1. weitere ¨ Ubungsaufgaben Statistik I SoSe 2019
1. Aufgabe: Eine 2-Euro-M¨unze wird dreimal geworfen. Es sei A das Ereignis, dass mindestens zweimal hintereinander Zahl erscheint und B das Ereignis, dass alle W¨urfe das gleiche Ergebnis liefern. Bestimmen Sie:
a) A∪B b) A∩B
c) A∪B = (A∪B)c d) A\B =A∩Bc
2. Aufgabe: Sie lassen eine Produktion von Thermostaten zweifach kontrollieren. Aus den beobachteten H¨aufigkeiten wurden folgende Wahrscheinlichkeiten gesch¨atzt.
Kontrollger¨at 1 Kontrollger¨at 2 Wahrscheinlichkeit
nicht OK nicht OK 0,041
nicht OK OK 0,045
OK nicht OK 0,011
OK Ok 0,903
Sei Ai das Ereignis, dass ein Teil der Produktion beim Kontrollger¨at i(i= 1,2) als OK erkannt wird.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit f¨ur:
a) Ac1∩Ac2 b) Ac1∩A2
c) A1∩Ac2 d) A1∩A2
e) A1∪A2 f) A1∪Ac2 g) Ac1∪A2 h) Ac1∪Ac2
i) A1 j) A2
k) Ac1 l) Ac2
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten f¨urP(A1|Ac2) und P(A1|A2).
c) Zeigen Sie, dass A1 und A2 nicht unabh¨angig sind. Warum ist das so, obwohl die beiden Kontrollger¨ate unabh¨angig von einander arbeiten?
d) Sie sollen dem Gesch¨atsf¨uhrer eine Sch¨atzung angeben, wie viel Prozent der Produktion definitiv fehlerhaft ist und nicht verkauft werden kann. Als ”defi- nitiv fehlerhaft” stufen Sie alle Termostate ein, die durch beide Tests gefallen sind. Dieses unerfreuliche Ereignis heißeD.
e) Ferner sollen Sie sch¨atzen, wie viel Prozent wahrscheinlich defekt sind. Als
”wahrscheinlich defekt” gelten alle Thermostate, die mindestens bei einem Test durch gefallen sind. Dieses Ereignis heiße W.
3. Aufgabe: Es seien f¨ur die zwei Ereignisse A und B die Wahrscheinlichkeiten P(A) = 0,65 undP(B) = 0,8 gegeben:
a) Wie groß kann P(A∩B) h¨ochstens sein?
b) Wie groß muss P(A∪B) mindestens sein?
c) Weisen Sie nach, dass A und B keine unvereinbaren Ereignisse sein k¨onnen, also zeigen Sie P(A∩B)≥c > 0 !
Hinweis: Versuchen Sie ein solches czu finden.
4. Aufgabe: Die folgenden Probleme wurden nach Chevalier de M´er´e (1607-1684) benannt. Seine ¨Uberlegungen f¨uhrten zu den Trugschluss, dass jeweils die Ereignisse AundBin den folgenden Problemen gleichwahrscheinlich sind. Blaise Pascal (1623- 1662) l¨oste beide Probleme.
a) •Ein fairer W¨urfel wird viermal geworfen.
Das EreignisA ist: Es wird (mindestens) eine Sechs gew¨urfelt.
•Zwei faire W¨urfel werden 24-mal geworfen.
Das EreignisB ist: Es wird (mindestens) eine Doppelsechs gew¨urfelt.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der beiden EreignisseA und B. b) •Drei faire W¨urfel werden einmal geworfen.
Das EreignisA ist: Die Augensumme ist 11.
Das EreignisB ist: Die Augensumme ist 12.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der beiden EreignisseA und B.
