Es gilt (f ◦g◦h)(x) =f(g(h(x

Vorkurs Mathematik im Sommersemester 2019

Dr. Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 5

Aufgabe 1. Seienf , g, h:R→Rmit

f(x) =|x|, g(x) =1

x, h(x) =x+ 1.

Bestimmen Sief ◦g◦h, g◦h◦f undh◦g◦f. Lösung. Es gilt

(f ◦g◦h)(x) =f(g(h(x))) =f(g(x+ 1)) =f(_x+1¹ ) =_|x+1¹ _| (g◦h◦f)(x) =g(h(f(x))) =g(h(|x|)) =g(|x|+ 1) =_|x¹_|+1 (h◦g◦f)(x) =h(g(f(x))) =h(g(|x|)) =h(_|¹_x|) =_|¹_x|+ 1.

Die drei Funktionen sind paarweise verschieden, denn sie sind alle von einander verschieden an der Stellex= 2, denn

(f ◦g◦h)(−2) = 1 (g◦h◦f)(−2) =1 3 (h◦g◦f)(−2) =3 2.

Aufgabe 2. Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Injektivität, Surjektivität und Bi- jektkivität.

(a) f :N→N,n7→n+ 3 (b) g:Z→Z,n7→n+ 3

(c) h:R→R,x7→x²+x−56 (d) k:Z×N\ {0} →Q: (a, b)7→^a

b. Lösung.

(a) f ist injektiv: Seienn, m∈Nmitf(n) =f(m), alson+ 3 =m+ 3. Durch Subtrahieren von 3 auf beiden Seiten folgtn=m.

f ist nicht surjektiv: Es gibt keinn∈Nmitn+ 3 =f(n) = 0.

(b) gist injektiv: wie (a).

gist surjektiv: Seim∈N. Wir setzenn=m−3. Dann giltg(n) = (m−3) + 3 =m.

Daginjektiv und surjektiv ist, istgauch bijektiv.

(c) hist nicht injektiv: Mit der pq-Formel erhält man die Nullstellen x₁ =−8 undx₂ = 7 vonh. Damit gilth(−8) = 0 =h(7), aber−8,7.

hist nicht surjektiv: kist eine Parabel mit Scheitelpunkt (−¹

2,−²²⁵

4 ) und somit gilth(x)≥

−²²⁵

4 für allex∈R. Insbesondere gibt es keinx∈Rmith(x) =−57.

(d) kist nicht injektiv: Es giltk(1,2) =¹₂=²₄=k(2,4), aber (1,2),(2,4).

kist surjektiv: folgt direkt aus der Definition vonQ.

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Aufgabe 3. Seif :R→Reine Funktion. Überlegen Sie sich, wie man aus dem Funktionsgra- phen vonf den Funktionsgraphen vong◦f undf ◦g für

(a) g(x) =−x (b) g(x) =x−1

(c) g(x) = 2x (d) g(x) =|x|

zeichnet. Sie können sich dies an einem konkreten Beispiel, z.B. f(x) =e^x oderf(x) = sin(x) überlegen und danng◦f resp.f ◦g im Koordinatensystem skizzieren. Sie dürfen dazu auch mit Geogebra experimentieren (https://www.geogebra.org/classic).

Lösung.

(a) • g◦f: Spiegelung an derx-Achse

• f ◦g: Spiegelung an dery-Achse

(b) • g◦f: Verschiebung nach oben um 1 Einheit

• f ◦g: Verschiebung nach links um 1 Einheit (c) • g◦f: vertikale Streckung um den Faktor 2

• f ◦g: horizontale Streckung um den Faktor 2

(d) • g◦f: Spiegelung aller negativen Werte an derx-Achse

• f ◦g: Spiegelung der des Funktionsgraphen fürx≥0 an dery-Achse.

Teilaufgabe (a) lässt sich anhand folgendem Beispiel illustrieren (die anderen lassen sich ähn- lich erkennen, dafür eignet sich aber bspw.f(x) = sin(x) besser):

Aufgabe 4. Bestimmen Sie einen maximalen DefinitionsbereichMund WertebereichN, sodass die Funktionf gegeben durch

f(x) =

√ 4−x² bijektiv ist und bestimmen Sie die Umkehrfunktion.

Lösung. Die Funktion ist nur definiert für 4−x²≥0⇐⇒x²≤4⇐⇒ −2≤x≤2. Da aberx7→x² nur fürx∈R^≥0(respx∈R^≤0) injektiv ist, wählen wirM={x∈R|0≤x≤2}= [0,2]. Es gilt für x∈M

0≤4−x²≤4⇐⇒0≤f(x)≤2.

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Wir wählen alsoN =M. Es gilt füry∈N undx∈M f(x) =y⇐⇒

√

4−x²=y

⇐⇒4−x²=y²

⇐⇒4−y²=x²

⇐⇒

q

4−y²=x.

(Die Umformungen sind Äquivalenzumformungen, da x und y zwischen 0 und 2 liegen). Es gilt alsof⁻¹(y) =p

4−y²=f(y). Insbesondere giltf⁻¹=f.