1. L¨osung weitere ¨Ubungsaufgaben Statistik I SoSe 2019

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1. L¨ osung weitere ¨ Ubungsaufgaben Statistik I SoSe 2019

1. Aufgabe: Eine 2-Euro-M¨unze wird dreimal geworfen. Es sei A das Ereignis, dass mindestens zweimal hintereinander Zahl erscheint und B das Ereignis, dass alle W¨urfe das gleiche Ergebnis liefern. Bestimmen Sie:

a) A∪B b) A∩B

c) A∪B = (A∪B)^c d) A\B =A∩B^c L¨osung:

A = {ZZZ, ZZW, W ZZ}

B = {ZZZ, W W W}

Ω = {ZZZ, ZZW, ZW Z, ZW W, W ZZ, W ZW, W W Z, W W W}

A∪B = {ZZZ, ZZW, W ZZ, W W W} A∩B = {ZZZ}

(A∪B)^c = {ZW Z, ZW W, W ZW, W W Z} A\B =A∩B^c = {ZZW, W ZZ}

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2. Aufgabe: Sie lassen eine Produktion von Thermostaten zweifach kontrollieren. Aus den beobachteten H¨aufigkeiten wurden folgende Wahrscheinlichkeiten gesch¨atzt.

Kontrollger¨at 1 Kontrollger¨at 2 Wahrscheinlichkeit

nicht OK nicht OK 0,041

nicht OK OK 0,045

OK nicht OK 0,011

OK OK 0,903

Sei A_i das Ereignis, dass ein Teil der Produktion beim Kontrollger¨ati(i= 1,2) als OK erkannt wird.

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit f¨ur:

a) A^c₁∩A^c₂ b) A^c₁∩A₂ c) A₁∩A^c₂ d) A₁∩A₂

e) A₁∪A₂ f ) A₁∪A^c₂ g) A^c₁∪A₂ h) A^c₁∪A^c₂

i) A₁ j) A₂ k) A^c₁ l) A^c₂

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L¨osung:

a) bis d) sind gegeben:

P(A^c₁ ∩A^c₂) = 0,041 P(A^c₁ ∩A₂) = 0,045 P(A1 ∩A^c₂) = 0,011 P(A₁ ∩A₂) = 0,903

e) bis h) kann man aus a) bis d) mit der Regel von de Morgan bestimmen:

P(A₁∪A₂) = P((A^c₁∩A^c₂)^c) = 1−P(A^c₁∩A^c₂) = 1−0,041 = 0,959 P(A1∪A^c₂) = P((A^c₁∩A2)^c) = 1−P(A^c₁∩A2) = 1−0,045 = 0,955 P(A^c₁∪A₂) = P((A₁∩A^c₂)^c) = 1−P(A₁∩A^c₂) = 1−0,011 = 0,989 P(A^c₁∪A^c₂) = P((A₁∩A₂)^c) = 1−P(A₁∩A₂) = 1−0,903 = 0,097 i) und j) kann man wie folgt (Formel der totalen Wahrscheinlichkeit) ermitteln:

P(A1) = P(A1∩A2) +P(A1∩A^c₂) = 0,903 + 0,011 = 0,914 P(A₂) = P(A₂∩A₁) +P(A₂∩A^c₁) = 0,903 + 0,045 = 0,948 bleiben noch k) und l)

P(A^c₁) = 1−P(A₁) = 0,086 P(A^c₂) = 1−P(A₂) = 0,052

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b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten f¨urP(A₁|A^c₂) und P(A₁|A₂).

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P(A1|A^c₂) = P(A₁∩A^c₂)

P(A^c₂) = 0,011

0,052 = 0,2115 P(A₁|A₂) = P(A₁∩A₂)

P(A₂) = 0,903

0,948 = 0,9525

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c) Zeigen Sie, dass A1 und A2 nicht unabhängig sind. Warum ist das so, obwohl die beiden Kontrollgeräte unabhängig von einander arbeiten?

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P(A₁∩A₂) = 0,903 6= 0,866472 = 0,914·0,948 =P(A₁)·P(A₂)

=⇒ A1 und A2 sind nicht unabh¨angig.

Die Kontrollger¨ate arbeiten zwar unabh¨angig voneinander, aber die Ergebnisse der Kontrollen sollten im Idealfall gleich sein, da jeweils dieselben Thermostate getestet werden.

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d) Sie sollen dem Geschätsführer eine Schätzung angeben, wie viel Prozent der Produktion definitiv fehlerhaft ist und nicht verkauft werden kann. Als ”definitiv fehlerhaft” stufen Sie alle Thermostate ein, die durch beide Tests gefallen sind. Dieses unerfreuliche Ereignis heißeD.

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D=A^c₁∩A^c₂ =⇒ P(D) =P(A^c₁∩A^c₂) = 0,041

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e) Ferner sollen Sie sch¨atzen, wie viel Prozent wahrscheinlich defekt sind. Als

”wahrscheinlich defekt” gelten alle Thermostate, die mindestens bei einem Test durchgefallen sind. Dieses Ereignis heißeW.

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W =A^c₁∪A^c₂ =⇒ P(W) =P(A^c₁∪A^c₂) = 0,097

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3. Aufgabe: Es seien f¨ur die zwei Ereignisse A und B die Wahrscheinlichkeiten P(A) = 0,65 undP(B) = 0,8 gegeben:

a) Wie groß kann P(A∩B) h¨ochstens sein?

b) Wie groß muss P(A∪B) mindestens sein?

c) Weisen Sie nach, dass A und B keine unvereinbaren Ereignisse sein k¨onnen, also zeigen Sie P(A∩B)≥c > 0 !

Hinweis: Versuchen Sie ein solches czu finden.

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L¨osung:

Grenzfall f¨ur a) und b)

a)

P(A∩B)≤P(A) = 0,65 b)

P(A∪B)≥P(B) = 0,8 c)

unvereinbar:P(A∪B) =P(A) +P(B) = 0,65 + 0,8 = 1,45 Da P(A∪B)≤1, k¨onnen A und B nicht unvereinbar sein.

Die Berechnung muss f¨urP(A∪B) = 1 durchgef¨uhrt werden, da dortP(A∩B) minimal wird.

P(A∪B) = P(A) +P(B)−P(A∩B) P(A∩B) = P(A) +P(B)−P(A∪B) P(A∩B)≥0,65 + 0,8−1 = 0,45 = c

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4. Aufgabe: Die folgenden Probleme wurden nach Chevalier de Méré (1607-1684) benannt. Seine Überlegungen führten zu den Trugschluss, dass jeweils die Ereignisse AundBin den folgenden Problemen gleichwahrscheinlich sind. Blaise Pascal (1623- 1662) löste beide Probleme.

a) •Ein fairer W¨urfel wird viermal geworfen.

Das EreignisA ist: Es wird (mindestens) eine Sechs gew¨urfelt.

L¨osung:

A - Es wird mindestens eine Sechs gew¨urfelt.

A^c - Es wird keine Sechs gew¨urfelt.

P(A^c) = 5 6· 5

6 ·5 6 · 5

6 =

5

6

4

P(A) = 1−P(A^c) = 1−

5

6

4

≈0,5177 (rund 52%)

•Zwei faire W¨urfel werden 24-mal geworfen.

Das EreignisB ist: Es wird (mindestens) eine Doppelsechs gew¨urfelt.

L¨osung:

B - Es wird mindestens eine Doppelsechs gew¨urfelt.

B^c - Es wird keine Doppelsechs S gew¨urfelt.

P(B^c) =

35

36

24

P(B) = 1−P(B^c) = 1−

35

36

24

≈0,4914 (rund 49%) b) •Drei faire W¨urfel werden einmal geworfen.

Das EreignisA ist: Die Augensumme ist 11.

Das EreignisB ist: Die Augensumme ist 12.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der beiden EreignisseA und B. L¨osung:

Für den ersten Würfelgibt es 6 mögliche Ereignisse, genauso für den zweiten Würfelund für dendritten Würfel.

Damit sind alle m¨oglichen W¨urfelereignisse:

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Es gibt also 216 Elementarereignisse, welche alle gleichwahrscheinlich sind.

Jetzt ist noch die Frage, wieviele Elementarereignisse liegen inA und wieviele inB?

A = {641, 614, 632, 623, 551, 515, 542, 524, 533, 461, 416, 452, 425, 443, 434, 362, 326, 353, 335, 344, 263, 236, 254, 245, 164, 146, 155}

InA liegen 27 Elementarereignisse, damit ist P(A) = 27

216.

B = {651, 615, 642, 624, 633, 561, 516, 552, 525, 543, 534, 462, 426, 453, 435, 444, 363, 336, 354, 345, 264, 246, 255, 165, 156}

InB liegen 25 Elementarereignisse, damit ist P(B) = 25

216.

Würde man die EreignisseAundB nur durch die 3 beobachteten Augenzahlen beschreiben, ohne zu unterscheiden welcher Würfel welche Augenzahl gewürfelt hat, dann lauten die Ereignisse:

A = {641, 632, 551, 542, 533, 443}

B = {651, 642, 633, 552, 543, 444}

Diese Betrachtung kann zu den Fehlschluss f¨uhren, dass A und B gleichwahrscheinlich sind, weil die Anzahl der Ereignisse in A und B gleich ist. Aber A und B bestehen nicht mehr aus gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen.

Damit lautet die Berechnung der beiden Wahrscheinlichkeiten hier:

P(A) = P({641}) +P({632}) +P({551}) +P({542}) +P({533}) +P({443})

= 6

216 + 6

216 + 3

216 + 6

216 + 3

216 = 27 216 P(B) = P({651}) +P({642}) +P({633}) +P({552}) +P({543}) +P({444})

= 6

216 + 6

216 + 3

216 + 6

216 + 1

216 = 25 216