Wirtschaftsmathematik Übungsaufgaben zur Differentialrechnung Sabine Hölscher, M.Sc. 22. April 2021

(1)

Wirtschaftsmathematik

Ubungsaufgaben zur Differentialrechnung¨

Sabine H¨olscher, M.Sc.

22. April 2021

Sabine H¨olscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 22. April 2021 1 / 64

(2)

1 Ubungsaufgaben zur Ableitung der elementaren Funktionen¨

2 Ableitungsregeln

3 H¨ohere Ableitungen

4 Untersuchung des Verhaltens von Funktionen mittels ihrer Ableitung

(3)

Ubungsaufgaben zur 1. Ableitung von Wurzelfunktionen ¨

Ermitteln Sie die 1. Ableitung der folgenden Wurzelfunktionen:

1 f(x) = ³

√ x²

2 f(x) =√⁷ x⁴

3 f(x) = ²ⁿ⁻¹√ x³

(4)

L¨ osung - Ableitung der elementaren Funktionen

f(x) =√³ x²

f(x) = ³

√

x² (1)

f(x) =x^2/3 (2)

f⁰(x) = 2

3·x^2/3−1 (3)

f⁰(x) = 2

3·x^−1/3 (4)

f⁰(x) = 2

3·x^1/3 (5)

f⁰(x) = 2 3·√³

x (6)

(5)

L¨ osung - Ableitung der elementaren Funktionen

f(x) =√⁷ x⁴

f(x) = ⁷

√

x⁴ (7)

f(x) =x^4/7 (8)

f⁰(x) = 4

7·x^4/7−1 (9)

f⁰(x) = 4

7·x^−3/7 (10)

f⁰(x) = 4 7·√⁷

x³ (11)

(6)

L¨ osung - Ableitung der elementaren Funktionen

f(x) = ²ⁿ⁻¹√ x³

f(x) = ²ⁿ⁻¹

√

x³ (12)

f(x) =x⁽²ⁿ⁻¹⁾³ (13)

f⁰(x) = 3

(2n−1)·x²ⁿ⁻¹³ ⁻¹ (14) f⁰(x) = 3

(2n−1)·x

3−(2n−1)

2n−1 (15)

f⁰(x) = 3

(2n−1)·x⁻²ⁿ⁻⁴²ⁿ⁻¹ (16) f⁰(x) = 3

(2n−1)·x²ⁿ⁻⁴²ⁿ⁻¹

(17)

f⁰(x) = 3

(2n−1)· ²ⁿ⁻¹√

x²ⁿ⁻⁴ (18)

(19)

(7)

2 Ableitungsregeln

(8)

Ubungsaufgaben zur Behandlung eines konstanten Faktors ¨

Ermitteln Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen:

1 f(x) =−7x²

2 f(x) = 5√³ x²

3 f(x) = ¹₇x⁷

4 x(p) = _n−1¹ pⁿ²⁻¹

(9)

L¨ osung - Behandlung eines konstanten Faktors

f(x) =−7x²

f(x) =−7x² (20)

f⁰(x) =−14x (21)

(10)

L¨ osung - Behandlung eines konstanten Faktors

f(x) = 5√³ x²

f(x) = 5³

√

x² (22)

f(x) = 5x^2/3 (23)

f⁰(x) = 5·2

3 ·x^−1/3 (24)

f⁰(x) = 10

3·x^1/3 (25)

f⁰(x) = 10 3·√³

x (26)

(27)

(11)

L¨ osung - Behandlung eines konstanten Faktors

f(x) = ¹₇x⁷

f(x) = 1

7x⁷ (28)

f⁰(x) =x⁶ (29)

(12)

L¨ osung - Behandlung eines konstanten Faktors

x(p) = _n−1¹ pⁿ²⁻¹

x(p) = 1

n−1pⁿ²⁻¹ (30)

x⁰(p) = 1

n−1(n²−1)pⁿ²⁻² (31) x⁰(p) = n²−1

n−1pⁿ²⁻² (32)

Zur weiteren Vereinfachung k¨onnen wir den Bruch mit ⁽ⁿ⁺¹⁾_(n+1) erweitern, die dritte binomische Formel anwenden und k¨urzen:

x⁰(p) = (n²−1)·(n+ 1)

(n−1)·(n+ 1)pⁿ²⁻² (33) x⁰(p) = (n²−1)·(n+ 1)

n²−1² pⁿ²⁻² (34)

x⁰(p) = (n+ 1)·pⁿ²⁻² (35) (36)

(13)

Ubungsaufgaben zur Summenregel ¨

1 f(x) = 2x−3

2 f(x) =−2x²+x+ 5

3 f(x) = 0,1x⁴−2,3x³+ 0,8x²−8,2x+ 6,4

4 u(t) = 2tⁿ⁺¹−3tⁿ+ 1

5 v(s) =as²+ 2abs−c

6 E(x) =−x³+ 3x²−2x+ 4

(14)

L¨ osung - Summenregel

f(x) = 2x−3

f(x) = 2x−3 (37)

f⁰(x) = 2 (38)

(15)

L¨ osung - Summenregel

f(x) =−2x²+x+ 5

f(x) =−2x²+x+ 5 (39)

f⁰(x) =−4x+ 1 (40)

(16)

L¨ osung - Summenregel

f(x) = 0,1x⁴−2,3x³+ 0,8x²−8,2x+ 6,4

f(x) = 0,1x⁴−2,3x³+ 0,8x²−8,2x+ 6,4 (41) f⁰(x) = 0,4x³−6,9x²+ 1,6x−8,2 (42)

(17)

L¨ osung - Summenregel

u(t) = 2tⁿ⁺¹−3tⁿ+ 1

u(t) = 2tⁿ⁺¹−3tⁿ+ 1 (43)

u⁰(t) = (n+ 1)2tⁿ−3ntⁿ⁻¹ (44)

(18)

L¨ osung - Summenregel

v(s) =as²+ 2abs−c

v(s) =as²+ 2abs−c (45)

v⁰(s) = 2as+ 2ab (46)

(19)

L¨ osung - Summenregel

E(x) =−x³+ 3x²−2x+ 4

E(x) =−x³+ 3x²−2x+ 4 (47)

E⁰(x) =−3x²+ 6x−2 (48)

(20)

Ubungsaufgaben zur Produktregel ¨

1 f(x) = 6x√ x

2 f(x) = (x²−x+ 1)ln(x)

3 h(z) =xz²e^z

4 u(t) = 2t²·ln(t)·e^t

(21)

L¨ osung - Produktregel

f(x) = 6x√ x

f(x) = 6x√

x (49)

u(x) = 6x (50)

v(x) =√

x (51)

u⁰(x) = 6 (52)

v⁰(x) = 1 2√

x (53)

f⁰(x) =u⁰v+uv⁰ (54)

f⁰(x) = 6√

x+ 6x 1 2√

x (55)

(56)

(22)

L¨ osung - Produktregel

Die Ableitungsfunktion kann weiter vereinfacht werden:

f⁰(x) = 6√

x+ 6x 1 2√

x (57)

f⁰(x) = 6√

x+ 3x 1

x^(1/2) (58)

f⁰(x) = 6√

x+ 3x¹·x^−(1/2) (59)

f⁰(x) = 6√

x+ 3·x^1−(1/2) (60)

f⁰(x) = 6√

x+ 3·x^(1/2) (61)

f⁰(x) = 6√

x+ 3·√

x (62)

f⁰(x) = 9√

x (63)

(64)

(23)

L¨ osung - Produktregel

f(x) = (x²−x+ 1)ln(x)

f(x) = (x²−x+ 1)ln(x) (65)

u(x) = (x²−x+ 1) (66)

v(x) =ln(x) (67)

u⁰(x) = 2x−1 (68)

v⁰(x) = 1

x (69)

f⁰(x) =u⁰v+uv⁰ (70)

f⁰(x) = (2x−1)ln(x) + (x²−x+ 1)1

x (71)

f⁰(x) = (2x−1)ln(x) +(x²−x+ 1)

x (72)

(24)

L¨ osung - Produktregel

h(z) =xz²e^z

h(z) =xz²e^z (73)

u(z) =xz² (74)

v(z) =e^z (75)

u⁰(z) = 2xz (76)

v⁰(z) =e^z (77)

f⁰(z) =u⁰v+uv⁰ (78)

f⁰(z) = 2xze^z+e^zxz² (79) f⁰(z) = (e^zx)·(2z+z²) (80) f⁰(z) = (e^zxz)·(2 +z) (81) (82)

(25)

L¨ osung - Produktregel

u(t) = 2t²·ln(t)·e^t

u(t) = 2t²·ln(t)·e^t (83)

a(t) = 2t² (84)

b(t) =ln(t) (85)

c(t) =e^t (86)

a⁰(t) = 4t (87)

b⁰(t) = 1

t (88)

c⁰(t) =e^t (89)

u⁰(t) =a⁰bc+ab⁰c+abc⁰ (90) u⁰(t) = 4tln(t)e^t+ 2t²1

te^t+ 2t²ln(t)e^t (91) u⁰(t) = 2te^t(2ln(t) + 1 +tln(t)) (92)

(26)

Ubungsaufgaben zur Quotientenregel ¨

1 f(x) = ^2x²_−x+2^−5x+6

2 f(x) = _x−e^ln(x)x 3 u(z) = ^az_bz²2⁻¹+1

4 x(t) = ^s

√t−ln(t) t√³

s

(27)

L¨ osung - Quotientenregel

f(x) = ^2x_−x+2²^−5x+6

f(x) = 2x²−5x+ 6

−x+ 2 (93)

u(x) = 2x²−5x+ 6 (94)

v(x) =−x+ 2 (95)

u⁰(x) = 4x−5 (96)

v⁰(x) =−1 (97)

(v(x))² = (−x+ 2)² (98)

f⁰(x) = u⁰v−uv⁰

v² (99)

f⁰(x) = (4x−5)(−x+ 2)−(2x²−5x+ 6)(−1)

(−x+ 2)² (100)

f⁰(x) = −2x²+ 8x−4

(−x+ 2)² (101)

(28)

L¨ osung - Quotientenregel

f(x) = _x−e^ln(x)x

f(x) = ln(x)

x−e^x (102)

u(x) =ln(x) (103)

v(x) =x−e^x (104)

u⁰(x) = 1

x (105)

v⁰(x) = 1−e^x (106)

(v(x))² = (x−e^x)² (107)

f⁰(x) = u⁰v−uv⁰

v² (108)

f⁰(x) =

1

x(x−e^x)−ln(x)(1−e^x)

(x−e^x)² (109)

(110)

(29)

L¨ osung - Quotientenregel

u(z) = _bz^az²2⁻¹+1

u(z) = az²−1

bz²+ 1 (111)

f(z) =az²−1 (112)

g(z) =bz²+ 1 (113)

f⁰(z) = 2az (114)

g⁰(z) = 2bz (115)

(g(z))² = (bz²+ 1)² (116)

u⁰(z) = 2az(bz²+ 1)−(az²−1)2bz

(bz²+ 1)² (117)

(118)

(30)

L¨ osung - Quotientenregel

Die Ableitung kann weiter vereinfacht werden:

u⁰(z) =2az(bz²+ 1)−(az²−1)2bz

(bz²+ 1)² (119)

u⁰(z) =2azbz²+ 2az−az²2bz+ 2bz

(bz²+ 1)² (120)

u⁰(z) =2abz³+ 2az−2abz³+ 2bz

(bz²+ 1)² (121)

u⁰(z) = 2az+ 2bz

(bz²+ 1)² (122)

u⁰(z) = 2z(a+b)

(bz²+ 1)² (123)

(124)

(31)

L¨ osung - Quotientenregel

x(t) = ^s

√t−ln(t) t√³

s

x(t) = s√

t−ln(t) t√³

s (125)

f(t) =s√

t−ln(t) (126)

g(t) =t√³

s (127)

f⁰(t) = s 2√

t −1

t (128)

g⁰(t) =√³

s (129)

(g(t))² = (t√³

s)² (130)

x⁰(t) = ( ^s

2√

t −¹_t)t√³

s −(s√

t−ln(t))√³ s (t√³

s)² (131)

(132)

(32)

L¨ osung - Quotientenregel

Die Ableitung kann weiter vereinfacht werden:

x⁰(t) =

(₂^√^s_t −¹_t)t√³

s −(s√

t−ln(t))√³ s (t√³

s)² (133)

x⁰(t) =

√3

s·

s·t 2√

t −1

− s√

t−ln(t)

t²√³

s² (134)

x⁰(t) =

s 2

√t−1

− s√

t−ln(t)

t²√³

s (135)

x⁰(t) = ln(t)−^s₂√ t−1 t²√³

s (136)

(137)

(33)

Ubungsaufgaben zur Kettenregel ¨

1 f(x) =√

2x²−x+ 1

2 f(x) =e^−x

3 f(x) =ln(x²+ 1)

(34)

L¨ osung - Kettenregel

f(x) =√

2x²−x+ 1

f(x) =u(v(x)) (138)

u(v) =√

v (139)

v(x) = 2x²−x+ 1 (140)

u⁰(v) = 1 2√

v (141)

v⁰(x) = 4x−1 (142)

f⁰(x) =u⁰(v)·v⁰(x) (143) f⁰(x) = 4x−1

2√

v (144)

f⁰(x) = 4x−1 2√

2x²−x+ 1 (145)

(35)

L¨ osung - Kettenregel

f(x) =e^−x

f(x) =u(v(x)) (146)

u(v) =e^v (147)

v(x) =−x (148)

u⁰(v) =e^v (149)

v⁰(x) =−1 (150)

f⁰(x) =−1·e^v (151)

f⁰(x) =−e^−x (152)

(36)

L¨ osung - Kettenregel

f(x) =ln(x²+ 1)

f(x) =u(v(x)) (153)

u(v) =ln(v) (154)

v(x) =x²+ 1 (155)

u⁰(v) = 1

v (156)

v⁰(x) = 2x (157)

f⁰(x) = 2x

v (158)

f⁰(x) = 2x

x²+ 1 (159)

(37)

Gemischte ¨ Ubungsaufgaben zur 1. Ableitung von Funktionen

1 f(x) =−3x⁵+ 2x³−x²+x−1

2 f(x) = _−x^7x²2^−x+3+x−4

3 f(x) = 7x²e^−2x+1

(38)

L¨ osung - Gemischte ¨ Ubungsaufgaben

f(x) =−3x⁵+ 2x³−x²+x−1

f⁰(x) =−15x⁴+ 6x²−2x+ 1 (160)

(39)

L¨ osung - Gemischte ¨ Ubungsaufgaben

f(x) =f(x) = _−x^7x²2^−x+3+x−4

f(x) = u(x)

v(x) (161)

u(x) = (7x²−x+ 3) (162)

v(x) = (−x²+x−4) (163)

u⁰(x) = (14x−1) (164)

v⁰(x) = (−2x+ 1) (165)

f⁰(x) = (14x−1)(−x²+x−4)−(7x²−x+ 3)(−2x+ 1)

(−x²+x−4)² (166)

f⁰(x) = 6x²−50x+ 1

(−x²+x−4)² (167)

(40)

L¨ osung - Gemischte ¨ Ubungsaufgaben

f(x) = 7x²e^−2x+1 Struktur identifizieren:

f(x) =u(x)·v(w(x)) (168)

u(x) = 7x² (169)

v(x) =e^−2x+1 (170)

v(w) =e^w (171)

w(x) =−2x+ 1 (172)

Ableitungen berechnen:

u⁰(x) = 14x (173)

v⁰(w) =e^w (174)

w⁰(x) =−2 (175)

v⁰(w(x)) =−2e^w =−2e^−2x+1 (176)

(41)

L¨ osung - Gemischte ¨ Ubungsaufgaben

Produktregel anwenden: f⁰(x) =u⁰(x)·v(x) +u(x)·v⁰(x)

f⁰(x) = 14x·e^−2x+1+ 7x²·(−2)e^−2x+1 (177) f⁰(x) = 14x·e^−2x+1−14x²·e^−2x+1 (178) f⁰(x) = 14x·e^−2x+1(1−x) (179)

(42)

2 Ableitungsregeln

(43)

Ubungsaufgaben zu h¨ ¨ oheren Ableitungen von Funktionen

Ermitteln Sie die ersten vier Ableitungen der folgenden Funktion:

1 f(x) = 6x⁴+ 3x³−x²+x−6

(44)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zu h¨ oheren Ableitungen von Funktionen

f(x) = 6x⁴+ 3x³−x²+x−6

f⁰(x) = 24x³+ 9x²−2x+ 1 (180) f⁰⁰(x) = 72x²+ 18x−2 (181)

f⁰⁰⁰(x) = 144x+ 18 (182)

f⁰⁰⁰⁰(x) = 144 (183)

(45)

2 Ableitungsregeln

(46)

Ubungsaufgaben zur Steigung einer Funktion ¨

Bestimmen Sie die Steigung des Graphen folgender Funktion (in welchen Intervallen des jeweiligen Definitionsbereiches steigt sie, in welchem f¨allt sie?)

1 f(x) =−12x²+ 8x+ 4

(47)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zur Steigung einer Funktion

f(x) =−12x²+ 8x+ 4

f⁰(x) =−24x+ 8 (184)

−24x+ 8>0 (185)

1

3 >x (186)

Im Bereich ¹₃ >x ist die erste Ableitung gr¨oßer Null und die Funktion steigt

−24x+ 8<0 (187)

1

3 <x (188)

Im Bereich ¹₃ <x ist die erste Ableitung kleiner Null und die Funktion f¨allt

(48)

Ubungsaufgaben zum Kr¨ ¨ ummungsverhalten

Untersuchen Sie das Kr¨ummungsverhalten folgender Funktionen (in welchen Intervallen des Definitionsbereichs sind die Funktionen konvex, in welchen konkav?)

1 f(x) =x³−6x²+ 10x+ 5

(49)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zum Kr¨ ummungsverhalten

f(x) =x³−6x²+ 10x+ 5

f⁰(x) = 3x²−12x+ 10 (189)

f⁰⁰(x) = 6x−12 (190)

6x−12>0 (191)

x>2 (192)

Im Bereich x>2 ist die zweite Ableitung gr¨oßer Null und die Funktion ist in diesem Bereich konvex

6x−12<0 (193)

x<2 (194)

Im Bereich x<2 ist die zweite Ableitung kleiner Null und die Funktion ist in diesem Bereich konkav

(50)

Ubungsaufgaben zur Bestimmung von relativen Extrema ¨

Ermitteln Sie die relativen Extrema der folgenden Funktion:

1 f(x) =x²−6x+ 14

(51)

L¨ osung - ¨ Ubungsaufgaben zur Bestimmung von relativen Extrema

f(x) =x²−6x+ 14

f⁰(x) = 2x−6 (195)

f⁰⁰(x) = 2 (196)

Die erste Ableitung wird gleich Null gesetzt:

2x−6 = 0x = 3 (197)

Die zweite Ableitung ist stets positiv, so dass die identifizierte Stelle ein relatives Minimum ist

Abschließend ist der Funktionswert beix = 3 zu ermitteln:

f(3) = 3³−6·3 + 14 = 5, das relative Minimum liegt also im Punkt (3; 5)