Freie Universit¨at Berlin WS 2005/2006
Fachbereich Physik 30.11.2005
Statistische Physik - Theorie der W¨ arme
(PD Dr. M. Falcke)
Ubungsblatt 7: ¨ Dichtematrix, Variationsprinzip
L¨ osungen
Aufgabe 1
a. Da jedes Rotationsniveau (2j + 1) − fach entartet ist, lautet die kanonische Zustandssumme Z =
∞
X
j=0
(2j + 1) exp {− βE rot } =
∞
X
j=0
(2j + 1) exp
− β ~ 2 j(j + 1) 2θ
=
∞
X
j=0
(2j + 1) exp
− j(j + 1)θ r
2T
.
(1)
wo wir die charakteristische Temperatur θ r := ~ 2 /θk B eingef¨uhrt haben. Somit ergibt sich die mittlere Rotationsenergie zu
h E rot i = 1 Z
∞
X
j=0
E rot (2j + 1) exp {− βE rot } = − ∂
∂β ln Z = k B T 2 ∂
∂T ln Z . (2) Daraus folgt die spezifische W¨arme als
C rot = ∂
∂T h E rot i = − 1 k B T 2
∂
∂β h E rot i = 1 k B T 2
∂ 2
∂β 2 ln Z = 1 k B T 2
h E rot 2 i − h E rot i 2
. (3) Verschwindet die Varianz der Rotationsenergie, so ist auch die spezifische W¨arme identisch Null.
b. Beginnen wir mit den kleinen Temperaturen, d.h. T ≪ θ r . In der Zustandssumme (1) werden die h¨oheren Terme exponentiell unterdr¨ uckt, so dass wir nur die f¨ uhrenden Terme ber¨ ucksichtigen m¨ ussen, also Z − ≈ 1 + 3 exp {− θ r /T } . Somit erhalten wir
h E rot − i = 3 exp {− θ r /T }
1 + 3 exp {− θ r /T } · k B θ r ≈ 3k B θ r exp − θ r
T
, (4)
und 1
C rot − = 3k B
θ r
T 2
exp − θ r
T
= T → → 0 0 . (5)
F¨ur die Hochtemperaturentwicklung verwenden wir die Euler-MacLaurin Formel:
∞
X
i=0
f (i) =
∞
Z
0
f (i)di + 1
2 f (0) − 1
12 f ′ (0) + 1
720 f ′′′ (0) + . . . . (6)
1