Wirtschaftsmathematik ¨Ubungsaufgaben zu Funktionen Sabine H¨olscher, M.Sc. 15. April 2021

(1)

Wirtschaftsmathematik

Ubungsaufgaben zu Funktionen¨

Sabine H¨olscher, M.Sc.

15. April 2021

(2)

Ubungsaufgaben zum Definitionsbereich von Funktionen ¨

Bestimmen Sie den Definitionsbereich folgender Funktionen und berechnen Sie f¨ur diese Funktionen f(−2), f(0) und f(x0+ 5):

1 f(x) = 2x+ 6

2 f(x) =−x²+x+ 1

3 f(x) = _x−1¹

4 f(x) =−x+ 8 +_x2−7x+12¹

Sabine H¨olscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 15. April 2021 2 / 48

(3)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zum Definitionsbereich von Funktionen

f(x) = 2x+ 6 D: alle reellen Zahlen f(−2) = 2

f(0) = 6

f(x₀+ 5) = 2x₀+ 16

(4)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zum Definitionsbereich von Funktionen

f(x) =−x²+x+ 1 D: alle reellen Zahlen f(−2) =−5

f(0) = 1

f(x0+ 5) =−x₀²−9x0−19

(5)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zum Definitionsbereich von Funktionen

f(x) = _x−1¹

D: alle reellen Zahlen mit Ausnahme x=1 f(−2) =−1/3

f(0) =−1 f(x0+ 5) = _x¹

0+4

(6)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zum Definitionsbereich von Funktionen

f(x) =−x+ 8 +_x2−7x+12¹

D: alle reellen Zahlen mit Ausnahme von x=4 und x=3 f(−2) = 10₃₀¹

f(0) = 8₁₂¹

f(x₀+ 5) =−x₀+ 3 +_x2 ¹ 0+3x0+2

(7)

Ubungsaufgaben zu Schnittpunkten von Funktionen ¨

Welche der Punkte (0,¹₄), (1,1), (5,3), (−2,¹₄), (−2,−35), (6,₁₀¹ ), (−1,¹₃) liegen

1 auf dem Graphen der Funktion y = 2x³−6x²+ 5

2 auf dem Graphen der Funktion y = _x2+2x+4¹

(8)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zu Schnittpunkten von Funktionen

1 auf dem Graphen der Funktion y = 2x³−6x²+ 5

2 auf dem Graphen der Funktion y = _x2+2x+4¹

Zur L¨osung das gegebene x einsetzen und pr¨ufen, ob das gegebene y resultiert

Beispiel: y = 2x³−6x²+ 5 und Punkt (1,1)

=⇒ Setzen wir 1 als x ein, so ergibt das:y = 2·1³−6·1²+ 5 = 1⇒Der Punkt liegt auf dem Graphen

(9)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zu Schnittpunkten von Funktionen

1 auf dem Graphen der Funktion

y = 2x³−6x²+ 5 =⇒(1,1),(−2,−35)

2 auf dem Graphen der Funktion

y = _x2+2x+4¹ =⇒(0,¹₄),(−2,¹₄),(−1,¹₃)

(10)

Ubungsaufgaben zum Zeichnen linearer Funktionen ¨

Zeichnen Sie die folgenden linearen Funktionen

1 f(x) = 10x

2 f(x) = 2x−4

3 f(x) = ²₃x−1

(11)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zum Zeichnen linearer

Funktionen

(12)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zum Zeichnen linearer Funktionen

(13)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zum Zeichnen linearer

Funktionen

(14)

Ubungsaufgaben zu Schnittpunkten von Funktionen ¨

In welchem Punkt schneiden sich die folgenden Geraden?

1 y = 3,y = 2x−6

2 y =−¹₂x+ 4,y = 3x−1

3 u = 3v−1,u=−v+ 6

4 k =t+ 2, k=−2t+ 4

(15)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zu Schnittpunkten von Funktionen

x wird durch Gleichsetzen der Geraden ermittelt:

3 = 2x−6 (1)

x = 9

2 (2)

y wird ermittelt, indem das gefundene x in eine der Funktionen eingesetzt wird:y = 2·⁹₂ −6 = 3

Die Geraden schneiden sich im Punkt (⁹₂,3)

(16)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zu Schnittpunkten von Funktionen

(17)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zu Schnittpunkten von Funktionen

x wird durch Gleichsetzen der Geraden ermittelt, y durch Einsetzen des gefundenen x:

−1

2x+ 4 = 3x−1 (3)

x = 10

7 (4)

y = 310

7 −1 = 23

7 (5)

Die Geraden schneiden sich im Punkt (¹⁰₇,²³₇)

(18)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zu Schnittpunkten von Funktionen

(19)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zu Schnittpunkten von Funktionen

v wird durch Gleichsetzen der Geraden ermittelt, u durch Einsetzen des gefundenen x:

3v−1 =−v+ 6 (6)

v = 7

4 (7)

u = 17

4 (8)

Die Geraden schneiden sich im Punkt (⁷₄,¹⁷₄ )

(20)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zu Schnittpunkten von Funktionen

(21)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zu Schnittpunkten von Funktionen

t+ 2 =−2t+ 4 (9)

t = 2

3 (10)

k = 8

3 (11)

Die Geraden schneiden sich im Punkt (²₃,⁸₃)

(22)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zu Schnittpunkten von Funktionen

(23)

Ubungsaufgaben zur Steigung von linearen Funktionen ¨

Bestimmen Sie die Steigung der Folgenden Gerade:

(24)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zur Steigung linearer Funktionen

Die Gerade schneidet die vertikale y-Achse bei +1

Geht man vom Schnittpunkt der y-Achse eine Einheit nach rechts, so muss man 3 Einheiten nach oben gehen, um die Gerade zu treffen Deshalb gilt: f(x) = 3x+ 1

(25)

Ubungsaufgaben zum Definitionsbereich von Funktionen ¨

Bestimmen Sie den Definitionsbereich der folgenden Funktionen:

1 f(x) = _2x−4^x+1

2 f(x) = _4x^x²2⁻¹+4

3 f(x) = _x2−3x−4^x

4 f(x) = √4 ¹

x²−16

5 f(x) =ln(6−x)

6 f(x) =e³

√ x²+1

(26)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zum Definitionsbereich von Funktionen

1 f(x) = _2x−4^x+1 =⇒ alle x mit Ausnahme von x=2

2 f(x) = _4x^x²2⁻¹+4 =⇒ alle x

3 f(x) = _x2−3x−4^x =⇒ alle x mit Ausnahme von x=-1 und x=4, denn der Nenner darf nicht Null werden:

x²−3x−4 = 0 3

2 ± s

−3 2

2

+ 4 x1 = 4 x₂=−1

4 f(x) = √4 ¹

x²−16 =⇒ |x| ≥4, da ansonsten der Term unter der Wurzel negativ wird

5 f(x) =ln(6−x) =⇒x <6

6 f(x) =e³

√

x²+1 =⇒alle x

(27)

Ubungsaufgaben zu Schnittpunkten von Funktionen ¨

In welchem Punkt schneiden sich die folgenden Funktionen?

1 y = 2x+ 1 und y = ¹₂x²−5

2 y =x²+x+ 2 und −2x²+ 5

(28)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zu Schnittpunkten von Funktionen

Funktionen gleichsetzen:

2x+ 1 = 1

2x²−5 (12)

1

2x²−2x−6 = 0 (13) x²−4x−12 = 0 (14) x_1,2 = 4

2 ± s

−4 2

2

+ 12 (15)

x1= 6 =⇒f(x1) = 13 =⇒(6,13) (16) x2 =−2 =⇒f(x2) =−3 =⇒(−2,−3) (17) (18)

(29)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zu Schnittpunkten von Funktionen

Funktionen gleichsetzen:

x²+x+ 2 =−2x²+ 5 (19) 3x²+x−3 = 0 (20) x²+1

3x−1 = 0 (21) x1,2 =−1

6 ± s

1 6

2

+ 1 (22) x₁= 0,847 =⇒f(x₁) = 3,565 =⇒(0,847; 3,565) (23) x2 =−1,180 =⇒f(x2) = 2,215 =⇒(−1,180; 2,215) (24) (25)

(30)

Ubungsaufgaben zum Systematischen Aufbau von ¨ Funktionen

Es sei f(x) =−x²+ 2x+ 5 undg(x) =e^x. Bestimmen Sie h(x) =f(x) +g(x)

h(x) =f(x)−g(x) h(x) =f(x)·g(x) h(x) =f(g(x)) h(x) =g(f(x))

(31)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zum Systematischen Aufbau von Funktionen

h(x) =f(x) +g(x) =−x²+ 2x+ 5 +e^x h(x) =f(x)−g(x) =−x²+ 2x+ 5−e^x h(x) =f(x)·g(x) = (−x²+ 2x+ 5)·e^x h(x) =f(g(x)) =−e^2x+ 2e^x+ 5 h(x) =g(f(x)) =e^−x²^+2x+5

(32)

Ubungsaufgaben zur Verkettung von Funktionen ¨

Bestimmen Sie r(s(t)) f¨ur folgende Funktionen:

1 r(t) = 2t+ 5 und s(t) =√ t−7

2 r(t) = 2e^t und s(t) =t²−1

3 r(t) =ln(t²+ 1) unds(t) = 4t−1

(33)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zur Verkettung von Funktionen

Bestimmen Sie r(s(t)) f¨ur folgende Funktionen:

1 r(t) = 2t+ 5 und s(t) =√

t−7 =⇒r(s(t)) = 2√

t−7 + 5

2 r(t) = 2e^t und s(t) =t²−1 =⇒r(s(t)) = 2e^t²⁻¹

3 r(t) =ln(t²+ 1) unds(t) = 4t−1 =⇒r(s(t)) =ln((4t−1)²+ 1)

(34)

Ubungsaufgaben zur Bestimmung von Nullstellen ¨

Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktionen:

1 f(x) = 7x−2

2 f(x) =x²+ 9x+ 20

3 f(x) = 2x²−7x−3

4 f(x) = (x+ 1)(x−3,8)(2x+ 5,6)

5 f(x) = (x−4)(x²−1)

6 f(x) = (x²−x−2)(x²−3x−6)

7 f(x) = _x^x−12+5

8 f(x) = ^x²^+5x+6_x2−1

9 f(x) =ln(x−6)

10 f(x) =√³ 3−x²

11 f(x) = 2e^−2x−e^2x

12 f(x) =ln(x−2) +ln(x+ 1)

(35)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

f(x) = 7x−2

f(x) = 7x−2 (26)

7x−2 = 0 (27)

x = 2

7 (28)

(36)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

f(x) =x²+ 9x+ 20

x²+ 9x+ 20 = 0 (29)

x1,2 =−9 2±

s 9

2 2

−20 (30)

x₁=−4 (31)

x₂=−5 (32)

(37)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

f(x) = 2x²−7x−3

2x²−7x−3 = 0 (33)

x²−3,5x−1,5 = 0 (34) x1,2 = 3,5

2 ± s

−3,5 2

2

+ 1,5 (35)

x₁= 3,886 (36)

x₂=−0,386 (37)

(38)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

f(x) = (x+ 1)(x−3,8)(2x+ 5,6) = 0

Damit die gesamte Funktion Null ergibt, muss eine der Klammern gleich Null sein. Deshalb wird jeder Klammerausdruck einzeln gleich Null gesetzt.

Daraus ergibt sich:

x+ 1 = 0 x₁=−1 x−3,8 = 0 x₂ = 3,8 2x+ 5,6 = 0 x3 =−2,8

(39)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

f(x) = (x−4)(x²−1)

Damit die gesamte Funktion Null ergibt, muss eine der Klammern gleich Null sein. Deshalb wird jeder Klammerausdruck einzeln gleich Null gesetzt.

Daraus ergibt sich:

(x−4) = 0 (38)

x₁ = 4 (39)

(40)

x²−1 = 0 (41)

x₂ = 1 (42)

x₃ =−1 (43)

(40)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

(x²−x−2)(x²−3x−6) = 0 (44) (45) Damit die gesamte Funktion Null ergibt, muss eine der Klammern gleich Null sein. Deshalb wird jeder Klammerausdruck einzeln gleich Null gesetzt.

Klammer 1: (x²−x−2)

x²−x−2 = 0 (46)

x_1,2 = +1 2 ±

s

−1 2

2

+ 2 (47)

x1= 2 (48)

x2=−1 (49)

(41)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

(x²−x−2)(x²−3x−6) = 0 (50) (51) Klammer 2: (x²−3x−6)

x²−3x−6 = 0 (52)

x3,4 = +3 2 ±

s

−3 2

2

+ 6 (53)

x₃ =−1,372 (54)

x₄= 4,372 (55)

(42)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

x−1

x²+ 5 = 0 (56)

x−1 = 0 (57)

x = 1 (58)

Test: Wird der Nenner bei x= 1 gleich 0?

Nein, Ergebnis ist somit g¨ultig

(43)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

f(x) = x²+ 5x+ 6

x²−1 (59)

x²+ 5x+ 6 = 0 (60)

x_1,2 =−5 2±

s 5

2 2

−6 (61)

x1 =−2 (62)

x2 =−3 (63)

Test: Wird der Nenner bei x=−2 oder x=−3 gleich 0?

Nein, Ergebnis ist somit g¨ultig

(44)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

ln(x−6) = 0 (64)

x = 7 (65)

Denn ln(1) = 0

(45)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

p3

3−x² = 0 (66)

3−x² = 0 (67)

x² = 3 (68)

(69) (70) Da auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel gezogen wird, erf¨ullen zwei x die Bedingung der Gleichung:

x₁ =√

3 (71)

x =−√

3 (72)

(46)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

2e^−2x−e^2x = 0 (73)

2e^−2x =e^2x (74)

ln(2e^−2x) =ln(e^2x) (75)

(76) Es gilt ln(x·y) =ln(x) +ln(y) und ln(e^x) =x, daraus folgt:

ln(2) +ln(e^−2x) =ln(e^2x) (77)

ln(2)−2x= 2x (78)

ln(2) = 4x (79)

x= 1

4ln(2) (80)

(47)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

ln(x−2) +ln(x+ 1) = 0 (81)

ln(x−2) =−ln(x+ 1) (82) ln(x−2) = (−1)·(ln(x+ 1)) (83) ln(x−2) = (ln(x+ 1))⁻¹ (84) ln(x−2) =ln(x+ 1)⁻¹ (85)

e^ln(x−2) =e^ln(x+1)⁻¹ (86)

(x−2) = (x+ 1)⁻¹ (87)

(x−2) = 1

x+ 1 (88)

(48)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

(x−2)(x+ 1) = 1 (89)

x²−x−3 = 0 (90)

x1,2 = 1 2±

s −1

2 2

+ 3 (91)

x₁ = 2,302 (92)

x₂ =−1,303 =⇒falsch (93) x₂ ist keine g¨ultige L¨osung, da ln in Ursprungsgleichung negativ wird