Freie Universit¨ at Berlin SS 2006
Fachbereich Mathematik und Informatik
Prof. Dr. Konrad Polthier, Anja Krech
3. ¨ Ubung zur Vorlesung
” Analysis I“
Ausgabe: 09.05.06 Abgabe: 16.05.06
Aufgabe 1
Gegeben sei die Folge (an)n∈Nmitan = 2n−12+n. Zeigen Sie anhand der Definition, dass lim
n→∞an = 2 und bestimmen Sie f¨ur = 10−1,10−2,10−5 jeweils das kleinstm¨ogliche n0(), so dass
2n−1 2 +n −2
< f¨urn ≥n0().
Aufgabe 2
Es sei (an)n∈N eine konvergente Folge mit lim
n→∞an=a.
(a) Zeigen Sie, dass dann auch die Folge (bn)n∈N der Mittelwerte,
bn = 1n(a1 + · · · +an), gegen a konvergiert. Benutzen Sie dazu die Grenzwertdefinition.
(b) Zeigen Sie an einem geeigneten Gegenbeispiel, dass die Umkehrung nicht immer gilt.
Aufgabe 3
Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz. Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert oder zeigen Sie, dass die Folge divergiert.
(a) an=√
n+ 3−√
n (d) an= 2·103·10nn+1+5
1/2
(b) an=
n
P
k=0
2−k (e) an= n12
n
P
k=1
k
(c) an= 1+(−1)2+3n+nnn22 (f) an= 2nn+22−1 Aufgabe 4
Seien aundb reelle Zahlen. Die Folge (an)n∈N sei wie folgt rekursiv definiert:
a0 :=a, a1 :=b, an := 1
2(an−1+an−2) f¨urn ≥2.
Beweisen Sie, dass die Folge (an)n∈N konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert.
