Freie Universit¨at Berlin WS 2005/2006

(1)

Freie Universit¨at Berlin WS 2005/2006

Fachbereich Physik 02.11.2005

Statistische Physik - Theorie der W¨ arme

(PD Dr. M. Falcke)

Ubungsblatt 3: ¨ Zentraler Grenzwertsatz, Mikrokanonisches Ensemble, Entropie

Aufgabe 1 (3 Punkte)

Eine Meßgröße X sei die Summe von N unabhängigen Meßgrößen x

i

, die alle die gleiche Wahrschein- lichkeitsverteilung ρ(x

i

) und die gleiche charakteristische Funktion G(k) besitzen.

a. Zeigen Sie, dass die charakteristische Funktion ˜ G(k) von ρ(X) durch ˜ G(k) = [G(k)]

^N

gegeben ist.

b. Berechnen Sie ˜ G(k), h X i und h X

²

i , wenn ρ(x

i

) eine Gaussverteilung mit Mittelwert µ und Varianz σ

²

ist.

c. F¨ ur die Verbundwahrscheinlichkeit ρ(x

1

, . . . , x

n

) der n Meßgr¨oßen x

i

gelte ρ(x

1

, . . . , x

n

) ∼ exp

− (x − µ)A

⁻¹

(x − µ)/2 ,

wobei A die Kovarianzmatrix ist, d.h. a

ij

= h (x

i

− µ

i

) (x

j

− µ

j

) i . Weiterhin seien die x

i

paar- weise unkorreliert. Zeigen Sie, dass die x

i

statistisch unabh¨angig sind. Wie sind sie verteilt?

Aufgabe 2 (4 Punkte)

Ein Massenpunkt der Masse m bewege sich frei zwischen 0 ≤ x ≤ l und wird an W¨anden bei x = 0 und x = l elastisch gestreut.

a. Illustrieren Sie die Trajektorie des Massenpunktes im Phasenraum.

b. Wie groß ist das Phasenraumvolumen Σ(E), d.h. das Phasenraumvolumen f¨ ur Energien kleiner gleich E?

c. Zeigen Sie, dass Σ(E) konstant bleibt, wenn die Wand bei x = l adiabatisch nach rechts bewegt wird, wobei f¨ ur die Masse M der Wand M m gelte.

d. Betrachten Sie das gleiche Problem nun quantenmechanisch, d.h. ein Teilchen in einem Poten- tialtopf mit unendlich hohen W¨anden bei x = 0 und x = l. Wie groß ist die gesamte Anzahl der Energiezust¨ande mit Energien kleiner gleich E? Setzen Sie diese Zahl in Relation zu Σ(E)?

Aufgabe 3 (3 Punkte)

Sei ρ(x), x ∈ R eine Wahrscheinlichkeitsdichte, dann wird die Entropie S allgemein ¨ uber S = − k

B

Z

ρ(x) ln ρ(x)dx = − k

B

h ln ρ(x) i , definiert.

a. Zeigen Sie, dass f¨ ur das mikrokanonische Ensemble die vorstehende Definition mit der aus der Vorlesung ¨ ubereinstimmt.

b. Berechnen Sie die zu einer Gauß-Verteilung ρ(x) ∼ exp( − αx

²

), α > 0 geh¨orende Entropie.

Diskutieren Sie insbesondere ihre Abh¨angigkeit vom mittleren Schwankungsquadrat (∆x)

²

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Fachbereich Physik 02.11.2005

Statistische Physik - Theorie der W¨ arme

(PD Dr. M. Falcke)

Ubungsblatt 3: ¨ Zentraler Grenzwertsatz, Mikrokanonisches Ensemble, Entropie

Aufgabe 1 (3 Punkte)

Eine Meßgröße X sei die Summe von N unabhängigen Meßgrößen x

, die alle die gleiche Wahrschein- lichkeitsverteilung ρ(x

) und die gleiche charakteristische Funktion G(k) besitzen.

a. Zeigen Sie, dass die charakteristische Funktion ˜ G(k) von ρ(X) durch ˜ G(k) = [G(k)]

gegeben ist.

b. Berechnen Sie ˜ G(k), h X i und h X

i , wenn ρ(x

) eine Gaussverteilung mit Mittelwert µ und Varianz σ

ist.

c. F¨ ur die Verbundwahrscheinlichkeit ρ(x

, . . . , x

) der n Meßgr¨oßen x

gelte ρ(x

, . . . , x

) ∼ exp

− (x − µ)A

(x − µ)/2 ,

wobei A die Kovarianzmatrix ist, d.h. a

= h (x

− µ

) (x

− µ

) i . Weiterhin seien die x

paar- weise unkorreliert. Zeigen Sie, dass die x

statistisch unabh¨angig sind. Wie sind sie verteilt?

Aufgabe 2 (4 Punkte)

Ein Massenpunkt der Masse m bewege sich frei zwischen 0 ≤ x ≤ l und wird an W¨anden bei x = 0 und x = l elastisch gestreut.

a. Illustrieren Sie die Trajektorie des Massenpunktes im Phasenraum.

b. Wie groß ist das Phasenraumvolumen Σ(E), d.h. das Phasenraumvolumen f¨ ur Energien kleiner gleich E?

c. Zeigen Sie, dass Σ(E) konstant bleibt, wenn die Wand bei x = l adiabatisch nach rechts bewegt wird, wobei f¨ ur die Masse M der Wand M m gelte.

d. Betrachten Sie das gleiche Problem nun quantenmechanisch, d.h. ein Teilchen in einem Poten- tialtopf mit unendlich hohen W¨anden bei x = 0 und x = l. Wie groß ist die gesamte Anzahl der Energiezust¨ande mit Energien kleiner gleich E? Setzen Sie diese Zahl in Relation zu Σ(E)?

Aufgabe 3 (3 Punkte)

Sei ρ(x), x ∈ R eine Wahrscheinlichkeitsdichte, dann wird die Entropie S allgemein ¨ uber S = − k

Z

ρ(x) ln ρ(x)dx = − k

h ln ρ(x) i , definiert.

a. Zeigen Sie, dass f¨ ur das mikrokanonische Ensemble die vorstehende Definition mit der aus der Vorlesung ¨ ubereinstimmt.

b. Berechnen Sie die zu einer Gauß-Verteilung ρ(x) ∼ exp( − αx

), α > 0 geh¨orende Entropie.

Diskutieren Sie insbesondere ihre Abh¨angigkeit vom mittleren Schwankungsquadrat (∆x)

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