Wirtschaftsmathematik Vorkurs Sabine H¨olscher, M.Sc. 27. Februar 2021

(1)

Wirtschaftsmathematik

Vorkurs

Sabine H¨olscher, M.Sc.

27. Februar 2021

(2)

Organisatorisches

Ansprechpartner f¨ur die Veranstaltung:

Sabine H¨olscher, M.Sc.

s.hoelscher@uni-hohenheim.de

Sabine H¨olscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 2 / 109

(3)

Organisatorisches

Literaturempfehlung:

Purkert, Walter (2014): Br¨uckenkurs Mathematik f¨ur Wirtschaftswissenschaftler, 8. Auflage, 978-3-8348-1932-1

(4)

Gliederung der Veranstaltung (1/2)

Kapitel 1 und 2 sollen im Vorkurs behandelt werden:

1 Das Rechnen mit reellen Zahlen Grundregeln des Rechnens

Rechnen mit Ungleichungen und Betr¨agen

2 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Potenzen

Wurzeln Logarithmen

Weitere Typen von Gleichungen

3 Funktionen Grundbegriffe

Elementare Funktionen Eigenschaften von Funktionen Beispiele ¨okonomischer Funktionen

(5)

Gliederung der Veranstaltung (2/2)

4 Differentialrechnung

Begriff und Bedeutung der Ableitung

Differentationsregeln und h¨ohere Ableitungen

Untersuchung des Verhaltens von Funktionen mittels ihrer Ableitungen

Anwendungen in den Wirtschaftswissenschaften

5 Finanzmathematik

Zahlenfolgen und Reihen

Proportionen und Prozentrechnung Zins- und Zinseszinsrechnung Renten- und Tilgungsrechnung Kurs- und Renditenrechnung

(6)

2 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen

3 Funktionen

5 Finanzmathematik

(7)

Der Bereich der reellen Zahlen

Zahlen k¨onnen je nach Art einem oder mehreren Zahlenbereichen zugeordnet werden

Zahlenbereiche sind Mengen, die Zahlen einer Sorte enthalten Wir unterscheiden zwischen nat¨urlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen

(8)

Der Bereich der reellen Zahlen

Nat¨urliche Zahlen N

I Alle positiven Zahlen sowie die Null

I N={0,1,2,3, ...}

Ganze Zahlen Z

I Nat¨urliche Zahlen sowie negative Zahlen

I Z={...,−3,−2,−1,0,1,2,3, ...}

Rationale ZahlenQ

I Ganze Zahlen sowie alle Br¨uche aus ganzen Zahlen

I Q={^a_b |a sei eine ganze Zahl, b sei eine nat¨urliche Zahl undb6= 0}

Reelle Zahlen R

I Rationale Zahlen sowie irrationale Zahlen

I Irrationale Zahlen:

F K¨onnen nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden

F Unendlich lange Dezimalzahlen, z.B.√

2 = 1,4142...

I Reelle Zahlen umfassen somit alle positiven und negativen Bruchzahlen sowie alle Wurzeln

(9)

Rechenregeln

Mit den reelen Zahlen Rsind die vier Grundrechenarten (mit Ausnahme der Division durch Null) uneingeschränkt durchführbar Es existieren einige Gesetzmäßigkeiten, die für das sichere Rechnen bekannt sein müssen, dazu zählen insbesondere folgende Gesetze:

I Kommutativgesetz

I Assoziativgesetz

I Distributivgesetz

(10)

Kommutativgesetz

Auch Vertauschungsgesetz genannt Kommutativgesetz der Addition:

a+b=b+a (1)

Kommutativgesetz der Multiplikation:

a·b=b·a (2)

Es ist gleichg¨ultig, in welcher Reihenfolge man eine Addition oder Multiplikation vornimmt

(11)

Kommutativgesetz

1 x+y+a+ 5 = 5 +x+a+y =...

2 Das Kommutativgesetz wird h¨aufig zum Zusammenfassen

gleichnamiger Terme verwendet: 2 +x+a+ 5 +a+ 3x= 4x+ 2a+ 7

3 cde =dec =ecd

(12)

Assoziativgesetz

Assoziativgesetz der Addition:

(a+b) +c =a+ (b+c) (3)

Assoziativgesetz der Multiplikation:

(a·b)·c =a·(b·c) (4) Bei drei reellen Zahlen ist gleichgültig, ob man zuerst die ersten beiden addiert und dann die dritte hinzufügt oder ob man die erste zur vorher bestimmten Summe der beiden letzten addiert (das gleiche gilt für die Multiplikation)

Bei Addition und Multiplikation k¨onnen Klammern somit beliebig gesetzt werden

(13)

Distributivgesetz

Distributivgesetz:

a·(b+c) =a·b+a·c (5) Verbindung zwischen den Operationen Addition und Multiplikation Regel f¨ur das Multiplizieren eines Faktors mit einer Summe

Der Faktor muss mit jedem Glied der Summe multipliziert werden und die entstehenden Produkte m¨ussen addiert werden

(14)

Ausmultiplizieren

Das Ausmultiplizieren erfolgt auf der Basis des Distributivgesetzes Beim Ausmultiplizieren zweier in Klammern stehender Summen muss man jedes Glied der einen Klammer mit jedem Glied der anderen Klammer multiplizieren und alle so entstehenden Produkte addieren

(a+b)·(c+d) =ac +ad+bc+bd (6)

(15)

Ausklammern

Wenn ein Faktor in jedem Glied einer Summe auftritt, so kann dieser Faktor ausgeklammert werden.

ab+ac =a(b+c) (7)

(16)

Vorzeichenregeln

Zu jeder Zahl a kann man die zugeh¨orige entgegengesetzte Zahl -a finden

Die Summe einer Zahl und ihrer entgegengesetzten Zahl ergibt gerade Null

a+ (−a) = 0 (8)

Es gelten folgende Vorzeichenregeln:

−(−a) =a (9)

−a= (−1)·a=a·(−1) (10)

(−a)·b=a·(−b) =−(ab) =−ab (11)

(17)

Ubungsaufgaben zu den Rechengesetzen ¨

Siehe ¨Ubungsskript

(18)

Binomische Formeln

Erste binomische Formel:

(a+b)² = (a+b)(a+b) =a²+ab+ab+b²

(a+b)² =a²+ 2ab+b² (12)

Zweite binomische Formel:

(a−b)²=a²−2ab+b² (13) Dritte binomische Formel:

(a+b)(a−b) =a²−b² (14)

(19)

Vorzeichenregeln bei Klammerausdr¨ ucken

Wird eine geklammerte Summe subtrahiert, so kann man die

Klammer weglassen, muss aber bei jedem Summanden das Vorzeichen umkehren

−(a+b) =−a−b (15)

−(a−b) =−a+b (16)

−(−a+b) =a−b (17)

(20)

Ubungsaufgaben zu Binomischen Formeln, ¨ Klammerausdr¨ ucken und Vorzeichenregeln

(21)

Bruchrechnung: Multiplikation und Division von Br¨ uchen

Man multipliziert Br¨uche, indem man die Z¨ahler und Nenner jeweils multipliziert:

a b ·c

d = ac

bd (18)

Man dividiert einen Bruch durch einen zweiten Bruch, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert:

a b c d

= a b ·d

c = ad

bc (19)

(22)

Bruchrechnung: Multiplikation von Br¨ uchen mit einer Zahl

Man multipliziert einen Bruch mit einer Zahl, indem man den Zähler mit dieser Zahl multipliziert und den Nenner unverändert lässt:

a· c d = ac

d (20)

Die Regel kann auch von rechts nach links gelesen werden: man kann einen Faktor aus dem Z¨ahler eines Bruches vor den Bruch schreiben (benutzt man z.B. zum Ausklammern)

(23)

Division von Br¨ uchen durch eine Zahl

Man dividiert einen Bruch durch eine Zahl, indem man den Nenner mit dieser Zahl multipliziert und den Zähler unverändert lässt:

a b :c =

a b

c = a

bc (21)

Man dividiert eine Zahl durch einen Bruch, indem man die Zahl mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert:

a: c d = a

c d

=a·d c = ad

c (22)

(24)

Br¨ uche k¨ urzen

Hat ein Bruch im Z¨ahler und Nenner einen gemeinsamen Faktor, so kann dieser Faktor weggelassen werden:

ac bc = a

b (23)

Das heißt: in einem Bruch kann man Z¨ahler und Nenner mit demselben Faktor multiplizieren, ohne den Wert des Bruches zu ver¨andern

(25)

Vorzeichenregeln f¨ ur Br¨ uche und Erweitern mit -1

Die erste Vorzeichenregel ergibt sich aus den Regeln zur Multiplikation von Br¨uchen mit einer Zahl:

−a

b = (−1)·a

b = (−1)a b = −a

b (24)

Durch die Erweiterung mit (-1) erh¨alt man weitere Vorzeichenregeln:

−a

b = (−1)(−a) (−1)b = a

−b (25)

a

b = (−1)(a) (−1)b = −a

−b (26)

(26)

Addition und Subtraktion gleichnamiger Br¨ uche

Gleichnamige Brüche sind Brüche, die den gleichen Nenner haben Gleichnamige Brüche werden addiert oder subtrahiert, indem man ihre Zähler addiert bzw. subtrahiert und den gleichnamigen Nenner

unver¨andert l¨asst.

a c + b

c = a+b

c (27)

a c − b

c = a−b

c (28)

(27)

Addition und Subtraktion ungleichnamiger Br¨ uche

Ungleichnamige Br¨uche sind Br¨uche, die nicht den gleichen Nenner haben

Addition und Subtraktion ungleichnamiger Br¨uche, indem die Br¨uche gleichnamig gemacht werden

Br¨uche k¨onnen durch passendes Erweitern gleichnamig gemacht werden

a b + c

d = ad bd + bc

bd = ad+bc

bd (29)

(30)

Analog wird bei mehr als zwei Br¨uchen verfahren:

a x −b

y −c

z = ayz−bxz−cxy

xyz (31)

(28)

Addition und Subtraktion ungleichnamiger Br¨ uche

Oft ist es nicht g¨unstig, als Hauptnenner das Produkt aller

vorkommenden Nenner zu wählen, weil dadurch der Rechenaufwand unnötig vergrößert wird

F¨ur die Bildung des Hauptnenners merken wir uns:

I Man sucht einen Ausdruck, in dem alle beteiligten Nenner als Faktoren vorkommen

I Erweitert wird ein bestimmter Bruch der zu berechnenden Summe oder Differenz dann gerade mit dem Teil des Hauptnenners, der den Nenner des zu behandelnden Bruchs zum Hauptnenner erg¨anzt

(29)

Ubungsaufgaben zur Bruchrechnung ¨

(30)

Umformen von Gleichungen: Lineare Gleichungen

Terme

Einen Ausdruck in allgemeinen Zahlen bzw. in Variablen nennt man einen Term

Beispiele f¨ur Terme:

I Konkrete Zahlen: 16,−5,3

I a+b,y−7,(a−b)²

Mit Termen, die nicht f¨ur alle Werte der vorkommenden Variablen sinnvoll sind, darf man nur operieren, wenn man die Werte oder Wertekombinationen, f¨ur die der Ausdruck sinnlos wird, ausschließt

I Beispielsweise macht der folgende Term nur Sinn, wenn die Zahl 2 ausgeschlossen wird:

x−y

x²−4 (32)

(31)

Umformen von Gleichungen: Lineare Gleichungen

Gleichungen

Eine Gleichheit von zwei Termen T1 und T2 nennt man Gleichung:

T₁ =T₂ (33)

Häufig müssen solche Terme umgeformt werden, bspw. um sie nach einer darin vorkommenden Variablen aufzulösen

Es gibt erlaubte Umformungen von Gleichungen: Erlaubt bedeutet, dass von der durch Umformen entstandenen Gleichung wieder auf die urspr¨ungliche Gleichung geschlossen werden kann

Notation:

I Diese Übergangsmöglichkeit wird durch einen Doppelpfeil ausgedrückt:⇔

I Man sagt, die alte und die neue Gleichung sind ¨aquivalent

(32)

Umformen von Gleichungen: Lineare Gleichungen

Erlaubte Umformungen: Addition und Subtraktion

Auf beiden Seiten einer Gleichung darf derselbe Term addiert oder subtrahiert werden:

T1 =T2 ⇔T1+T3 =T2+T3 (34) T1 =T2 ⇔T1−T3 =T2−T3 (35) Dabei gilt insbesondere:

T₁=T₂⇔T₁−T₂ = 0 (36)

I Man kann umgangssprachlich formuliert einen Term somit durch Minus auf die andere Seite schaffen

(33)

Umformen von Gleichungen: Lineare Gleichungen

Erlaubte Umformungen: Multiplikation

Beide Seiten einer Gleichung d¨urfen mit demselben Term multipliziert werden, aber nur, wenn der Multiplikator nicht verschwindet:

T₁ =T₂ ⇔T₁·T₃ =T₂·T₃,wennT₃6= 0 (37) Die Einschr¨ankung bedeutet, dass die Operation f¨ur alle Werte bzw.

Wertkombinationen der inT₃ vorkommenden Variablen erlaubt ist, f¨ur die T36= 0 gilt.

(34)

Umformen von Gleichungen: Lineare Gleichungen

Erlaubte Umformungen: Division

Beide Seiten einer Gleichung d¨urfen mit demselben Term dividiert werden, aber nur, wenn der Divisor nicht verschwindet:

T₁=T₂ ⇔ T₁ T₃ = T₂

T₃,wennT₃ 6= 0 (38) Die Einschr¨ankung bedeutet, dass die Operation f¨ur alle Werte bzw.

Wertkombinationen der inT₃ vorkommenden Variablen erlaubt ist, f¨ur die T36= 0 gilt.

(35)

Umformen von Gleichungen: Lineare Gleichungen

Aufbau linearer Gleichungen

Eine Gleichung mit einer unbekannten Gr¨oße x wird als linear bezeichnet, wenn man sie durch erlaubte Umformungen auf die folgende Gestalt bringen kann:

a·x =b,mita6= 0 (39)

I a und b fasst man dabei regelm¨aßig als gegebene Gr¨oßen auf, x die gesuchte (dies kann jedoch auch variieren)

I Die gesuchte Gr¨oße x kann durch folgende Umformung ermittelt werden:

x= b

a (40)

(36)

Ubungsaufgaben zu linearen Gleichungen ¨

(37)

2 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen

3 Funktionen

5 Finanzmathematik

(38)

Ungleichungen

Eine Ungleichung liegt vor, wenn der Term auf der Linken Seite gr¨oßer oder kleiner der Term auf der rechten Seite ist

Es gilt:

I Eine Zahl heißt positiv, wenna>0 gilt

I Eine Zahl heißt negativ, wenna<0 gilt

I a≤b(gelesen: a kleiner-gleich b) bedeutet:a<boder a=b

I a≥b(gelesen: a gr¨oßer-gleich b) bedeutet:a>bodera=b

(39)

Ungleichungen

Es gilt:

I Ausa≤b unda≥bfolgt a=b

I a≤x≤bbedeutet, dass x zwischen a und b liegt, einschließlich der Grenzen

I a<x<bbedeutet, dass x zwischen a und b liegt, ausschließlich der Grenzen

I Die Kleiner-Beziehung (und die Gr¨oßer-Beziehung) sind transitiv, d.h.

ausa<bundb<c folgta<c

(40)

Ungleichungen - Rechengesetze

Addition und Subtraktion

Eine Ungleichung bleibt bestehen, wenn man auf beiden Seiten dieselbe Zahl addiert oder subtrahiert:

a<b ⇔a+c <b+c (41) a<b ⇔a−c <b−c (42)

(41)

Ungleichungen - Rechengesetze

Multiplikation

Eine Ungleichung darf mit einer positiven Zahl multipliziert werden:

a<b ⇔ac <bc,wennc >0 (43) Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert, so muss das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden:

a<b ⇔ac >bc,wennc <0 (44)

(42)

Ungleichungen - Rechengesetze

Division

Die Regeln zur Multiplikation k¨onnen auf die Division ¨ubertragen werden, denn Division durchd 6= 0 ist gleichbedeutend mit Multiplikation mit 1/d

Eine Ungleichung darf durch eine positive Zahl dividiert werden a<b ⇔a:c <b:c,wenn c >0 (45) Wird eine Ungleichung durch eine negative Zahl dividiert, so muss das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden

a<b ⇔a:c >b:c,wenn c <0 (46)

(43)

Ungleichungen - Rechengesetze

Kehrwerte

Sind die Seiten einer Ungleichung beide positiv oder beide negativ, so kann man auf beiden Seiten zum Kehrwert ¨ubergehen, wenn man das Ungleichheitszeichen umkehrt:

d.h. sind a, b beide positiv oder beide negativ, so gilt: aus a<b folgt

1 a > ¹_b

(44)

Ungleichungen - Rechengesetze

Alle Rechenregeln gelten auch f¨ur Ungleichungen vom Typ a≤b, a>b oder a≥b und f¨ur Terme mit mehreren Variablen

(45)

Betr¨ age

Unter dem Betrag einer Zahl a (bezeichnet|a|, gelesen Betrag von a) versteht man den Abstand des Punktes a auf der Zahlengerade zum Punkt 0.

Der Abstand kann niemals negativ sein, d.h. |a| ≥0

|a|=

(a, wenna≥0

−a,wenna<0 (47)

(46)

Betr¨ age

Beim Verst¨andnis der Formel hilft es, sich zu verinnerlichen, dass bei negativem ader Ausdruck −apositiv wird (z.B. gilt−(−9) = 9) Also:−a ist positiv f¨ur a<0

Es gilt:

|a|=| −a| (48)

I Denn der Abstand vonazur Null ist aus Symmetriegr¨unden derselbe wie der Abstand von−azur Null, unabh¨angig davon, welche Zahlaist

(47)

Betr¨ age

Somit gilt auch:

|a−b|=|b−a| (49)

I Dennb−a=−(a−b)

|a−b|ist der Abstand vona und b auf der Zahlengerade

(48)

Ubungsaufgaben zu Ungleichungen und Betr¨ ¨ agen

(49)

1 Das Rechnen mit reellen Zahlen

Wurzeln Logarithmen

3 Funktionen

5 Finanzmathematik

(50)

Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Eine Potenz ist ein Produkta·a·...·aausngleichen Faktoren (n>1) Abk¨urzend schreibt man:

a·a·...·a

| {z }

nFaktoren

=aⁿ (50)

gelesen: a hoch n Bestandteile der Potenz:

I aheißt die Basis

I nheißt der Exponent a¹ ista selbst

(51)

Rechenregeln

Addieren und Subtrahieren von Potenzen

Addieren und subtrahieren kann man Potenzen nur, wenn sie sowohl in der Basis als auch im Exponenten ¨ubereinstimmen

Ausdr¨ucke, in denen nur die Basis oder nur der Exponent

¨ubereinstimmen, alsoa^m±aⁿoder aⁿ±bⁿ, lassen sich nicht vereinfachen

(52)

Rechenregeln

Multiplikation von Potenzen mit gleichen Exponenten

Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten unver¨andert l¨asst

aⁿ·bⁿ = (a·b)ⁿ (51) Denn:

aⁿ·bⁿ=a·a·...·a

| {z }

nFaktoren

·b·b·...·b

| {z }

nFaktoren

= (ab)(ab)(ab)

| {z }

nFaktoren

= (ab)ⁿ

Somit gilt auch: Ein Produkt wird potenziert, indem man jeden Faktor potenziert und die entstehenden Potenzen miteinander multipliziert

(53)

Rechenregeln

Division von Potenzen mit gleichen Exponenten

Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Exponenten unver¨andert l¨asst

F¨ur b6= 0 gilt:

aⁿ

bⁿ = a·a·...·a b·b·...·b = a

b ·a

b ·....· a b

| {z }

nFaktoren

= a

b

!n

(52)

Somit gilt auch: Ein Bruch wird potenziert, indem man Z¨ahler und Nenner potenziert und die entsprechenden Potenzen dividiert

(54)

Rechenregeln

Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert

aⁿ·a^m=a^n+m (53)

Denn:

aⁿ·a^m =a·a·...·a

| {z }

nFaktoren

·a·a·...·a

| {z }

mFaktoren

= a·a·...·a

| {z }

n+mFaktoren

=a^n+m Die Regel kann auch anders herum verwendet werden, also z.B.

a¹²=a⁷·a⁵

(55)

Rechenregeln

Division von Potenzen mit gleicher Basis Die Basisa sei 6= 0. Dann gilt:

aⁿ a^m =

nFaktoren

z }| { a·a·...·a a·a·...·a

| {z }

mFaktoren

(54)

Abh¨angig davon, ob n<m,n >m odern=mgilt, kann der Ausdruck durch K¨urzen vereinfacht werden

(56)

Rechenregeln

Potenzieren einer Potenz

Eine Potenz wird potenziert, indem die Exponenten multipliziert werden

Denn:

(aⁿ)^m=aⁿ·aⁿ·...·aⁿ

| {z }

mFaktoren

=a^n+n+...+n (55)

Im Exponenten stehenm Summandenn, der Exponent entspricht also n·m

(aⁿ)^m =a^n·m (56)

(57)

Erweiterung auf ganzzahlige Exponenten

Bisher nur Exponenten mit natürlichem Exponenten (größer 0) Soll die Regel _aâmⁿ =a^n−m ganz allgemein gelten (also auch für n≤m) müssen Potenzen mit den Exponenten 0 und negativen Zahlen erklärt werden

(58)

Potenzen mit Exponent Null

F¨ur jede nichtverschwindende Basis hat die Potenz mit dem Exponenten 0 den Wert 1

F¨ur a6= 0 gilt:

a⁰= 1 (57)

(59)

Potenzen mit negativen Exponenten

F¨ur a6= 0 gilt:

a⁻ⁿ= 1

aⁿ (58)

Somit gelten die Rechenregeln für Potenzen unverändert für ganzzahlige Exponenten

(60)

Ubungsaufgaben zu Potenzen ¨

(61)

Wurzeln Logarithmen

3 Funktionen

5 Finanzmathematik

(62)

Potenzen mit gebrochenem Exponenten

Begriff der Wurzel

Die n-te Wurzel aus b≥0 (geschrieben √ⁿ

b) ist diejenige nichtnegative Zahl a, deren n-te Potenz b ergibt

Die Aufl¨osung vonaⁿ=b (b 6= 0 vorausgesetzt) nach a liefert also a=√ⁿ

b

F¨ur b≥0 gilt somit:

aⁿ=b ⇔a= ⁿ

√

b (59)

I bheißt der Radiant

I nheißt der Wurzelexponent

I aheißt der Wurzelwert

(63)

Potenzen mit gebrochenem Exponenten

Beispiel zum Begriff der Wurzel: Zinseszinsrechnung

Jemand hat 13.000 Euro bei einem ¨uber die gesamte Laufzeit unver¨anderten Zinssatz angelegt

Der Betrag ist in 6 Jahren auf 16.929,38 Euro angewachsen Wie hoch war der Zinssatz p?

I Nach der Zinseszinsformel gilt:

16.929,38 =13.000·q⁶ (60)

q⁶=16.929,38

13.000 = 1,30226 (61)

I Gesucht istq

p6

1,30226 = 1,045 (62)

I Der Zinssatz p betr¨agt 4,5%

(64)

Potenzen mit gebrochenem Exponenten

Weiteres zu Wurzeln

Das Wurzelziehen wird auch Aufl¨osung nach der Basis genannt und ist die Umkehrung des Potenzierens

Es gilt:

I (√ⁿ

b)ⁿ=b, f¨urb≥0

I ⁿ

√1 = 1, da 1ⁿ= 1, f¨ur jedesn

I ⁿ

√0 = 0, da 0ⁿ= 0, f¨urn6= 0

I ¹

√

b=b, dab¹=b, f¨urb≥1 Bei der Quadratwurzel, also √²

a, l¨asst man gew¨ohnlich den Exponenten weg und schreibt √

a

(65)

Potenzen mit gebrochenem Exponenten

Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind eine andere Schreibweise f¨ur Wurzeln

F¨ur a≥0 gilt:

a^mⁿ =√ⁿ

a^m (63)

aⁿ¹ =√ⁿ

a (64)

(66)

Wurzelgesetze

Die Wurzelgesetze ergeben sich direkt aus den Potenzgesetzen Wurzeln d¨urfen nur addiert oder subtrahiert werden, wenn Radikand und Wurzelexponent ¨ubereinstimmen

Multiplikation und Division von Wurzeln mit gleichem Exponenten:

√n

a·√ⁿ b= ⁿ

√

ab (65)

√n

a

√n

b = ⁿ ra

b (66)

Wurzel ziehen unter einer Wurzel:

m

q

√n

a= ^mn√ a= ⁿ

q

√m

a (67)

Die weiteren Potenzgesetze werden bei Wurzeln angewendet, indem die Wurzeln in Potenzen umgeschrieben werden

(67)

Ubungsaufgaben zu Wurzelgesetzen ¨

(68)

Wurzeln Logarithmen

3 Funktionen

5 Finanzmathematik

(69)

Logarithmen

Wozu ben¨otigt man Logarithmen?

Beispiel aus der Zinseszinsrechnung: Wie lange muss man 10.000 Euro zu 5,1% anlegen, um 16.000 Euro zu erhalten?

16.000 = 10.000·1,051ⁿ (68) Um zur gesuchten Gr¨oße n zu gelangen, muss die Gleichung nach n aufgel¨ost werden

Allgemein gesprochen werden Logarithmen ben¨otigt, um Gleichungen der Form aⁿ=b nach n aufzul¨osen

(70)

Logarithmen

Denjenigen Exponenten n, mit dem man die Basis a potenzieren muss, um b zu erhalten, nennt man Logarithmus von b zur Basis a man schreibtn =logab, gesprochen Logarithmus von b zur Basis a Dabei sind a und b positiv und es gilta6= 0

Folgende Gleichungen sind somit ¨aquivalent:

aⁿ=b⇔n=log_ab (69) Die Definition des Logarithmus kann auch folgendermaßen

beschrieben werden:

a^log^a^b=b (70)

loga(aⁿ) =n (71)

(71)

Ubungsaufgaben zu Logarithmen ¨

(72)

Nat¨ urliche Logarithmen

Von besonderer Bedeutung in der angewandten Mathematik ist der nat¨urliche Logarithmus zur Basis e

e ist eine irrationale Zahl, e=2,7182818 es gilt:

e^lnb =b (72)

lneⁿ=n (73)

Auf dem Taschenrechner findet sich f¨ur die nat¨urlichen Logarithmen die Taste LN

(73)

Zehnerlogarithmen

Auch die Logarithmen zur Basis 10 werden häufig verwendet Dabei lässt man die Angabe der 10 häufig weg, d.h.

log10b=logb=lgb es gilt:

10^logb =b (74)

log10ⁿ=n (75)

Auf dem Taschenrechner findet sich f¨ur die Zehnerlogarithmen die Taste LOG

(74)

Ermittlung von Logarithmen mit Hilfe der Zehnerlogarithmen

Um log_ab mit Zehnerlogarithmen zu l¨osen, muss der Ausdruck umgeformt werden

Es gelten:

a^log^a^b =b (76)

10^loga =a (77)

Setzt man 77 in 76 f¨ur a ein, so ergibt sich folgender Ausdruck:

b= (10^loga)^log^a^b (78) Gem¨aß den Potenzgesetzen kann dies umgeschrieben werden zu:

b= 10^loga·log^a^b (79)

(75)

Ermittlung von Logarithmen mit Hilfe der Zehnerlogarithmen

Außerdem gilt:b = 10^logb

Die Exponenten k¨onnen gleichgesetzt werden:

loga·log_ab =logb (80)

⇔logab= logb

loga (81)

Mit Hilfe dieser Gleichung kannaⁿ=b nach n aufgel¨ost werden:

aⁿ=b =⇒n= logb

loga (82)

(76)

Ermittlung von Logarithmen mit Hilfe der Zehnerlogarithmen

Unser Ausgangsbeispiel kann nun gel¨ost werden: Wie lange muss man 10.000 Euro zu 5,1% anlegen, um 16.000 Euro zu erhalten?

16.000 = 10.000·1,051ⁿ (83)

1,051ⁿ= 1,6 =⇒n= log1,6

log1,051 = 9,45 Jahre (84)

(77)

Ubungsaufgaben zu Logarithmen ¨

(78)

Logarithmusgesetze

Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren

log_a(uv) =log_au+log_av (85) Dies gilt allgemein auch f¨ur mehr als zwei Faktoren:

loga(u1u2...un) =

n

X

k=1

logauk (86)

Entsprechend gilt:

log_a(u:v) =log_au−log_av (87) Außerdem gilt f¨ur jede beliebige reelle Zahl:

logau^x =x·logau (88)

(79)

Wurzeln Logarithmen

3 Funktionen

5 Finanzmathematik

(80)

Weitere ¨ aquivalente Umformungen

Potenzieren einer Gleichung bei Potenzen mit gleicher Basis

Beide Seiten einer Gleichung d¨urfen zur selben positiven Basis a (a6= 1) potenziert werden

Sind zwei Potenzen mit gleicher positiver Basisa (a6= 1) gleich, so sind auch die Exponenten gleich

F¨ur a>0,a6= 1gilt:

T₁ =T₂ ⇐⇒a^T¹ =a^T² (89)

(81)

Weitere ¨ aquivalente Umformungen

Logarithmieren einer Gleichung

Beide Seiten einer Gleichung d¨urfen, sofern beide Seiten positiv sind, zur selben positiven Basis (6= 1) logarithmiert werden.

F¨ur a>0,a6= 1gilt:

T₁=T₂⇐⇒log_aT₁ =log_aT₂ (90)

(82)

Weitere ¨ aquivalente Umformungen

Potenzieren und Wurzel ziehen einer Gleichung mit Potenzen/Wurzeln mit ungleicher Basis

Die n-te Potenz bilden oder die n-te Wurzel ziehen ist bei ungeradem n erlaubt

T1 =T2⇐⇒T₁ⁿ=T₂ⁿ (91) T₁ =T₂ ⇐⇒pⁿ

T₁ =pⁿ

T₂ (92)

(83)

Weitere ¨ aquivalente Umformungen

Warum ist potenzieren und radizieren nicht uneingeschr¨ankt m¨oglich?

Gegenbeispiel:

x−1 = 7 (93)

⇔x = 8 (94)

(x−1)² = 7² (95)

x1 = 8 (96)

x2=−6 (97)

Die potenzierte Gleichung weist zwei L¨osungen auf und ist somit nicht mehr eindeutig l¨osbar

(84)

Weitere ¨ aquivalente Umformungen

F¨ur das potenzieren und radizieren mit geradem Exponenten gilt:

Soll bei ungleicher Basis eine Gleichung potenziert oder radiziert werden, so muss beachtet werden, dass beim Potenzieren mit geradem Exponenten Vorzeichen verloren gehen k¨onnen

Außerdem entstehen beim Radizieren mit geradem Wurzelexponenten ausT₁ⁿ =T₂ⁿ zwei Gleichungen

T₁ⁿ=T₂ⁿ⇐⇒T₁=T₂ oder T₁ =−T₂ (98)

(85)

Weitere ¨ aquivalente Umformungen

Produkt verschiedener Terme = 0

Ein Produkt von reellen Zahlen ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist

T1·T2·...·Tn= 0⇐⇒T1= 0 oder T2= 0 oder ...oderTn= 0 (99) Hat eine Gleichung die Gestalt Produkt verschiedener Terme = 0, so erhält man die Lösung, indem man die Terme einzeln gleich Null setzt und diese Gleichung löst

(86)

Ubungsaufgaben zu weiteren ¨ ¨ aquivalenten Umformungen

(87)

Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen sind Gleichungen, in denen die Unbekannte in der zweiten Potenz, aber in keiner h¨oheren Potenz vorkommt Jede quadratische Gleichung kann man durch ¨aquivalentes Umformen auf folgende Form bringen:

x²+px+q= 0 (100)

Um quadratische Gleichungen zu l¨osen, muss folgende L¨osungsformel angewendet werden:

x1,2=−p 2 ±

r p

2 2

−q (101)

(88)

Quadratische Gleichungen

Gilt (^p₂)²−q>0, so existieren zwei verschiedene reelle L¨osungen Gilt (^p₂)²−q= 0, so fallen die beiden reellen L¨osungen zusammen und es giltx1=x2 =−^p₂

Gilt (^p₂)²−q<0, so hat die Gleichung keine reelle L¨osung

Um eine quadratische Gleichung zu l¨osen, muss diese also erst in die Grundform gebracht werden, um die L¨osungsformel anzuwenden

(89)

Wurzelgleichungen

Wurzelgleichungen sind Gleichungen, in denen die gesuchte Gr¨oße im Radianden von Wurzeln vorkommt

Um die Gleichung zu l¨osen, muss die Wurzel isoliert und durch Potenzieren aufgel¨ost werden

Falls man die Gleichung durch potenzieren mit geradem Exponenten gelöst hat, muss man anschließend überprüfen, ob die gefundene Lösung tatsächlich die Ursprungsgleichung löst

(90)

Exponential- und Logarithmengleichungen

Exponentialgleichungen sind Gleichungen, bei denen sich die Unbekannte im Exponenten einer Potenz befindet

Die einfachste Form der Exponentialgleichung a^x =b haben wir bereits durch Logarithmieren gel¨ost: x= ^logb_loga

Auch kompliziertere Exponentialgleichungen werden durch Logarithmieren gel¨ost

Bei Logarithmengleichungen kommt die Unbekannte unter dem Logarithmus vor

Man versucht Logarithmengleichungen durch Potenzieren mit der Basis des vorkommenden Logarithmus zu l¨osen

(91)