4. L¨osung weitere ¨ Ubungsaufgaben Statistik I SoSe 2019
1. Aufgabe: Die Seiten eines zw¨olfseitigen W¨urfels sind mit den Zahlen 1 bis 12 bedruckt. Sei X die zuf¨allige Augenzahl, welche nach einem Wurf oben liegt. Der W¨urfel sei symmetrisch, so dass alle Zahlen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gew¨urfelt werden.
a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion an! Wie istX verteilt?
b) Bestimmen Sie den Erwartungswert, die Varianz, die Standardabweichung und den Variationskoeffizienten vonX!
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ur, dass i) die gew¨urfelte Augenzahl durch 3 teilbar ist?
ii) die gew¨urfelte Augenzahl eine Primzahl ist?
iii) die gew¨urfelte Augenzahl gr¨oßer als 6 aber h¨ochstens 10 ist?
L¨osung: X - zuf¨allige Augenzahl, welche oben liegt.
a)
P(X =k) = 1
12 k = 1, . . .12 X ist diskret gleichverteilt auf {1,2, . . . ,12}.
b)
EX = 1·P(X = 1) + 2·P(X = 2) +. . .+ 12·P(X = 12)
= (1 + 2 +. . .+ 12)· 1 12
= 12·13 2 · 1
12 = 13 2 = 6,5
EX2 = 12·P(X = 1) + 22·P(X = 2) +. . .+ 122·P(X = 12)
= (12+ 22 +. . .+ 122)· 1
12 = 650 12 VarX = E(X2)−(EX)2
= 650
12 −6,52 = 11,9167 σX =√
VarX = p
11,9167 = 3,452 Hinweis:
IstX diskret gleichverteilt auf {1,2, . . . , n}, dann ist EX = n+12 und VarX = n212−1.
Hier istn= 12 und damitEX = 132 = 6,5 undVarX = 12122−1 = 14312 = 11,9167.
VX = σX
EX = 3,452
6,5 = 0,531 c) i) Die gew¨urfelte Augenzahl ist durch 3 teilbar:
P(X = 3) +P(X = 6) +P(X = 9) +P(X = 12) = 4 12 = 1
3 ii) Die gew¨urfelte Augenzahl ist eine Primzahl ist:
P(X = 2) +P(X = 3) +P(X = 5) +P(X = 7) +P(X = 11) = 5 12 iii) Die gew¨urfelte Augenzahl ist gr¨oßer als 6 aber h¨ochstens 10:
P(X = 7) +P(X = 8) +P(X = 9) +P(X = 10) = 4 12 = 1
3 2. Aufgabe:
Ein Atomreaktor muss notfallm¨aßig abgeschaltet werden, wenn die Temperatur im Reaktorkern ¨uber ein bestimmtes Niveau ansteigt. Dazu werden Bimetallschalter eingebaut, die bei ¨Uberschreitung der Grenztemperatur ein Signal ausl¨osen.
Leider hat unter der gegebenen Strahlenbelastung jeder der Schalter eine begrenzte Lebensdauer L(in Tagen), wobei die Verteilungsfunktion mit den Parameter α= 2 und β = 0,5·103 in der folgenden Form gegeben ist:
FL(x) = 1−e−(xβ)α falls x≥0.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass solch ein Schalter i) mindestens 500 Tage funktioniert?
ii) h¨ochstens 1000 Tage funktioniert?
iii) mindestens 500 Tage und h¨ochsten 1000 Tage funktioniert?
b) Bestimmen Sie den Median und die Viertelquantile (25% und 75%-Quantil) dieser Verteilung!
L¨osung: L- zuf¨allige Lebendauer (in Tagen).
a) i)
P(L≥500) = 1−P(L <500) = 1−FL(500)
= 1−
³
1−e−(500500)2´
=e−1 ≈0,3679 ii)
P(L≤1000) = FL(1000)
= 1−e−(1000500)2 = 1−e−4 ≈0,9817
iii)
P(500≤L≤1000) = FL(1000)−FL(500)
= 1−e−(1000500)2 −
³
1−e−(500500)2´
=e−1−e−4 ≈0,3496 b) p-Quantil:
FL(xp) = p 1−e−(500xp)2 = p
e−(500xp)2 = 1−p
−
³ xp 500
´2
= ln(1−p)
³ xp 500
´2
= −ln(1−p) xp = 500·p
−ln(1−p) Median,p= 0.5:
x0,5 = 500·p
−ln(1−0,5)
= 500·p
−ln(0,5)
= 500·p
ln(2) = 416,27
untere Viertelquantil,p= 0.25:
x0,25 = 500·p
−ln(1−0,25)
= 500·p
−ln(0,75)
= 500· s
−ln µ3
4
¶
= 500· s
ln µ4
3
¶
= 268,18
obere Viertelquantil,p= 0.75:
x0,75 = 500·p
−ln(1−0,75)
= 500·p
−ln(0,25)
= 500· s
−ln µ1
4
¶
= 500·p
ln(4) = 588,705
3. Aufgabe:
a) Bestimmen Sie a so, dass f die Dichte einer stetigen Zufallsvariable ist.
b) Begr¨unden Sie, dass der Median dieser Verteilung gleich 5 ist.
c) Warum stimmen bei dieser Verteilung Median und Erwartungswert ¨uberein?
L¨osung:
a) Die Fl¨ache unter der Dichte ist die Gesamtwahrscheinlichkeit und damit gleich 1. In den Bereichen von 2 bis 4 und von 6 bis 8 sind die Fl¨achenDreieckeund im Bereich von 4 bis 6 ist die Fl¨ache einRechteck.
Z 8
2
f(x)dx = Z 4
2
f(x)dx+ Z 6
4
f(x)dx+ Z 8
6
f(x)dx
= 1
2 ·2·a+2·a+ 1
2·2·a= 4·a= 1 =⇒ a= 1
4 = 0,25 b) Die Zufallsvariable ist symmetrisch um 5 verteilt.
Damit istFX(5) =P(X <5) = 0,5, d.h. der Median x0,5 ist 5.
c) Bei einer symmetrischen Verteilung stimmen Median und Erwartungswert
¨uberein.
