2. L¨osung weitere ¨ Ubungsaufgaben Statistik I SoSe 2019
1. Aufgabe: Drei Lokalzeitungen teilen den Markt in einer Stadt unter sich auf.
Dabei hat Zeitung A 45% Marktanteil, Zeitung B 37%, und bei Zeitung C sind es 18%. Bei Zeitung A erfolgten 10% des Verkaufs an Abonnenten, bei Zeitung B sind dies 60% und bei Zeitung C 75%.
Ein B¨urger dieser Stadt liest zum Fr¨uhst¨uck seine abonnierte Lokalzeitung.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich dabei um die Zeitung C? Formulieren Sie vor der Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit relevante Ereignisse und geben Sie daf¨ur die aus dem Text folgenden Wahrscheinlichkeiten an.
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L¨osung:
A: Kunde liest Zeitung A B: Kunde liest Zeitung B C: Kunde liest Zeitung C
Abo: Der Kunde hat die Zeitung abonniert P(A) = 0,45 P(Abo|A) = 0,1
P(B) = 0,37 P(Abo|B) = 0,6 P(C) = 0,18 P(Abo|C) = 0,75
P(Abo) =P(Abo∩A) +P(Abo∩B) +P(Abo∩C)
=P(Abo|A)·P(A) +P(Abo|B)·P(B) +P(Abo|C)·P(C)
= 0,1·0,45 + 0,6·0,37 + 0,75·0,18 = 0,402 P(C|Abo) = P(Abo|C)·P(C)
P(Abo) = 0,75·0,18
0,402 = 0,3358
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3358 handelt es sich um die Zeitung C.
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2. Aufgabe: Ein Freemail-Anbieter m¨ochte zum Schutz seiner Kunden einen Spam- Filter anbieten. Es gibt zwei Merkmale (Merkmal 1 und Merkmal 2), welche auf eine Spam-Mail hindeuten. Damit k¨onnen die Mails in drei Gruppen eingeteilt werden:
Gruppe 1: Mails mit Merkmal 1
Gruppe 2: Mails mit Merkmal 2 und ohne Merkmal 1 Gruppe 3: Mails ohne die Merkmale 1 und 2
Der Anteil der drei Gruppen am Gesamtmailaufkommen und die Spam-Mail-Quote sind in der folgenden Tabelle zu finden:
Gruppe Anteil an den Mails Spam-Mail-Quote
1 5% 95%
2 15% 70%
3 80% 20%
a) Formulieren Sie vor den Berechnungen der gesuchten Wahrscheinlichkeiten re- levante Ereignisse und geben Sie daf¨ur die aus der Tabelle folgenden Wahr- scheinlichkeiten an.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Mail eine Spam-Mail ist?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine Spam-Mail weder Merkmal 1 noch Merkmal 2, stammt damit also aus der Gruppe 3?
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L¨osung:
a) Ai - eine zuf¨allig ausgew¨ahlte Mail ist aus der Gruppe i(i= 1, . . . ,3).
S - eine zuf¨allig ausgew¨ahlte Mail ist eine Spam-Mail.
P(A1) = 0,05 P(S|A1) = 0,95 P(A2) = 0,15 P(S|A2) = 0,70 P(A3) = 0,80 P(S|A3) = 0,20 b)
P(S) = X3
i=1
P(S|Ai)·P(Ai)
= 0,95·0,05 + 0,70·0,15 + 0,20·0,80 = 0,3125
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Mail eine Spam-Mail ist betr¨agt 0,3125.
c)
P(A3|S) = P(S|A3)·P(A3)
P(S) = 0,2·0,8
0,3125 = 0,512 Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,512 stammt eine Spam-Mail aus der Gruppe 3.
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3. Aufgabe: Bei einem Teeladen sind 70% der Kunden weiblich und 30% m¨annlich.
Der Inhaber des Ladens weiß aus langer Erfahrung, welcher Kunde lieber Fr¨uchte- tee und welcher lieber schwarzen Tee trinkt. Bei den weiblichen Kunden trinken 40% lieber Fr¨uchtetee und 60% lieber schwarzen Tee. Bei den m¨annlichen Kunden bevorzugen 55% Fr¨uchtetee und 45% schwarzen Tee.
Ein Kunde des Ladens serviert seinen G¨asten Fr¨uchtetee, weil er diesen selbst be- vorzugt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ur, dass dieser Kunde weiblich ist? Formu- lieren Sie vor der Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit relevante Ereignisse und geben Sie daf¨ur die aus dem Text folgenden Wahrscheinlichkeiten an.
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L¨osung:
W: Kunde ist weiblich
F: Kunde bevorzugt Fr¨uchtetee P(W) = 0,7 P(F|W) = 0,4 P(Wc) = 0,3 P(F|Wc) = 0,55
P(F) =P(F ∩W) +P(F ∩Wc) =P(F|W)·P(W) +P(F|Wc)·P(Wc)
= 0,4·0,7 + 0,55·0,3 = 0,445 P(W|F) = P(F|W)·P(W)
P(F) = 0,4·0,7
0,445 = 0,6292
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Kunde welcher Fr¨uchtetee bevorzugt weiblich ist, betr¨agt 0,6292.
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