sie online abgeben, laden Sie bitte ihre L¨ osungen in Form einer einzigen pdf-Datei hoch. Bitte schreiben Sie auf Ihre Abga- be deutlich Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer, die Gruppenummer und die Vorlesung (“Automaten und formale Sprachen”).

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