Wirtschaftsmathematik Vorkurs ¨Ubungsaufgaben Sabine H¨olscher, M.Sc. 27. Februar 2021

Wirtschaftsmathematik

Vorkurs ¨Ubungsaufgaben

Sabine H¨olscher, M.Sc.

27. Februar 2021

Ubungsaufgaben zu den Rechengesetzen ¨

Fassen Sie die Terme so weit wie m¨oglich zusammen:

1 4xy +y+ 2xy+a+ 7y

2 (x+ 2 +y) + (6 +a+y)

3 (3xy)(2ab)

4 (zw)(7x)(8zw)(3x)

5 2xy(x+ 6y+z)

6 (x1y1+x2y2+...+xnyn)2xy

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zu den Rechengesetzen

Fassen Sie so viele Terme wie m¨oglich zusammen:

1 4xy +y+ 2xy+a+ 7y = 6xy + 8y+a

2 (x+ 2 +y) + (6 +a+y) =x+ 2y+ 8 +a

3 (3xy)(2ab) = 6abxy

4 (zw)(7x)(8zw)(3x) = 168x²w²z²

5 2xy(x+ 6y+z) = 2x²y+ 12xy²+ 2xyz

6 (x1y1+x2y2+...+xnyn)2xy = 2xyx1y1+ 2xyx2y2+...+ 2xyxnyn

Ubungsaufgaben zum Ausmultiplizieren und Ausklammern ¨

Fassen Sie die Terme zusammen (l¨osen Sie wenn notwendig die Klammern auf):

1 (6ab+ 2b+ 4c)(4a+ 4b+ 5c)

2 2xy + 4x²y²+ 8xyz

3 xy1+ 2xy2+ 3xy3+...+nxyn

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zum Ausmultiplizieren und Ausklammern

Fassen Sie die Terme zusammen (l¨osen Sie wenn notwendig die Klammern auf):

1 (6ab+ 2b+ 4c)(4a+ 4b+ 5c) =

24a²b+ 24ab²+ 30abc+ 8ab+ 8b²+ 10bc+ 16ac+ 16bc+ 20c²= 24a²b+ 24ab²+ 30abc+ 8ab+ 8b²+ 26bc+ 16ac+ 20c²

2 2xy + 4x²y²+ 8xyz = 2xy(1 + 2xy + 4z)

3 xy₁+ 2xy₂+ 3xy₃+...+nxy_n=x(y₁+ 2y₂+ 3y₃+...+ny_n)

Ubungsaufgaben zu Vorzeichenregeln ¨

Folgende Ausdr¨ucke sollen ausmultipliziert werden:

1 a(−b−c)

2 (−a)(b−c)

3 (−a)(−b−c)

4 a(−b+c)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zu Vorzeichenregeln

Folgende Ausdr¨ucke sollen ausmultipliziert werden:

1 a(−b−c) =−ab−ac

2 (−a)(b−c) =−ab+ac

3 (−a)(−b−c) =ab+ac

4 a(−b+c) =−ab+ac

Ubungsaufgaben zu den binomischen Formeln ¨

L¨osen Sie die folgenden Ausdr¨ucke mit Hilfe der binomischen Formeln auf:

1 (b−4)²

2 (3ax−9cx)²

3 (2a+ 3b)(2a−3b)

4 (1−q)(1 +q)

5 a+ 2b−(a−b)(c −d)

6 (x−y)(x+y)−(x+y)²

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zu den binomischen Formeln

L¨osen Sie die folgenden Ausdr¨ucke mit Hilfe der binomischen Formeln auf:

1 (b−4)² =b²−8b+ 16

2 (3ax−9cx)² = 9a²x²−54ax²c+ 81c²x²

3 (2a+ 3b)(2a−3b) = 4a²−9b²

4 (1−q)(1 +q) = 1−q²

5 a+ 2b−(a−b)(c −d) =a+ 2b−(ac−ad −bc+bd) =

a+ 2b−ac+ad+bc−bd

6 (x−y)(x+y)−(x+y)² =x²−y²−(x²+ 2xy+y²) = x²−y²−x²−2xy−y² =−2y(x+y)

Ubungsaufgaben zur Multiplikation und Division von ¨ Br¨ uchen

Multiplizieren bzw. dividieren Sie folgende Br¨uche:

1 2x 3y 4a 3b

2 a+b

c+d : _c−d^a−b

3 2xy

z x2y

2z

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zur Multiplikation und Division von Br¨ uchen

Multiplizieren bzw. dividieren Sie folgende Br¨uche:

1 2x 3y 4a 3b

= ^2x_3y ·^3b_4a = _12ay^6bx = _2ay^bx

2 a+b

c+d : _c−d^a−b = ^a+b_c+d ·^c−d_a−b = (a+b)·(c−d)

(c+d)(a−b) = ac−ad+bc−bd ac−bc+ad−bd

3 2xy

z x2y

2z

= ^2xy_z ·_x^2z2y = ^4xyz_x2yz = ⁴_x

Ubungsaufgaben zur Multiplikation von Br¨ ¨ uchen mit einer Zahl

Multiplizieren Sie folgende Ausdr¨ucke:

1 (a−b)·^a+b_b

Klammern Sie geeignete Faktoren aus:

1 a+^ab_c + ^a2_d^xy

2 x−y

x+y +^x2−y_y ²

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zur Multiplikation von Br¨ uchen mit einer Zahl

Multiplizieren Sie folgende Ausdr¨ucke:

1 (a−b)·^a+b_b = ^(a−b)(a+b)_b = ^(a2_b^−b2 Klammern Sie geeignete Faktoren aus:

1 a+^ab_c + ^a2_d^xy =a·(1 +^b_c + ^axy_d )

2 x−y

x+y +^x2−y_y ² = (x−y)·(_x+y¹ +^x+y_y )

Ubungsaufgaben zur Division von Br¨ ¨ uchen durch eine Zahl

Dividieren Sie folgende Ausdr¨ucke:

1 x : ^x_z^2y

2 7a+7b

a+b a−b

K¨urzen Sie folgende Br¨uche:

1 a²+2ab+b² ac+bc

2 xy

x²−2x

3 a²+5ab a²c

4 a²+ab+ac ax−by

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zur Division von Br¨ uchen durch eine Zahl

Dividieren Sie folgende Ausdr¨ucke:

1 x : ^x_z^2y =x·_x^z_2y = _x^xz2y = _xy^z

2 7a+7b

a+b a−b

= (7a+ 7b)·(^a−b_a+b) = 7(a+b)·(^a−b_a+b) = 7(a−b) K¨urzen Sie folgende Br¨uche:

1 a²+2ab+b²

ac+bc = ^(a+b)_c(a+b)² = ^a+b_c

2 xy

x²−2x = _x(x−2)^xy = _x−2^y

3 a²+5ab

a²c = ^a(a+5b)_a(ac) = ^a+5b_ac

4 a²+ab+ac

ax−by Kein K¨urzen m¨oglich

Ubungsaufgaben zur Addition und Subtraktion ¨ gleichnamiger Br¨ uche

Addieren bzw. Subtrahieren Sie folgende Br¨uche:

1 a

3b +^c−d_3b

2 a

3b −^c−d_3b

3 x

x−y −^2x+4y_x−y +^3y+z_x−y

4 a

x +_x−y^b

5 a b−^x

a y b+^x_y

6 1

8 −₁₂¹ +⁷₄

7 2x+5

x −_2x¹ −^x−5_4x2

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zur Addition und Subtraktion gleichnamiger und ungleichnamiger Br¨ uche

Addieren bzw. Subtrahieren Sie folgende Br¨uche:

1 a

3b +^c−d_3b = ^a+c−d_3b

2 a

3b −^c−d_3b = ^a−c+d_3b

3 x

x−y −^2x+4y_x−y +^3y+z_x−y = ^x−2x−4y_x−y^+3y+z = ^−x−y+z_x−y

4 a

x +_x−y^b = ^a(x−y)+bx_x(x−y) = ^ax−ay+bx_x2−xy

5 a b−^x

a y b+^x_y =

ay−bx by ay+bx

by

= ^ay−bx_by ·_ay+bx^by = ^ay−bx_ay+bx

6 1

8 −₁₂¹ +⁷₄ = 1·3−1·2+6·7

24 = ⁴³₂₄ (KGV=24)

7 2x+5

x −_2x¹ −^x−5_4x2 = 4x(2x+5)−2x−(x−5)

4x² = ^8x2+20x−2x−x+5

4x² = ^8x2+17x+5_4x2

Ubungsaufgaben zur Addition und Subtraktion ¨ ungleichnamiger Br¨ uche

L¨osen Sie folgende Gleichung nach x auf:

1 7x+ 3 = 5x−2

L¨osen Sie folgende Gleichung nach aauf:

1 a−b

c y =K ·x

L¨osen Sie folgende Gleichung nach u auf:

1 1

u+ ¹_v = 1

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zur Addition und Subtraktion ungleichnamiger Br¨ uche

L¨osen Sie folgende Gleichung nach x auf:

1 7x+ 3 = 5x−2⇒2x =−5⇒x=−5/2 L¨osen Sie folgende Gleichung nach aauf:

1 a−b

c y =K ·x ⇒(a−b)y =Kxc ⇒ay −by =Kxc ⇒a= ^Kxc+by_y L¨osen Sie folgende Gleichung nach u auf:

1 1

u+ ¹_v = 1⇒ ¹_u = 1−_v¹ ⇒1 =u(1−_v¹)⇒u = ₁₋¹1 v

⇒u = v−1¹ v

⇒ u = _v−1^v

Ubungsaufgaben zu Ungleichungen ¨

1 F¨ur welches x ist −3x+ 2<4x−9?

2 F¨ur welches x gilt (a−x)b>Kx?

3 F¨ur welches x ist ^3x−1_2x+2 >1?

4 F¨ur welches x ist ^x−1_x+2 ≤4?

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zu Ungleichungen

F¨ur welches x ist−3x+ 2<4x−9?

−3x+ 2<4x−9 2 + 9<4x+ 3x 11<7x 11/7<x

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zu Ungleichungen

F¨ur welches x gilt (a−x)b>Kx?

ab−bx >Kx ab >Kx+bx ab>x(K +b) Fall 1: _K^ab_+b >x f¨urk+b >0

Fall 2: _K^ab_+b <x f¨urk+b <0

L¨ osung- ¨ Ubungsaufgaben zu Ungleichungen

F¨ur welches x ist ^3x−1_2x+2 >1?

Fall 1: f¨ur 2x+ 2>0

3x−1>2x+ 2 x >3 Fall 2: f¨ur 2x+ 2<0

x<3

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zu Ungleichungen

F¨ur welches x ist ^x−1_x+2 ≤4? Fall 1: f¨ur x+ 2>0 x−1≤4(x+ 2)

x ≥ −3

Fall 2: f¨urx+ 2<0

x ≤ −3

Ubungsaufgaben zu Betr¨ ¨ agen

F¨ur welches x gilt|x−2| ≤4?

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zu Betr¨ agen

F¨ur welches x gilt|x−2| ≤4?

1. Fall:x−2≥0⇒x ≥2

x−2≤4 x ≤6

⇒2≤x ≤6 2. Fall:x−2<0⇒x <2

−x+ 2≤4

−2≤x

⇒ −2≤x <2

Ubungsaufgaben zu Potenzen mit ganzzahligen ¨ Exponenten

Berechnen Sie folgende Potenzen:

1 1ⁿ

2 0ⁿ

3 (2x)¹

4 2⁵

5 (1,067)⁴

6 (−2)⁴

7 (−1)³

8 (−1)²ⁿ

9 (−1)²ⁿ⁺¹

10 (x+y)³

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zu Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Berechnen Sie folgende Potenzen:

1 1ⁿ= 1

2 0ⁿ= 0

3 (2x)¹ = 2x

4 2⁵ = 32

5 (1,067)⁴= 1,296

6 (−2)⁴= 16

7 (−1)³=−1

8 (−1)²ⁿ= 1

9 (−1)²ⁿ⁺¹=−1

3 3 2 2 3

Ubungsaufgaben zu Potenzen ¨

Berechnen (Vereinfachen) Sie folgende Potenzen:

1 12a³−7a⁴+ 18b⁵+ 8a³+ 2b⁵+ 6b²−b⁵

2 ax^m−bx^m+cyx^m+axⁿ

3 r⁸+ (−r)⁸+r³+ (−r)³=r⁸+r⁸+r³−r³

4 7x³+ 3x²+ 6x−1−(2x³−x²+x−7)

5 (−2ab)⁴

6 125x³y³

7 (q−1)³(q+ 1)³

8 (^2x−3y₄ )⁴ (^4x2−9y₈ ²)⁴

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zu Potenzen

Berechnen (Vereinfachen) Sie folgende Potenzen:

1 12a³−7a⁴+ 18b⁵+ 8a³+ 2b⁵+ 6b²−b⁵= 20a³−7a⁴+ 19b⁵+ 6b²

2 ax^m−bx^m+cyx^m+axⁿ=x^m(a−b+cy) +axⁿ

3 r⁸+ (−r)⁸+r³+ (−r)³=r⁸+r⁸+r³−r³ = 2r⁸

4 7x³+ 3x²+ 6x−1−(2x³−x²+x−7) = 5x³+ 4x²+ 5x+ 6

5 (−2ab)⁴= (−2)⁴a⁴b⁴ = 16a⁴b⁴

6 125x³y³ = (5xy)³

7 (q−1)³(q+ 1)³ = ((q−1)(q+ 1))³ = (q²−1)³

8 (^2x−3y₄ )⁴ (^4x2−9y₈ ²)⁴ =

2x−3y 4 4x2−9y2

8

!4

= _(4x^(2x−3y)82−9y²)4

!4

= (2x−3y)(2x−3y)4^(2x−3y)8

!4

=

2

!4

Ubungsaufgaben zu Potenzen ¨

Vereinfachen Sie folgende Potenzen:

1 aⁿ·a

2 6y²·y³·(xy⁴)

3 aⁿ⁻²bxa³b^m+1

4 (q^m−1)(q^m+ 1)

5 1

u²x² −_ux^2a + _ux^a3

6 2

a¹⁰ −_a6⁴_b4 +_b⁵8

L¨ osungen - ¨ Ubungsaufgaben zu Potenzen

Vereinfachen Sie folgende Potenzen:

1 aⁿ·a=aⁿ⁺¹

2 6y²·y³·(xy⁴) = 6xy⁹

3 aⁿ⁻²bxa³b^m+1=xaⁿ⁻²⁺³b^1+m+1=xaⁿ⁺¹b^m+2

4 (q^m−1)(q^m+ 1) =q^mq^m−q^m+q^m−1 =q^2m−1

5 1

u²x² −_ux^2a + _ux^a3 = ^x−2aux_u2x^23+au

6 2

a¹⁰ −_a6⁴b⁴ +_b⁵8 = ^2b8−4a_a10^4bb^48+5a10

Ubungsaufgaben zu Potenzen ¨

Berechnen Sie folgende Potenzen:

1 2b⁷ b⁴

2 4x²y⁶z³ 2x²yz⁴

3 x⁴−3x³+2x²−5x+1 x³

4 ((x+y)²)ⁿ⁺¹

5 (x²y³)⁵

6 (−3a²)³

7 (2uv²)³

(6u²v)⁴ : ^(12u_(4u2⁵v^v34)⁾⁵²

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zu Potenzen

Berechnen Sie folgende Potenzen:

1 2b⁷

b⁴ = 2b⁷⁻⁴= 2b³

2 4x²y⁶z³

2x²yz⁴ = 2x²⁻²y⁶⁻¹z³⁻⁴ = 2x⁰y⁵z⁻¹ = 2·^y_z⁵

3 x⁴−3x³+2x²−5x+1

x³ =x⁴⁻³−3x³⁻³+ 2x²⁻³−5x¹⁻³+ _x¹3 = x¹−3 + 2x⁻¹−5x⁻²+x⁻³=x−3 + 2x⁻¹−5x⁻²+x⁻³

4 ((x+y)²)ⁿ⁺¹= (x+y)²ⁿ⁺²

5 (x²y³)⁵ =x¹⁰y¹⁵

6 (−3a²)³=−27a⁶

7 (2uv²)³

(6u²v)⁴ : ^(12u_(4u2⁵v^v34)⁾⁵² = ₆²³4u^u83vv⁴⁶12^45u2u^1010vv¹⁵⁸ = ₃4²2³⁴⁽²3²²(2^)52u)²¹³u^v1821v¹² = ₃²6¹³2^8uu^1318vv¹²¹² =

2⁵v⁹ 3⁶u⁵

Ubungsaufgaben zu Potenzen ¨

Schreiben Sie folgende Potenzen als Bruch:

1 x⁻³y−2

2 a⁻⁴a²a⁻¹

Eliminieren Sie die negativen Exponenten:

1 x²y⁻³z⁵ u⁻²v⁻¹

2 5x⁻ⁿ+3xⁿ⁻² x⁻ⁿ+x⁴⁻ⁿ

3 ₁

t⁻³

−4−2

4 ((−2)⁻³)²

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zu Potenzen

Schreiben Sie folgende Potenzen als Bruch:

1 x⁻³y−2 = _x3¹_y2

2 a⁻⁴a²a⁻¹ = _a^a4²a¹ = _a¹3

Eliminieren Sie die negativen Exponenten:

1 x²y⁻³z⁵ u⁻²v⁻¹ = ^x

2 1 y3z⁵

1 u2 1 v

=

x2z5 y3

1 u2v

= ^x2z_y⁵3^u2v 2 5x⁻ⁿ+3xⁿ⁻²

x⁻ⁿ+x⁴⁻ⁿ = ^(5x_(x⁻ⁿ−n^+3x+x⁴⁻ⁿⁿ⁻²)x^)xnn = ^5+3x_1+x²ⁿ⁻²4

3 ₁

t⁻³

−4−2

= ((t³)⁻⁴)⁻² =t²⁴

4 ((−2)⁻³)² = (−2)⁻⁶ = ₂¹6

Ubungsaufgaben zu Potenzen mit gebrochenem ¨ Exponenten

Schreiben Sie folgende Wurzeln als Potenzen:

1 √

x−y

2 √3

a²

3 p7

(u−2v)³

4 1

√3

a²

5 p7

(u−2v)³

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zu Potenzen mit gebrochenem Exponenten

Schreiben Sie folgende Wurzeln als Potenzen:

1 √

x−y = (x−y)^1/2

2 √3

a² =a^2/3

3 p7

(u−2v)³ = ((u−2v)³)^1/7= (u−2v)^3/7

4 1

√3

a² = (a⁻²)^1/3 =a^−2/3

5 p7

(u−2v)³ = (u−2v)^3/7

Ubungsaufgaben zu Wurzelgesetzen ¨

Berechnen Sie die folgenden Ausdr¨ucke:

1 √3

a+ 6√³ a−8√³

a

2 xpⁿ

(2x−y) +y²pⁿ

(2x−y)−pⁿ

(2x−y)

3 (√

a−√ b)(√

a+√ b)

Erweitern Sie die folgenden Br¨uche so, dass die Wurzeln im Nenner nicht mehr auftreten:

1 √2 3

2 a

√7

a³

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zu Wurzelgesetzen

Berechnen Sie die folgenden Ausdr¨ucke:

1 √3

a+ 6√³ a−8√³

a=−1·√³ a

2 xpⁿ

(2x−y) +y²pⁿ

(2x−y)−pⁿ

(2x−y) = (x+y²−1)√ⁿ 2x−y

3 (√

a−√ b)(√

a+√

b) = (√

a)²−(√

b)²=a−b

Erweitern Sie die folgenden Br¨uche so, dass die Wurzeln im Nenner nicht mehr auftreten:

1 √2 3 = ²

√3 3

2 a

√7

a³ = ^a

a^3/7 = ^a·a4/7

a^3/7·a^4/7 = ^a·a_a^4/7 =a^4/7 =√⁷ a⁴