Eine Skalarfunktion (bzw. ein Skalarfeld) Φ(x

Skalarfelder, Niveaufl¨ achen, Gradient

Eine Skalarfunktion (bzw. ein Skalarfeld) Φ(x

, x

, x

) ordnet einem Punkt des R

einen Zahlenwert zu. Bekannte Beispiele aus der Physik w¨ aren etwa die Temperatur- oder Massendichteverteilung in einem r¨ aumlichen Bereich.

F¨ ur ein festes λ ∈ R wird durch die Gleichung Φ(x

, x

, x

) = λ bzw.

Φ(x

, x

, x

) − λ = 0 eine Fl¨ ache beschrieben (auf der Φ den konstanten Wert λ hat). Eine solche Fl¨ ache heißt auch Niveaufl¨ ache des Skalar- feldes.

Beispiel. Die Niveaufl¨ achen des elektrostatischen Potenzials einer Punkt- ladung (a ist dabei die Ladung in geeigneten Einheiten) sind Kugelfl¨ achen, da Φ(x

, x

, x

) = √

x²₁+x²₂+x²₃

ist und folglich Φ(x

, x

, x

) = λ ⇒ x

+ x

+ x

=

Ein Mittel, um ¨ Anderungen eines Skalarfeldes Φ(x

, x

, x

) geeignet zu beschreiben, ist die Richtungsableitung, welche bereits fr¨ uher diskutiert wurde.

Ist ⃗a ein Einheitsvektor, dann ist die Richtungsableitung von Φ in Richtung ⃗a in einem Punkt x

= (x

, x

, x

) gegeben durch

∂Φ

∂⃗a

(x

) = (grad Φ(x

)) · ⃗a .

Wir zeigten außerdem, dass grad Φ(x

) jene Richtung angibt, in der die Anderung von Φ maximal ist. ¨

Ist nun ⃗ x(u, v) eine Parameterdarstellung von Φ(x

, x

, x

) = λ , dann liefert partielle Ableitung nach u bzw. v

Φ

+ Φ

+ Φ

= 0 i.e. gradΦ · ⃗ x

= 0 Φ

+ Φ

+ Φ

= 0 i.e. gradΦ · ⃗ x

= 0

1

Dies bedeutet aber, dass grad Φ(x

) ein Normalenvektor auf die Niveau߬ ache im Punkt x

ist.

Wir betrachten nun den Differentialoperator

∇ =

1

⃗ e

+

2

⃗ e

+

3

⃗ e

=



 

∂

∂x₁

∂

∂x2

∂

∂x₃



  ,

der sowohl auf Skalarfunktionen als auch auf Vektorfunktionen (siehe sp¨ ater)

”wirken” kann. Dieser Operator heißt auch Nabla-Operator und er spielt eine zentrale Rolle in der Vektoranalysis.

Im Falle einer Skalarfunktion Φ(x

, x

, x

) ergibt sich

∇ Φ =

1

⃗ e

+

2

⃗ e

+

3

⃗ e

=



 

∂Φ

∂x1

∂Φ

∂x₂

∂Φ

∂x3



  .

Dies ist aber nichts anderes als der Gradient von Φ !

Bemerkung. Das totale Differential einer Funktion Φ(x

, x

, x

) , dΦ =

1

dx

+

2

dx

+

3

dx

kann ebenfalls mittels des Gradienten in der Form dΦ = ∇ Φ · d⃗ r

geschrieben werden, wobei d⃗ r = (dx

, dx

, dx

) ist.

Definition. Ein Vektorfeld F ⃗ heißt ein Gradientenfeld wenn eine Skalarfunktion Φ existiert, sodass

F ⃗ = grad Φ = ∇ Φ .

Im Falle einer Kraft F ⃗ nennt man diese dann eine konservative Kraft.

Ist nun F ⃗ eine konservative Kraft (i.e. F ⃗ = grad Φ), dann berechnet

2

sich die geleistete Arbeit entlang eines Weges C von P nach Q durch dW = F ⃗ · d⃗ r =

1

dx

+

2

dx

+

3

dx

= dΦ , also W = Φ(Q) − Φ(P ) .

Dies bedeutet aber, dass der Wert des Linienintegrals nur von den Werten von Φ an den jeweiligen Endpunkten abh¨ angt, nicht aber von der verbinden- den Kurve selbst. Ein derartiges Linienintegral heißt auch wegunabh¨ angig.

Im besonderen ergibt sich im Falle einer geschlossenen Kurve, dass der Wert des Linienintegrals gleich Null ist !!

Beispiel. Die Kraft F ⃗ = (2x

+ x

, x

− x

, 0) ist eine konservative Kraft, weil F ⃗ = grad Φ ist mit Φ(x

, x

, x

) = x

+ x

x

−

x

.

Wie k¨ onnen wir in diesem Beispiel die Funktion Φ bestimmen ?

Wir nehmen an, dass F ⃗ = grad Φ ist. Dann ist Φ

= F

= 2x

+ x

. Integration nach x

liefert Φ = x

+ x

x

+ φ(x

, x

) , wobei φ(x

, x

) eine willk¨ urliche Funktion von x

und x

bezeichnet.

Nun muss auch Φ

= F

= x

− x

gelten. Wir erhalten

x

+ φ

= x

− x

, also φ

= − x

(man beachte, dass x

hier nicht mehr vorkommt ! Daher k¨ onnen wir weiterrechnen.)

Integration nach x

liefert jetzt φ(x

, x

) = −

x

+ ψ(x

) , wobei ψ(x

) eine willk¨ urliche Funktion von x

bezeichnet. Damit ist

Φ = x

+ x

x

−

x

+ ψ(x

) .

Die Bedingung Φ

= F

= 0 liefert ψ

= 0 , also ψ = C , z.B. ψ = 0 . Damit ist Φ = x

+ x

x

−

x

eine gesuchte Funktion.

Bemerkung. Alle Funktionen Φ mit F ⃗ = grad Φ sind durch Φ = x

+ x

x

−

x

+ C , C ∈ R gegeben.

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