6.3 Numerische Integration

6 Integration 3

6.1 Stammfunktionen . . . 3

6.2 Integralberechnung . . . 9

6.3 Numerische Integration . . . 24

7 Kurven und Fl¨achen 29 7.1 Ebene Kurven . . . 29

7.1.1 Beispiele ebener Kurven . . . 29

7.1.2 Polarkoordinatendarstellung bei Kurven . . . 37

7.1.3 Tangente und Normale . . . 38

7.2 Fl¨achen-und Volumenberechnung . . . 47

7.2.1 Berechnung von Fl¨acheninhalten . . . 47

7.2.2 Drehfiguren . . . 50

8 Analysis in mehreren Variablen 59 8.1 Grundbegriffe . . . 59

8.2 Differenzierbarkeit . . . 64

8.3 Der Tangentialraum . . . 79

8.4 Lokale Extrema bei Funktionen zweier Variablen . . . 83

9 Integration in mehreren Variablen 89 9.1 Integration in 2 Variablen . . . 89

9.2 Integration im R³ . . . 107

10 Komplexe Zahlen und lineare Dgln 111 10.1 Komplexe Zahlen . . . 111

10.2 Lineare Differentialgleichungen . . . 117

10.3 Lineare Differentialgleichungen h¨oherer Ordnung . . . 121

1

Integration

6.1 Stammfunktionen

Wir lernen nun eine Rechenoperation an einer Funktionenklasse kennen, welche die Operation der Differenziation r¨uckg¨angig macht.

Definition. Ist f : [a, b] −→R eine Funktion, so heißt eine differenzierbare Funk- tion F : [a, b]−→R eine Stammfunktion zuf, wenn F⁰ =f gilt.

Folgendes ist leicht:

6.1.1 Hilfssatz. Sind F, G: [a, b]−→R Stammfunktionen zuf, so giltF =G+C mit einer Konstanten C.

Beweis. Denn (F −G)⁰ =f −f = 0, so dass F −G konstant sein muss.

Hier haben wir eine erste Tabelle, die zu einigen schon bekannten Funktionen die Stammfunktion ent¨alt:

Funktion f(x) Definitionsbereich Stammfunktion F(x) Definitionsbereich

xⁿ, Z3n≥0 R _n+1¹ xⁿ⁺¹ R

xⁿ, Z3n < 0, n 6=−1 R\ {0} _n+1¹ xⁿ⁺¹ R\ {0}

1

x R\ {0} ln|x| R\ {0}

3

.

Funktion f(x) Definitionsbereich Stammfunktion F(x) Definitionsbereich

e^x R e^x R

a^x, a >0 R _lna¹ a^x R

x^a, a6=−1, reell R⁺ _a+1¹ x^a+1 R⁺ (ax+b)ⁿ, mit a6= 0, n ≥0 R _(n+1)a¹ (ax+b)ⁿ⁺¹ R

cosx R sinx R

sinx R −cosx R

1/cos²x (−π/2, π/2) tgx (−π/2, π/2)

1/sin²x (0, π) −ctgx (0, π)

1/1 +x² R arctg x R

1/√

1−x² (−1,1) arcsin x (−1,1)

Wir zeigen nun, dass man f¨ur jede stetige Funktion f : [a, b] −→ R die Fl¨ache berechnen kann, welche vom Graphen von f, der x-Achse und den Geraden x = a und x=b eingeschlossen wird.

Dazu gehen wie so vor:

1. Schritt: Istn ∈N, so seiZ eine Zerlegung von [a, b] innTeilintervalle [a_j, a_j+1], wobei j = 0, ...., n−1.

2. Schritt: Wir bilden die Obersumme Σ(f,Z) :=

n−1

X

j=0

x∈[amax_j,aj+1]f(x)

(a_j+1−a_j) und die Untersumme

Σ(f,Z) :=

n−1

X

j=0

min

x∈[aj,aj+1]f(x)

(a_j+1−a_j)

F¨ur stetiges f sind beide Summen wohldefiniert, und es gilt f¨ur irgend 2 Zerle- gungenZ1 und Z2 von [a, b], dass

minf([a, b]) (b−a)≤Σ(f,Z1)≤Σ(f,Z2)≤maxf([a, b]) (b−a) 3. Schritt: Wir bilden das ”Oberintegral”

R(f,[a, b]) := gr¨oßte untere Schranke von {Σ(f,Z) | Z Zerlegung von [a, b]}

und das ”Unterintegral”

R(f,[a, b]) := kleinste obere Schranke von {Σ(f,Z)| Z Zerlegung von [a, b]}

Aus der Stetigkeit von f kann man herleiten:

6.1.2 Satz. Ist f : [a, b]−→R stetig, so gibt es zu jedem ε >0 eine Zahl δ > 0, so dass |f(t)−f(s)|< ε, wenn |t−s|< δ.

Hieraus folgt aber

6.1.3 Satz.Ist f : [a, b] −→ R stetig, so gibt es zu jedem ε > 0 ein δ > 0, so dass f¨ur jede Zerlegung Z ={a=a₀, a₁, ..., a_n =b}von [a, b], so dassa_j+1−a_j < δ, wenn 0≤j ≤n−1, schon gilt

Σ(f,Z)<Σ(f,Z) +ε Insbesondere ist dann

R(f,[a, b]) = R(f,[a, b])

Dieser Wert wird das Integral vonf in den Grenzen aundbgenannt und mit dem Symbol

Z b a

f(x)dx bezeichnet. Istf ≥0 ¨uberall, so stelltRb

af(x)dxdie Fl¨ache dar, welche vom Graphen von f, der x-Achse und den Geraden x=a und x=b eingeschlossen wird.

HatfWerte beider Vorzeichen, so wird der genannte Fl¨acheninhalt durchRb

a|f(x)|dx wiedergegeben.

a b x

Beispiel: (1) Ist f konstant gleich c, so folgt

Z b a

f(x)dx=c(b−a)

denn schon alle Ober-und Untersummen haben diesen Wert.

(2) Sei jetzt f(x) =x². Dann w¨ahlen wir die Zerlegung Zn mit den Zerlegungs- punkten a_j =a+ _n^j(b−a) und finden

Σ(f,Zn) =

n−1

X

j=0

a+j b−a n

2

b−a n

= b−a n

n−1

X

j=0

a²+ 2ab−a n

n−1

X

j=0

j+ (b−a)² n²

n−1

X

j=0

j²

!

= b−a

n n a²+ 2ab−a n

(n−1)n

2 +(b−a)² n²

n−1

X

j=0

j²

!

= (b−a)a²+a(b−a)²n−1

n + (b−a)³ n³

2ⁿ−1

X

j=0

j²

Aber es gilt

n−1

X

j=0

j² = 1

6n(n−1)(2n−1)

Das setzen wir in Σ(f,Zn) ein und lassen n→ ∞ gehen. Es folgt Z b

a

x²dx = (b−a)a²+a(b−a)²+ (b−a)³ 3

= (b−a)a²+a(b−a)²+ b³−3b²a+ 3ba²−a³ 3

= b³−a³ 3

F¨ur das Integral gelten die folgenden Regeln:

6.1.4 Satz. a) Sind f und g auf [a, b]stetig, so gilt f¨ur α∈R: Z b

a

f(x) +αg(x) dx=

Z b a

f(x)dx+α Z b

a

g(x)dx b) Istc∈(a, b), so gilt

Z b a

f(x)dx= Z c

a

f(x)dx+ Z b

c

f(x)dx Jede stetige Funktion hat eine Stammfunktion:

6.1.5 Hauptsatz. Istf : [a, b]−→Reine stetige Funktion, so gilt f¨ur die Funktion F(t) :=

Z t a

f(x)dx, a≤t≤b folgendes:

a) F ist auf [a, b] stetig und auf (a, b) stetig differenzierbar b) F⁰ =f auf (a, b).

c) Es gilt F(a) = 0.

Beweis. Es sei also t₀ ∈(a, b) ein beliebiger Punkt. Ist dann t∈(a, b), so gilt f¨urt > t₀:

F(t)−F(t0) = Z t

a

f(x)dx− Z t0

a

f(x)dx= Z t

t0

f(x)dx also

F(t)−F(t0)

t−t₀ −f(t₀)

= 1

t−t₀

Z t t0

(f(x)−f(t₀))dx

≤max{|f(x)−f(t₀)| | t₀ ≤x≤t}

und f¨urt < t0:

F(t)−F(t0) = − Z t0

a

f(x)dx− Z t

a

f(x)dx

=− Z t0

t

f(x)dx also

F(t)−F(t₀)

t−t₀ −f(t₀)

= 1

|t−t₀|

Z t0

t

(f(x)−f(t₀))dx

≤max{|f(x)−f(t₀)| | t≤x≤t₀} Da f stetig ist, geht

max{|f(x)−f(t0)| | x zwischen t und t0} −→0 wennt →t₀. Daraus folgt alles.

6.1.6 Hilfssatz. (1) Ist f : [a, b]−→R stetig und F eine Stammfunktion f¨ur f, so ist

Z b a

f(x)dx=F(b)−F(a) (2) Ist f stetig differenzierbar, so istRb

a f⁰(x)dx=f(b)−f(a).

Beweis. (1) Ist n¨amlich F₁(t) := Rt

af(x)dx und F irgendeine Stammfunktion zu f so ist F =F₁+C mit einer KonstantenC. Es gilt C=F(a)−F₁(a) =F(a). Nun folgt

Z b a

f(x)dx=F₁(b) = F(b)−C=F(b)−F(a) (2) Beachte, dassf Stammfunktion zu f⁰ ist.

Wir vereinbaren die

Notation. Istf stetig, so soll die Schreibweise Z

f(x)dx=F(x) +C

ausdr¨ucken, dass F eine Stammfunktion zu f ist. Das C ist eine frei w¨ahlbare Kon- stante.

6.1.7 Satz (Regeln). Sind f und g stetig differenzierbar,f, g : [a, b]−→R, so gilt Z b

a

f(x)g⁰(x)dx=f·g

b a−

Z b a

f⁰(x)g(x)dx Dabei ist

f ·g

b a

:=f(b)g(b)−f(a)g(a) (Partielle Integration)

Beweis. Es gilt f g⁰ = (f g)⁰ −f⁰g. Die Behauptung folgt durch Integration ¨uber [a, b].

Ein weiteres wichtiges Hilfsmittel zur Integralberechnung ist die folgende Umkeh- rung der Kettenregel:

6.1.8 Satz (Substitutionsregel). Ist die Funktion ϕ : [a, b] −→ [c, d] stetig und auf [a, b] stetig differenzierbar, wobei c=ϕ(a), d=ϕ(b), dann haben wir f¨ur jede stetige Funktion f : [c, d]−→R

Z d c

f(x)dx= Z b

a

f(ϕ(s))ϕ⁰(s)ds.

Beweis. Wir setzen G(t) = Rt

af ◦ϕ(s)ϕ⁰(s)ds und F(z) = Rz

c f(x)dx. Dann ist nach der Kettenregel

(F ◦ϕ)⁰(x) =F⁰(ϕ(x))ϕ⁰(x) =f(ϕ(x))ϕ⁰(x) =G⁰(x),

also sindG und F ◦ϕ beide Stammfunktionen von f◦ϕ·ϕ⁰, die in a eine Nullstelle haben, also ¨ubereinstimmen m¨ussen. Es folgt

Z d c

f(x)dx=F(d) = F(ϕ(b)) =G(b) = Z b

a

f(ϕ(s))ϕ⁰(s)ds.

6.2 Integralberechnung

Integrale mit partieller Integration Beispiel 1. Die Integrale Rb

acos²xdx und Rb

asin²xdx

Es gilt:

(sinxcosx)⁰ = sin⁰xcosx+sinxcos⁰x= cos²x−sin²x= cos²x−(1−cos²x) = 2 cos²x−1 Also folgt

cos²x= 1 2+ 1

2(sinxcosx)⁰ =F⁰(x) wobei

F(x) = 1 2x+ 1

2sinxcosx Man schreibt auch kurz statt dessen

Z

cos²xdx= 1 2x+ 1

2sinxcosx Ebenso erhalten wir wegen sin²x= 1−cos²x:

Z

sin²xdx= x 2 −1

2sinxcosx Beispiel 2. Die Integrale J_n:=Rπ/2

0 cos²ⁿxdx.

Mit partieller Intgration gewinnen wir eine Rekursionsformel f¨urJ_n.

J_n =

Z π/2 0

cos²ⁿxdx

=

Z π/2 0

cosx·cos²ⁿ⁻¹xdx= Z π/2

0

sin⁰x·cos²ⁿ⁻¹xdx

= sinx·cos²ⁿ⁻¹x

π/2 0

| {z }

=0

− Z π/2

0

sinx (cos²ⁿ⁻¹x)⁰

| {z }

=−(2n−1) cos²ⁿ⁻²xsinx

dx

= (2n−1) Z π/2

0

sin²xcos²ⁿ⁻²xdx= (2n−1) Z π/2

0

(1−cos²x) cos²ⁿ⁻²xdx

= (2n−1)Jn−1−(2n−1)J_n also

J_n= 2n−1

2n Jn−1 =· · ·= (2n−1)(2n−3)· · · · ·3·1

2n(2n−2)· · · · ·4·2 J₁ = (2n−1)(2n−3)· · · · ·3·1 2ⁿn!

π 4 Beispiel 3. Das Logarithmusintegral Rb

a lnxdx.

Nun schreiben wir Z b

a

lnxdx= Z b

a

1·lnxdx=xlnx

b a

− Z b

a

x(lnx)⁰dx=xlnx

b a

− Z b

a

x1

xdx=xlnx−x

b a

oder kurz:

Z

lnxdx=xlnx−x Beispiel 4. Das Integral I :=Rb

a

√1−x²dx f¨ur 0 ≤a < b ≤1.

Nun hilft partielle Integration

I = Z b

a

√

1−x²dx = x√ 1−x²

b a−

Z b a

−x²

√1−x²dx

= x√

1−x²

b a

− Z b

a

1−x²

√1−x²dx+ Z b

a

√ 1

1−x²dx

= x√ 1−x²

b a

−I+ Z b

a

√ 1

1−x²dx

= x√ 1−x²

b a

−I+ arcsin(x)

b a

Das liefert uns

I = 1 2x√

1−x²

b a

+1

2arcsin(x)

b a

bezw.

= Z √

1−x²dx= 1 2x√

1−x²+1

2arcsin(x) Beispiel 5. Integrale mit Exponentialterm:I_n =Rb

axⁿe^−xdx, mitn ≥0, ganzzahlig.

In= Z b

a

xⁿ(−e^−x)⁰dx=−xⁿe^−x

b

a+nIn−1

Beispiel 6. F¨ura, b >0 berechnen wir Z

e^−ax sin(bx)dx = −1

be^−axcos(bx)− a b

Z

e^−ax cos(bx)dx

= −1

be^−axcos(bx)− a

b² sin(bx)

−a² b²

Z

e^−ax sin(bx)dx

Somit ist Z

e^−ax sin(bx)dx =− 1

a²+b² be^−axcos(bx) +asin(bx) .

Integrale mit Substitionsregel

Beispiel 7. Stammfunktion zu tgx auf (−π/2, π/2) und ctgx auf (0, π). Hier gilt tgx= sinx/cosx=−cos⁰x

cosx =−(ln cosx)⁰ Ebenso folgt ctgx= (ln sinx)⁰.

Beispiel 8. Stammfunktion zu 1/sinxauf (0, π). Wir beachten, dass 1

sinx = 1

2 sin(^x₂) cos(^x₂) = 1 tg^x₂

1 2 cos^{2 x}₂ =

d

dxtg (x/2) tg (x/2) Wir finden so f¨ur 0< a < b < π/2:

Z b a

dx

sinx = ln tg (x 2)

b a. Beispiel 9. Das Integral Rβ

α 1

a+sinxdx mit a >1,0< α < β.

Wir schreiben sinx= 2 sin(^x₂) cos(^x₂) = 2tg (^x₂) cos²(^x₂) und _cos2¹(x/2) = 1 + tg²(^x₂).

So finden wir

Z β α

1

a+ sinxdx = Z β

α

1

a+ 2tg (^x₂) cos²(^x₂)dx

= Z β

α

1

a(1 + tg²(^x₂)) + 2tg (^x₂) · 1 cos²(^x₂)dx

= 2 Z βb

bα

1

a(1 +u²) + 2udu, mit αb= tg (α

2), βb= tg (β 2)

= 2 a

Z β^b

bα

1

(1 +u²) + 2^u_adu

= 2 a

Z β^b

bα

1

(u+¹_a)²+ 1−a⁻²du

= 2

√a²−1arctg ( a u+ 1

√a²−1)

βb αb

Beispiel 10. Das Integral

Z t 0

√ dx 1 +x².

Wir setzenx(s) = sinh(s). Dann ist x⁰(s) = cosh(s) und Z t

0

√ dx

1 +x² =

Z Arsinh (t) 0

x⁰(s)ds

p1 +x(s)² = Arsinh (t) Beispiel 11. Berechnung einer Stammfunktion zu f(x) =

√ 1+x²

x² . Wir schreiben x(u) = sinh(u) und finden

Z t α

f(x)dx =

Z Arsinh (t) Arsinh(α)

cosh²u sinh²udu

=

Z Arsinh (t) Arsinh(α)

1 + 1 sinh²u

du

= (u−ctgh (u))

Arsinh (t) Arsinh(α)

Damit haben wir gefunden Z √

1 +x²

x² dx = ln (x+√

1 +x²)−

√1 +x² x Beispiel 12. Das Integral

Z π/4 0

dθ

a²cos²θ+b²sin²θ, 0< a < b.

Diesmal schreiben wir den Integranden als 1

a²cos²θ+b²sin²θ = 1 ab

1 1 + _a^b22tg²θ

b acos²θ

Nun ist die Substitution ϕ(s) = ^b_atgθ erfolgreich. Wegen ϕ(π/4) =b/a wird Z π/4

0

dθ

a²cos²θ+b²sin²θ = 1 ab

Z π/4 0

ϕ⁰(θ)

1 +ϕ(θ)²dθ = 1 b

Z b/a 0

dt

1 +t² = 1

abarctg(b/a) Oder allgemeiner:

Z dθ

a²cos²θ+b²sin²θ = 1

abarctg(b atgθ)

Beispiel 13: Die Ziehkurve

Es seien d > 0 und A und P die Endpunkte einer Kette oder Stange der L¨ange d. Wenn dann A auf einer Geraden l¨auft, dann durchl¨auft P eine Kurve, welche als Ziehkurve bezeichnet wird.

Wir nehmen an, dass Aauf derx-Achse wandere. Die Koordinaten vonP nennen wir (x, f(x)).

A

P 0(d,0) Traktrix

P(x,f(x))

x b

Dann gilt f¨ur die Tangentensteigung:

f⁰(x) = −b x =−

√d²−x² x

Zusammen mit f(d) = 0 finden wir f(t) =

Z d t

√d²−x²

x dx

= Z d

t

p1−(^x_d)² x/d dx

= d Z 1

t/d

√1−u² u du Zur Berechnung des Integrals R1

c

√1−u²

u du substituieren wir u:=u(v) = sinv, u⁰(v) = cosv und beachten u(π/2) = 1, u(arcsinc) = c. Dann wird

Z 1 c

√1−u²

u du =

Z π/2 arcsinc

cos²v sinv dv

=

Z π/2 arcsinc

dv sinv −

Z π/2 arcsinc

sinvdv

= ln tg(v

2)

π/2 arcsinc

−cos(arcsinc)

= −ln (tg(1

2arcsinc))−√ 1−c² Nun ist aber

tg(2α) = 2tgα 1−tg²(α)

also l¨ost, wenn wir β = tg(2α) setzen, die Zahl y:= tgα die Gleichung 1−y² = 2y

β

Nun sei α= ¹₂arcsinc. Dann ist β = tg(arcsinc) = ^√_1−c^c ₂ und y= 1

c(1−√

1−c²) = c 1 +√

1−c² Setzen wir hierin c:=t/d, so folgt

f(t) = d·ln

d+√

d²−t² t

−√ d²−t²

Der Fall rationaler Funktionen

Gegeben sei eine rationale Funktion R(x) = ^P_Q(x)^(x) mit 2 Polynomen P und Q.

Nach Polynomdivision machen wir daraus

R(x) = p0(x) + P1(x) Q(x)

| {z }

=:R1(x)

mit Polynomen p₀ und P₁, wobei der Grad von P₁ kleiner als der Grad n von Q ist.

Partialbruchzerlegung und Integration einer rationalen Funktion Es k¨onnen verschiedene F¨alle auftreten:

Fall (1) Das Polynom Q zerf¨allt in Linearfaktoren, und zwar Q(x) =c(x−x₁)· ...·(x−x_n) mit paarweise verschiedenen x₁, ..., x_n. Dann lautet der Ansatz

R1(x) = A₁

x−x₁ +...+ A_n x−x_n und die Koeffizienten A_k k¨onnen durch

Ak := lim

x→x_k(x−xk)R1(x) berechnet werden. Dann wird

Z

R₁(x)dx=

n

X

k=1

A_kln|x−x_k|

Beispiele: (1) R(x) = _x3+7x²¹+7x−15.

Nun ist P₁ = 1 undQ(x) =x³+ 7x²+ 7x−15.

Es zeigt sich, dass Q(1) = 0. Mit Polynomdivision folgt daraus Q(x) = (x− 1)(x²+ 8x+ 15) Der Quadratterm ist zerlegbar alsx²+ 8x+ 15 = (x+ 3)(x+ 5). Die Partialbruchzerlegung von R ist nun durch den Ansatz

R(x) = 1

(x−1)(x+ 3)(x+ 5) = A₁

x−1 + A₂

x+ 3 + A₃ x+ 5 zu finden. Wir erhalten

A₁ = 1

24, A₂ =−1

8, A₃ = 1 12

also

R(x) = 1 24

1 x−1− 1

8 1

x+ 3 + 1 12

1 x+ 5

und Z

R(x)dx = 1

24ln|x−1| −1

8ln|x+ 3|+ 1

12ln|x+ 5|

Fall (2) Das PolynomQ zerf¨allt in Linearfaktoren f(x) = C(x−x1)^ν1 · · · · ·(x−xr)^νr In diesem Falle ist der Partialbruchansatz

R1(x) =

r

X

j=1 νj

X

m=1

A_j,m (x−x_j)^m

erfolgreich. Die Berechnung der Koeffizienten Aj,m geschieht nun mit der Formel A_j,m = 1

(ν_j−m)! lim

x→x_j

(x−x_j)^νjR₁(x)(νj−m)

Als Stammfunktion zu R₁ ergibt sich dann F₁(x) =

r

X

j=1

A_j,1ln|x−x_j|+

r

X

j=1 νj

X

m=2

1 1−m

A_j,m (x−x_j)^m−1 (2) Sei R(x) = _(x−1)^6x+73(x+2).

Jetzt wird der Ansatz R(x) = A

x+ 2 + B

x−1 + C

(x−1)² + D (x−1)³ gemacht.

1. Methode: Koeffitzientenvergleich.

Wir erhalten dann

R(x) = A(x−1)³+B(x+ 2)(x−1)²+C(x+ 2)(x−1) +D(x+ 2) (x−1)³(x+ 2)

Vergleich der Z¨ahler liefert

6x+ 7 =A(x−1)³+B(x+ 2)(x−1)²+C(x+ 2)(x−1) +D(x+ 2)

Setzen wir hierin x = −2 ein, folgt A = ₂₇⁵. Setzen wir x = 1, so folgt D = ¹³₃ . Mit x= 0 erhalten wir

− 5

27+ 2B−2C+26 3 = 7 also

2B−2C =−40

27, B −C =−20 27 Schließlich w¨ahlen wir noch x=−1 und finden

1 =−8A+ 4B −2C+D, 2B−C =−25 27 Somit folgt

B =− 5

27, C= 5 9 2. Methode: Wir verwenden die obige Formel:

A= lim

x→−2(x+ 2)R(x) = 6x+ 7 (x−1)³

_x=−2 = 5 27 D= lim

x→1(x−1)³R(x) = 6x+ 7 x+ 2

x=1 = 13 3 C = lim

x→1 (x−1)³R(x)0

=

6x+ 7 x+ 2

0

x=1 = 6(x+ 2)−(6x+ 7) (x+ 2)²

x=1 = 5 (x+ 2)²

x=1 = 5 9 und

B = 1 2lim

x→1 (x−1)³R(x)00

=− 5

(x+ 2)³

x=1 =− 5 27 Unser Resultat ist dann

R(x) = 5 27

1

x+ 2 − 5 27

1

x−1 + 5 9

1

(x−1)² + 13 3

1 (x−1)³ mit der Stammfunktion

F(x) = 5

27ln|x+ 2| − 5

27ln|x−1| − 5 9

1

x−1 − 13 6

1 (x−1)²

Fall (3) Angenommen,f habe in R keine Nullstelle. Dann muss der Gradn von f gerade sein. Weiter haben wir eine Darstellung

Q(x) =q₁(x)^k1 · · · · ·q_s(x)^ks

mit nullstellenfreien quadratischen Polynomenq₁, ..., q_sund Exponentenk₁, ..., k_s∈N.

In diesem Fall ist der Ansatz

s

X

i=1 ki

X

n=1

B_i,nx+C_i,n qi(x)ⁿ zu machen.

Beispiele. i) Sei etwa f(x) =x⁴−2x²−3x+ 12. Dann versuchen wir den Ansatz f(x) = (x²−αx+β)(x²+αx+δ)

Ausmultiplizieren ergibt

f(x) =x⁴+ (−α²+δ+β)x²+α(β−δ)x+βδ Es folgt durch Koeffizientenvergleich:

−α²+β+δ =−2, α(β−δ) = −3, βδ= 12

Wegen der letzteren Bedingung probieren wir β = 3, δ = 4. Es folgt dann wegen der mittleren Bedingung α = 3. Die erste Bedingung ist ebenfalls erf¨ullt. So finden wir

f(x) = (x²−3x+ 3)(x²+ 3x+ 4)

ii) Bei f(x) = x⁴+ 1 verfahren wir ¨ahnlich und finden mit dem Ansatz x⁴+ 1 = (x² +αx+β)(x²−αx+γ)

durch Koeffizientenvergleich α=√

2, β=γ = 1, also x⁴+ 1 = (x²+√

2x+ 1)(x²−√

2x+ 1) iii) R(x) = _x4−2x^2x22−x+3−3x+12. Wir machen den Ansatz

R(x) = Ax+B

x²−3x+ 3 + Cx+D x²+ 3x+ 4 und errechnen:

R(x) = (Ax+B)(x² + 3x+ 4) + (Cx+D)(x²−3x+ 3) x⁴ −2x²−3x+ 12

= (A+C)x³+ (3A+B −3C+D)x²+ (4A+ 3B+ 3C−3D)x+ 4B+ 3D x⁴−2x²−3x+ 12

Es entsteht das Gleichungssystem

A+C = 0, 3A+B−3C+D= 2, 4A+ 3B + 3C−3D=−1, 4B+ 3D= 3

Das f¨uhrt auf

6A+B +D= 2, A+ 3B−3D=−1, 4B+ 3D= 3 und dies wieder auf

19A+ 6B = 5, −18A+B =−3 mit L¨osungen

A= 23

127, B = 33

127, C =− 23

127, D= 83 127 iv) R(x) = 1/x⁴ + 1. Der Ansatz

1

x⁴+ 1 = Ax+B x²+√

2x+ 1 + Cx+D x²−√

2x+ 1 f¨uhrt durch Koeffizientenvergleich auf

A+C = 0, −√

2(A+C) +B+D= 0, B−D= 0, B+D= 1 Es folgt

A=−C = 1 2√

2, B =D= 1 2. Also wird

R(x) = 1 2

(1/√

2)x+ 1 x²+√

2x+ 1 − (1/√

2)x−1 x²−√

2x+ 1

!

Die Bestimmung von Stammfunktionen f¨ur die Terme Pi,n(x) = B_i,nx+C_i,n

q_i(x)ⁿ ist nun schwieriger.

Wir betrachten den Fall n= 1 eingehender. Das quadratische Polynom q_i hat die Form

q_i(x) =x²+ 2b_ix+c_i,

wobei, da q_i keine reellen Nullstellen haben sollte, D_i :=c_i−b²_i >0 gelten muss.

Wir sehen uns daher rationale Funktion der Form q(x) = ax+b

x²+ 2cx+d an, wobei D=d−c² >0.

Zun¨achst haben wir die Aufteilung q(x) = a

2

2x+ 2c

x²+ 2cx+d+ b−ac x²+ 2cx+d

Schreiben wir jetzt h(x) =x²+ 2cx+d, so wird der erste Term darstellbar als f₁(x) := a

2 h⁰(x)

h(x) und hat als Stammfunktion

F₁(x) = a

2lnh(x) Nun zum zweiten Term

f2(x) := b−ac x²+ 2cx+d Zun¨achst sehen wir, dass

h(x) = (x+c)²+D=D

x+c

√D 2

+ 1

! .

Es folgt

b−ac

h(x) = b−ac D

1

x+c√ D

2

+ 1

= b−ac

√ D

ϕ⁰(x) 1 + (ϕ(x))² mit

ϕ(x) = x+c

√ D . Diese Funktion hat die Stammfunktion

F₂(x) = b−ac

√D arctg(x+c

√D )

Nun zum Fall n ≥2. Wir beschr¨anken uns auf R_n(x) = 1

(1 +x²)ⁿ Es gilt

R_n(x) =Rn−1(x)− x 2

2x (1 +x²)ⁿ

und weiter mit partieller Integration Z x

2

2x

(1 +x²)ⁿdx=− 1 n−1

x 2

1

(1 +x²)ⁿ⁻¹ + 1 2

1 n−1

Z 1

(1 +x²)ⁿ⁻¹dx Also wird

Z

R_n(x)dx= 2n−3 2n−2

Z

R_n−1(x)dx+ x 2n−2

1 (1 +x²)ⁿ⁻¹ Beispiele: Es gilt

Z

R₂(x)dx= 1 2

Z

R₁(x)dx+x 2

1

1 +x² = 1

2arctgx+ x 2

1

1 +x² +C und

Z

R₃(x)dx = 3 4

Z

R₂(x)dx+x 4

1 (1 +x²)²

= 3

8arctgx+ 3x 8

1

1 +x² + x 4

1 (1 +x²)² Beispiel. R(x) = _(x2+4)(x¹²+6x+10). Nun probieren wir

R(x) = Ax+B

x²+ 4 + Cx+D x²+ 6x+ 10 Ausmultiplizieren und Vergleich der Z¨ahler ergibt dann

(A+C)x³+ (6A+B+D)x²+ (10A+ 6B+ 4C)x+ 10B+ 4D= 1

Wieder ist C = −A und D = −6A− B. Hieraus folgt B = −A und schließlich D=−5A und A=−₃₀¹ . Das f¨uhrt aufB =C = ₃₀¹, D = ¹₆. So erhalten wir

R(x) =− 1 30

x−1 x²+ 4 + 1

30

x+ 5 x²+ 6x+ 10 und weiter

Z

R(x)dx=− 1

60ln (x² + 4) + 1

60arctg (x 2) + 1

60ln (x²+ 6x+ 10) + 1

15arctg (x+ 3) Fall (4). Der allgemeine Fall einer rationalen FunktionR₁ = ^P_Q¹(x) ist eine Kom- bination der beiden F¨alle (1) und (2). F¨ur Qgilt eine Zerlegung

Q(x) =C(x−x1)^ν1 · · · · ·(x−xr)^νrq1(x)^k1 · · · · ·qs(x)^ks

mit reellen Nullstellenx1, ..., xrund nullstellenfreien quadratischen Polynomenq1, ..., qs. Ist Grad (P₁) kleiner Grad (Q), so muss der Partialbruchansatz lauten:

R₁(x) =

r

X

j=1 νj

X

m=1

A_j,m (x−xj)^m +

s

X

i=1 ki

X

n=1

B_i,nx+C_i,n qi(x)ⁿ Beispiele a) Die Funktion R(x) = _(x−1)^2x+32(x²+1) wird dargestellt als

R(x) = A

x−1+ B

(x−1)² +Cx+D x²+ 1

= A(x−1)(x²+ 1) +B(x²+ 1) + (Cx+D)(x−1)² (x−1)²(x²+ 1)

(6.2.1) Vergleich der Z¨ahler ergibt

(1) 2x+ 3 =A(x−1)(x²+ 1) +B(x²+ 1) + (Cx+D)(x−1)² Mit x= 1 erhalten wir 2B = 5, also B = ⁵₂. Leiten wir (1) ab, so folgt (2) 2 = A(x²+ 1) + 2A(x−1)x+ 2Bx+ 2(x−1)(Cx+D) +C(x−1)² Setzen wir darin x= 1 ein, finden wir 2A+ 2B = 2, alsoA=−3/2.

Nun w¨ahlen wir x= 0 und setzen ein in (1). Es folgt 3 =−A+B+D = 4 +D, also D=−1.

Einsetzen von x= 0 in (2) liefert uns 2 =A−2D+C = ¹₂+C und damitC = ³₂. Insgesamt finden wir

R(x) = −3 2

1 x−1+ 5

2 1 (x−1)² +

3 2x−1 x²+ 1

und Z

R(x)dx=−3

2ln|x−1| − 5 2

1 x−1 +3

4ln (x² + 1)−arctgx b) Sei R(x) = 3x+ 5

x²(x²+ 4x+ 6). Nun muss der Ansatz R(x) = A

x + B

x² + Cx+D x²+ 4x+ 6

gemacht werden. Das f¨uhrt zu

R(x) = Ax(x²+ 4x+ 6) +B(x²+ 4x+ 6) +x²(Cx+D) x²(x²+ 4x+ 6)

= Ax³+ 4Ax²+ 6Ax+Bx²+ 4Bx+ 6B +Cx³+Dx² x²(x²+ 4x+ 6)

= (A+C)x³+ (4A+B+D)x²+ (6A+ 4B)x+ 6B x²(x²+ 4x+ 6)

Es folgt B = ⁵₆, A=−₁₈¹, C = ₁₈¹ , D =−¹¹₁₈ und damit R(x) =− 1

18x+ 5 6x² + 1

36

2x+ 4 x²+ 4x+ 6 Wir integrieren dies und finden

Z

R(x)dx=− 1

18ln|x| − 5 6x + 1

36ln (x²+ 4x+ 6)− 13 18√

2arctg

x+ 2

√2

6.3 Numerische Integration

Es kommt durchaus vor, dass man zu einer stetigen Funktion keine Stammfunktion in geschlossener Form anschreiben kann, etwa bei

Z 5 1

sinx x dx,

Z 5 2

1 lnxdx,

Z 1 0

e^−x2dx, ....

In diesem Fall helfen geometrisch motivierte N¨aherungsverfahren weiter. Die Idee ist, eine gegebene stetige Funktion f : [a, b] −→ R durch eine einfacher gebaute Funktion g : [a, b] −→ R zu ersetzen, deren Integral explizit auszurechnen ist und dann den Fehler

Z b a

f(x)dx− Z b

a

g(x)dx zu kontrollieren.

Eine numerische N¨aherungsformel ist die Trapezregel, bei der g st¨uckweise linear ist, d.h. der Graph von g ein Polygonzug ist.

Sei im Folgenden immer f : [a, b]−→R stetig.

Die Trapezregel

Wir zerlegen das Intervall [a, b] inngleiche Teilintervalle der L¨angel_n:= (b−a)/n.

Die Teilpunkte seien x_j =a+j·l, wobei j = 0, ..., n. Das Intervall I_j definieren wir alsI_j := [x_j, x_j+1], wo j = 0, ..., n−1. Ferner setzen wir:

f_j :=f(x_j), und g_j(x) = f_j + f_j+1−f_j

x_j+1−x_j(x−x_j) =f_j+l_n⁻¹(f_j+1−f_j)(x−x_j) Wir beachten, dass g_j(x_j+1) = f_j+1 =g_j+1(x_j+1). Damit wird die Funktion

g_n^T(x) :=g_j(x), wenn x∈I_j, j = 0, ...., n−1 auf ganz [a, b] stetig. Wir erhalten

Z xj+1

xj

gj(x)dx=fjln+l_n⁻¹(fj+1−fj)l²_n 2 = l_n

2 (fj+fj+1) Summation ¨uber allej = 0, ..., n−1 liefert:

Z b a

g_n^T(x)dx =

n−1

X

j=0

Z xj+1

xj

gj(x)dx

= l_n 2

n−1

X

j=0

f_j+1+f_j

!

= l_n

2 f₀+f_n+ 2

n−1

X

j=1

f_j

!

Ist f nun sogar 2-mal stetig differenzierbar, k¨onnen wir eine Fehlerabsch¨atzung vornehmen. Dazu ben¨otigen wir das folgende

6.3.1 Hilfssatz. Ist f : [a, b] −→ R eine auf (c, d) ⊃ [a, b] zweimal stetig differen- zierbare Funktion, so seig(x) :=f(a) +^f(b)−f_b−a^(a)(x−a)die Sekantenfunktion. Es gibt dann zu jedem x∈(a, b)ein t∈(a, b) mit

f(x)−g(x) = 1

2f⁰⁰(t)(x−a)(x−b)

6.3.2 Satz (Trapezregel). Ist f : [a, b]−→R auf einem [a, b] enthaltenden Intervall 2-mal stetig differenzierbar, so gilt die Fehlerabsch¨atzung:

Z b a

f(x)dx− Z b

a

g_n^T(x)dx

≤(b−a)· l_n² 12

maxI |f⁰⁰|

Beweis. Mit dem vorherigen Lemma finden wir ein f¨ur jedes x ∈ (xj, xj+1) ein t_j(x)∈I_j mit

f(x)−g_j(x) = f⁰⁰(t_j(x))

2 (x−x_j)(x−x_j+1) Das bedeutet:

|f(x)−g_j(x)| ≤ 1 2

maxI |f⁰⁰|

(x−x_j)(x_j+1−x) Integrieren wir ¨uber I_j, so folgt:

Z xj+1

xj

f(x)dx− Z xj+1

xj

g_n^T(x)dx

≤

Z xj+1

xj

|f(x)dx−g^T_n(x)|dx

=

Z xj+1

xj

|f(x)dx−g_j(x)|dx

≤ 1 2

max

I |f⁰⁰|Z xj+1

xj

(x−x_j)(x_j+1−x)dx

= l³_n 12

max

I |f⁰⁰| denn es gilt

Z xj+1

xj

(x−x_j)(x_j+1−x)dx= Z ln

0

t(l_n−t)dt=l_n³ Z 1

0

t(1−t)dt= l³_n 6. Summieren wir alles ¨uber j = 0, ..., n−1, folgt

Z b a

f(x)dx− Z b

a

g_n^T(x)dx

=

n−1

X

j=0

Z xj+1

xj

f(x)dx− Z xj+1

xj

g_n^T(x)dx

!

≤

n−1

X

j=0

Z xj+1

xj

f(x)dx− Z xj+1

xj

g_n^T(x)dx

≤ nl³_n 12

max

I |f⁰⁰|

= (b−a)l²_n 12

max

I |f⁰⁰|

Beispiel. Berechnung von ln 2 auf 3 Kommastellen genau.

Wir benutzen, dass ln 2 =R1

0 f(x)dx, wobeif(x) = 1/1 +x.

Bei n = 10 St¨utzstellen haben wir ln = 0.1, und folgende Tabelle:

4 0.4 0.714285 5 0.5 0.666667 6 0.6 0.625 7 0.7 0.588235 8 0.8 0.555555 9 0.9 0.526315 10 1 0.5

P9

j=1f_j =6.187714032 Als N¨aherungswert ergibt sich nun

w_n= 1

2n f₀+f_n+ 2

9

X

j=1

f_j

!

= (6.187714032 + 1.5)/20 = 0.693771.

Dabei sind die ersten 3 Kommastellen korrekt. Denn ln 2 = 0.693147.... Die Fehler- absch¨atzung liefert hier wegen max_[0,1]|f⁰⁰|= 2 den Wert 1/6n² = 1/600.

Bei n = 20 erhalten wirwn= 0.693303 mit Fehler <1/2400 und bei n= 50 folgt w_n= 0.69317 und der Fehler ist <1/15000.

Berechnung von π

Wir arbeiten mit der Funktion f(x) = _1+x¹ 2 auf dem Intervall [0,1].

j x_j f_j

1 0.05 0.997506 2 0.1 0.990099 3 0.15 0.977995 4 0.2 0.961538 5 0.25 0.941176 6 0.3 0.917431 7 0.35 0.890869 8 0.4 0.862069 9 0.45 0.831601 10 0.5 0.8 11 0.55 0.767754 12 0.6 0.735294 13 0.65 0.702988 14 0.7 0.671141 15 0.75 0.64 16 0.8 0.609756 17 0.85 0.580552 18 0.9 0.552486 19 0.95 0.525624

20 1 0.5

P19

j=1f_j = 7.09981

Als N¨aherungswert f¨urπ ergibt sich nun w= 4

40 f₀+f₂₀+ 2

19

X

j=1

f_j

!

= 31.4118/10 = 3.141 Die ersten 3 Nachkommastellen sind korrekt.

Anwendungen der Differential-und Integralrechnung

7.1 Ebene Kurven

Definition. Ist I ⊂ R ein Intervall, so bezeichnen wir als parametrisierte Kurve ein Paarα(t) =

x(t) y(t)

stetig differenzierbarer Funktionen, welche aufI definiert sind.

Wir nennen α bei t0 ∈ I regul¨ar, wenn α⁰(t0) :=

x⁰(t0) y⁰(t₀)

nicht der Nullvektor ist. Man nennt α auf I regul¨ar, wenn α⁰ keine Nullstelle auf I hat.

7.1.1 Beispiele ebener Kurven

1) Die Gerade durch P~ in Richtung~v 6=~0 ist darstellbar durch α(t) = P~ +t~v, I =R

2) Der Kreis um M~ mit Radius R wird beschrieben durch α(t) = M~ +R

cost sint

, I = [0,2π]

29

3) Die Neilsche Parabel α(t) = (t², t³), definiert auf I = R ist bei t = 0 nicht regul¨ar. Hier ist das Bild

0.5 1 1.5 2

-2 -1 1 2

4) DieEllipsemit BrennpunktenAundBist der geometrische Ort aller derjenigen Punkte, bei denen die Summe der Abst¨ande vonAund vonB einen konstanten Wert 2a besitzt. Legen wir das Koordinatensystem so fest, dass diese beiden Brennpunkte auf der x-Achse liegen, und dass A =

−d 0

, B =

d 0

, so wird die Ellipse durch α(t) =

acost bsint

, I = [0,2π] parametrisiert, wobei a > b > 0 und d=√

a²−b².

Ist n¨amlich (x, y) ein Punkt der Ellipse, so haben wir k

x−d y

k+k

x+d y

k= 2a , also

k

x−d y

k= 2a− k

x+d y

k. Das quadrieren wir und finden

(x−d)²+y² = (x+d)²+y²+ 4a²−2ap

(x+d)²+y²

Das ist mit

4(d x+a²) = 4ap

(x+d)²+y²

gleichwertig. K¨urzen wir durch 4 und quadrieren nochmals, folgt

d²x²+a⁴ + 2a²dx=a²((x+d)²+y²) =a²x²+ 2a²dx+a²d²+a²y² Ds zusammen mit b²+d² =a² ergibt

b²x²+a²y² =a⁴−a²d² =a²b² Division durch a²b² liefert

x² a² + y²

b² = 1 Diese Gleichung wird durch

x(t) = acost, y(t) = bsint erf¨ullt.

Hier ist das Bild dazu

-4 -2 2 4

-3 -2 -1 1 2 3

Sicher ist α⁰ ohne Nullstellen.

5) DieHyperbelmit BrennpunktenAundB ist der geometrische Ort aller derjeni- gen Punkte, bei denen die Differenz der Abst¨ande vonAund vonB einen konstanten

Wert 2a besitzt.

-3 -2 -1 1 2 3

-2 -1 1 2

Ihre Punkte (x, y) erf¨ullen die Gleichung x² a² − y²

b² = 1

Die Parametrisierung f¨ur ihre ¨Aste ist daher allgemein

α₊(t) = (acosht, bsinht), α−(t) = (−acosht, bsinht) mit I =R.

Ist 2d der Abstand der beiden Brennpunkte voneinander, so gilt d²+b² =a². 6) Die Parabel.

Gegeben sei die Gerade L = {y = y₀} und der Punkt F~ = 0

z₀

mit z₀ > y₀. Dann ist die MengeP aller Punkte (x, y), deren Abstand vonF~ gleich ihrem Abstand zur Geraden List, durch die Gleichung

|y−y₀|=p

x²+ (y−z₀)² gekennzeichnet. Quadrieren ergibt

y²−2yy0+y²₀ =x²+ (y−z0)² =x² +y² −2yz0+z₀² oder

2(z₀−y₀)y=x²−y²₀, y = x²−y²₀ 2(z₀−y₀)

Hier ist das (wohlbekannte) Bild ( mit y₀ =−1, z₀ = 2 ):

-3 -2 -1 1 2 3

-1 -0.5 0.5 1

7) Die logarithmische Spiraleist parametrisiert durch α(t) =ae^bt

cost sint

, I =R

Es gilt dann

α⁰(t) =ae^bt

b

cost sint

+

−sint

cost 6=~0

8) Zykloiden. Gegeben seien 2 konzentrische Kreise mit Radien a und b, die sich simultan bewegen sollen. Der Kreis mit Radius a rolle auf der x-Achse ab. Auf dem Rand des Kreises mit Radiusbfixieren wir einen PunktP. Dann beschreibt der Punkt beim Abrollen des Kreises mit RadiusaeineZykloide. Sie ist regul¨ar, wenna 6=b und hat nicht-regul¨are Punkte f¨ura =b, wenn t Vielfaches von 2π ist.

Hier sind 3 Beispiele, und zwar f¨ur a > b, a=b und a < b.

-5 5 10 15

1.5 2 2.5 3

-2 2 4 6 8

0.5 1 1.5 2

-2 2 4 6 8

-1 1 2 3

Die Parametrisierung der Zykloide ist α(t) =

0 a

+at

1 0

+b

cos(t− ^π₂) sin(t− ^π₂)

=

at−bsint a−bcost

9) Die Zissiode des Diokles (ca. 200 v. Chr.)

Im Zusammenhang mit dem Versuch, das Problem der Kubusverdoppelung geo- metrisch zu l¨osen studierte Diokles die folgende Kurve:

Gegeben sei ein Kreis mit Radius a >0 und ein fester PunktB auf diesem Kreis.

Mit T bezeichnen wir die Tangente durch B an diesen Kreis. Auf dem Kreis liegt

gegen¨uber zu B der PunktA. IstP 6=A ein beliebiger Punkt auf dem Kreis, so gibt es einen SchnittpunktQ(P) zwischen der TangentenT und der Geraden durchAund P. Wir betrachten jetzt zuP denjenigen Punkt S(P) auf der Geraden durch A und P, dessen Abstand zum Punkt A ¨ubereinstimmt mit dem Abstand von P zu Q(P).

Wandert P auf dem Kreis, so durchl¨auft S(P) die nach Diokles benannte Kissiode.

Sie hat ihren Namen daher, dass ihre Form der des Randes eines Efeublattes ¨ahnelt.

(Kissos ist das griechische Wort f¨ur Efeu).

Zur Parametrisierung der Kissiode:

A B

P

Q(P) S(P)

Es seiA= (−a,0) undB = (a,0). Die Koordinaten vonS(Q) seien (x, y) und die von P nennen wir (x,e y). Ist danne Q= (a, y_Q), so haben wir

(1) y_Q

2a = y

x+a = ye

xe+a (Strahlensatz)

(2) (y_Q−y)e²+ (a−ex)² = (a+x)²+y² (Definition von S(P) ) und

(3) ex²+ye² =a² (Annahme ¨uber P ) Aus (1) folgty_Q−ey= a−xe

a+xeyeund zusammen mit (2) (a−x)e ²

( ye

a+xe)²+ 1

= (a+x)² +y² Wieder mit (1) folgt daraus

(a−ex)²

( y

a+x)²+ 1

= (a+x)²+y²,

was (a−x)e ² = (a+x)² impliziert. Wegen −a < x < a muss dann x =−ex sein. Das in (1) eingesetzt liefert ye= a−x

a+xy. In Verbingung mit (3) erhalten wir dann (a−x

a+x)²y² =ye² = (a−x)(ae +ex) = (a−x)(a+x) Die Punkte (x, y) auf der Kissiode erf¨ullen somit die Gleichung

(a−x)·y² = (a+x)³ Das erm¨oglicht die Konstruktion von √³

2. Dazu sei M~ = (0,^a₂). Die Gerade durch B~ und M~ trifft die Kissiode in einem Punkt P~₀ = (x₀, y₀). Dann haben wir

y₀

a−x₀ = 1 2 also a−x₀ = 2y₀. Das bedeutet aber, dass

(a+x₀ y0

)³ = 2. Man beachte, dass man nun ^a+x_y ⁰

0 mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

Nehmen wir an, es sei P = (a cost, asint), so liefert α(t) =

−a cost a^1−cos_1+cos^t_t sint

, −π < t < π eine Parametrisierung der Kissiode.

7.1.2 Polarkoordinatendarstellung bei Kurven

Wir vereinbaren folgendes:

Definition. Zu jedem Punkt~x∈R²\ {~0} findet man ein t∈[0,2π), so dass

~x=k~xk ·e(t),~ e(t) :=~

cost sint

Das er¨offnet die M¨oglichkeit, durch Wahl eine differenzierbaren Funktionr:I −→R durch

α(t) =r(t)e(t)~

eine differenzierbare Kurve zu definieren. Es ist dann kα(t)k=|r(t)|.

Beispiele: 1) Der Kreis um den Nullpunkt: Hier istrkonstant gleich dem Radius.

2) Die logarithmische Spirale: Hier ist r(t) = ae^bt.

3) Die Ellipse mit Zentrum im Nullpunkt: Nun gilt r(t) =p

a²+ (b²−a²) sin²t 4) DieLemniskateoderCassinischeKurve ist definiert als geometrischer Ort aller Punkte, bei denen das Produkt der Abst¨ande von 2 gegebenen Punkten, die wie- der Brennpunkte heißen, einen konstanten Wert a² hat. Sind (−f,0) und (f,0) die Brennpunkte, so erf¨ullen die Punkte~x auf der Lemniskate die Gleichung

(x²+y²)²−2f²(x²−y²) =a⁴−f⁴

Machen wir den Ansatz x(t) =r(t) cost, y(t) =r(t) sint, so wird daraus

r(t)²−f²cos(2t)2

=a⁴−f⁴sin²(2t)

Das ParameterintervallI muss also so gew¨ahlt werden, dass|sin(2t)| ≤ _f^a22 bleibt. F¨ur t∈I ist dann

r(t)² =f²cos(2t) + q

a⁴−f⁴sin²(2t)

F¨ur a > f kann I = [0,2π] gew¨ahlt werden, ist a ≤ f, muss I so klein gemacht werden, dass zus¨atzlich |t| ≤ ^π₄ in I ist. Dann wird die Lemniskate durch

α(t) = r

f²cos(2t) + q

a⁴−f⁴sin²(2t)e(t)~ parametrisiert.

Sie sieht im Fall a > f so aus:

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

und im Fall a=f so:

-1 -0.5 0.5 1

-0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3

Wie berechnen wir α⁰ bei parametrisierten Kurven in Polardarstellung?

Aus α(t) = r(t)e(t) folgt mit der Produktregel~ α⁰(t) = r⁰(t)e(t) +~ r(t)e(t)~ _⊥, wobei e(t)~ _⊥ =

−sint cost

. Es gilt he(t), ~~ e(t)_⊥i = 0, so dass e(t) und~ e(t)~ _⊥ f¨ur alle t linear unabh¨angig sind. Wenn also r(t) 6= 0 oder r⁰(t) 6= 0, so ist α an der Stelle t regul¨ar.

7.1.3 Tangente und Normale

7.1.1 Satz. Ist α : I −→ R² eine auf dem Intervall I definierte differenzierbare Kurve und t0 ∈I, so dass α⁰(t0) :=α⁰(t0)6=~0, so gilt:

a) Es gibt ein IntervallJ := (t0−δ, t0+δ), so dassα(t)6=α(t0)f¨ur allet ∈J\{t0}.

b) Die Sekanten

S_t:=α(t₀) +R

α(t)−α(t₀)

zuα durch α(t) und α(t₀)streben mit t−→t₀ gegen die Gerade T_α,t0 :=α(t₀) +Rα⁰(t₀)

Diese ber¨uhrt α an der Stelle α(t₀) und wird daher als die Tangente an α in α(t₀) bezeichnet.

Beweis. a) Ist etwa x⁰(t0) > 0, so gilt auf einem kleinen Interval J um t0, dass x⁰(t)>0 f¨ur allet ∈J. Es folgt, dass

x(t)−x(t₀) =± Z t

t0

x⁰(s)ds6= 0

wennt 6=t₀. Analog argumentiere man, wenn x⁰(t₀)<0, oder wenn y⁰(t₀)6= 0 ist.

b) Ist t∈J\ {t0}, so haben wir S_t =α(t₀) +R

α(t)−α(t₀) kα(t)−α(t₀)k

α(t)

α(t0)

F¨ur den Richtungsvektor~v(t) dieser Sekanten gilt

~

v(t) = α(t)−α(t₀) kα(t)−α(t₀)k =ε_t

α(t)−α(t₀) t−t0

k^α(t)−α(t_t−t ⁰⁾

0 k