Vektoranalysis
Das Handout ist Bestandteil der Vortragsfolien zur H¨oheren Mathematik; siehe die Hinweise auf der Internetseite www.imng.uni-stuttgart.de/LstNumGeoMod/VHM/f¨ur Erl¨auterungen zur Nutzung und zum Copyright.
Vektoranalysis 1-1
Skalarfeld
Ein Skalarfeld
P 7→ U (P )
ordnet jedem Punkt P des Definitionsbereiches D eine reelle Zahl U zu.
Alternative Schreibweisen sind
U = Φ(x , y , z), U = U(~ r) ,
wobei (x , y , z) die Koordinaten und ~ r der Ortsvektor von P sind.
Skalar- und Vektorfelder Skalarfeld 1-1
Zur Visualisierung k¨ onnen die Niveaumengen U(P) = const
oder Einschr¨ ankungen auf achsenparallele Ebenen verwendet werden.
Skalar- und Vektorfelder Skalarfeld 1-2
Vektorfeld
Ein Vektorfeld
P 7→ F ~ (P )
ordnet einem Punkt P des Definitionsbereichs D einen Vektor F ~ zu.
Alternative Schreibweisen sind
F ~ = ~ Φ(x, y , z ), F ~ = F ~ (~ r) ,
wobei (x , y , z) die Koordinaten und ~ r der Ortsvektor von P sind.
Die Komponenten von F ~ bez¨ uglich eines kartesischen Koordinatensystems werden mit (F
x, F
y, F
z) bezeichnet:
F ~ = F
x~ e
x+ F
y~ e
y+ F
z~ e
zmit ~ e
x= (1, 0, 0)
t, ~ e
x= (0, 1, 0)
t, und ~ e
x= (0, 0, 1)
t.
Skalar- und Vektorfelder Vektorfeld 1-1
Zur Visualisierung k¨ onnen Richtungsfelder oder Feldlinien verwendet werden.
Bei einem Richtungsfeld werden die Vektoren F ~ (P ) mit dem Punkt P in Form von Pfeilen P → P + F ~ assoziiert.
Feldlinien sind Kurven, die in jedem Punkt tangential zu dem Richtungsfeld sind.
Skalar- und Vektorfelder Vektorfeld 1-2
Vektorfelder in Polarkoordinaten
Bez¨ uglich der auf den Punkt (x , y ) = (r cos ϕ, r sin ϕ) bezogenen orthonormalen Basis
~ e
r=
cos ϕ sin ϕ
, ~ e
ϕ=
− sin ϕ cos ϕ
besitzt das Vektorfeld
F ~ = F
x~ e
x+ F
ye ~
ydie Darstellung
F ~ = F
r~ e
r+ F
ϕ~ e
ϕmit
F
r= F ~ · ~ e
r, F
ϕ= F ~ · e ~
ϕ.
Skalar- und Vektorfelder Vektorfelder in Polarkoordinaten 1-1
ϕ r
~e
ϕ~e
rx y
Skalar- und Vektorfelder Vektorfelder in Polarkoordinaten 1-2
Beispiel:
Vektorfeld einer Quelle :
F ~ = f (r )~ e
rf beschreibt die St¨ arke des Feldes im Abstand r vom Ursprung.
f (r) = 1/r
F ~ =
1 r cos ϕ 1 r sin ϕ
!
=
x x
2+ y
2y x
2+ y
2
Skalar- und Vektorfelder Vektorfelder in Polarkoordinaten 2-1
Vektorfeld eines Wirbels:
F ~ = f (r)~ e
ϕf (r) = r
F ~ =
− r sin ϕ r cos ϕ
=
− y x
Skalar- und Vektorfelder Vektorfelder in Polarkoordinaten 2-2
Vektorfelder in Zylinderkoordinaten
Bez¨ uglich der auf den Punkt (x , y , z) = (% cos ϕ, % sin ϕ, z) bezogenen orthonormalen Basis
~ e
%=
cos ϕ
sin ϕ 0
, e ~
ϕ=
− sin ϕ cos ϕ
0
, ~ e
z=
0 0 1
besitzt das Vektorfeld
F ~ = F
x~ e
x+ F
y~ e
y+ F
z~ e
zdie Darstellung
F ~ = F
%~ e
%+ F
ϕ~ e
ϕ+ F
z~ e
zmit
F
%= F ~ · ~ e
%, F
ϕ= F ~ · ~ e
ϕ, F
z= F ~ · ~ e
z.
Skalar- und Vektorfelder Vektorfelder in Zylinderkoordinaten 1-1
O
x-Achse
y-Achse z-Achse
P
ϕ
̺ z
~e
̺~e
ϕ~e
zSkalar- und Vektorfelder Vektorfelder in Zylinderkoordinaten 1-2
Beispiel:
(i) Darstellung des Vektorfeldes F ~ =
x − yz y + xz
z
in Zylinderkoordinaten:
F ~ =
% cos ϕ − % sin ϕ z
% sin ϕ + % cos ϕ z z
= %~ e
%+ %z e ~
ϕ+ z ~ e
zDie Koeffizienten F
%= %, F
ϕ= %z, F
z= z sind unmittelbar ablesbar.
alternativ: Berechnung als Skalarprodukt, z.B.
F
%= F ~ · ~ e
%=
% cos ϕ − % sin ϕ z
% sin ϕ + % cos ϕ z z
·
cos ϕ
sin ϕ 0
= %
Skalar- und Vektorfelder Vektorfelder in Zylinderkoordinaten 2-1
(ii) Darstellung des Vektorfeldes
F ~ = %~ e
%+ ~ e
ϕ+ ~ e
zin kartesischen Koordinaten:
F ~ = %
cos ϕ sin ϕ
0
+
− sin ϕ cos ϕ 0
+
0 0 1
=
% cos ϕ − sin ϕ
% sin ϕ + cos ϕ 1
=
x − √
yx2+y2
y + √
xx2+y2
1
(cos ϕ = x /r , sin ϕ = y /r)
Skalar- und Vektorfelder Vektorfelder in Zylinderkoordinaten 2-2
Vektorfelder in Kugelkoordinaten
Bez¨ uglich der auf den Punkt (x , y , z) = (r sin ϑ cos ϕ, r sin ϑ sin ϕ, r cos ϑ) bezogenen orthonormalen Basis
~ e
r=
sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ
cos ϑ
, ~ e
ϑ=
cos ϑ cos ϕ cos ϑ sin ϕ
− sin ϑ
, ~ e
ϕ=
− sin ϕ cos ϕ
0
besitzt das Vektorfeld
F ~ = F
x~ e
x+ F
y~ e
y+ F
z~ e
zdie Darstellung
F ~ = F
r~ e
r+ F
ϑ~ e
ϑ+ F
ϕe ~
ϕmit
F
r= F ~ · ~ e
r, F
ϑ= F ~ · ~ e
ϑ, F
ϕ= F ~ · e ~
ϕ.
Skalar- und Vektorfelder Vektorfelder in Kugelkoordinaten 1-1
x-Achse
y-Achse z-Achse
P
ϕ ϑ
r
~e
r~e
ϑ~e
ϕSkalar- und Vektorfelder Vektorfelder in Kugelkoordinaten 1-2
Beispiel:
(i) Vektorfeld in kartesischen Koordinaten:
F ~ =
x − yz y + xz
z
Darstellung in Kugelkoordinaten
F ~ (r, ϑ, ϕ) =
r sin ϑ cos ϕ − r sin ϑ sin ϕ r cos ϑ r sin ϑ sin ϕ + r sin ϑ cos ϕ r cos ϑ
r cos ϑ
= r
sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ
cos ϑ
| {z }
~ er
+r
2sin ϑ cos ϑ
− sin ϕ cos ϕ
0
| {z }
~ eϕ
Skalar- und Vektorfelder Vektorfelder in Kugelkoordinaten 2-1
(ii) Vektorfeld in Kugelkoordinaten:
r ~ e
ϑ+ ~ e
ϕDarstellung in kartesischen Koordinaten
r cos ϑ cos ϕ − sin ϕ r cos ϑ sin ϕ + cos ϕ
− r sin ϑ
= 1 p x
2+ y
2
zx − y zy + x
− (x
2+ y
2)
verwendet:
cos ϕ = x
% , sin ϕ = y
% , cos ϑ = z
r , sin ϑ = % r mit % = p
x
2+ y
2, r = p
x
2+ y
2+ z
2Skalar- und Vektorfelder Vektorfelder in Kugelkoordinaten 2-2
Gradient
Der Gradient eines Skalarfeldes U wird durch grad U =
∂
xU
∂
yU
∂
zU
definiert.
Er ist invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen und gibt die Richtung des st¨ arksten Anstiegs des Skalarfeldes an.
Differentialoperatoren Gradient 1-1
Alternativ l¨ asst sich der Gradient von U(P) als Grenzwert von Integralen uber die Oberfl¨ ¨ ache S eines den Punkt P enthaltenden r¨ aumlichen Bereichs V definieren:
lim
diamV→0
1 vol V
Z Z
S
U d S ~ ,
wobei das vekorielle Fl¨ achenelement d S ~ nach außen orientiert ist.
Dies folgt aus einer Variante des Integralsatzes von Gauß und zeigt insbesondere die Invarianz des Gradienten unter orthogonalen Koordinatentransformationen.
Differentialoperatoren Gradient 1-2
Divergenz
Die Divergenz eines Vektorfeldes
F ~ = F
x~ e
x+ F
y~ e
y+ F
z~ e
zwird durch
div F ~ = ∂
xF
x+ ∂
yF
y+ ∂
zF
zdefiniert.
Sie ist invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen und entspricht physikalisch der Quelldichte des Vektorfeldes.
Differentialoperatoren Divergenz 1-1
Alternativ l¨ asst sich die Divergenz eines stetig differenzierbaren
Vektorfeldes F ~ (P ) als Grenzwert des Flusses durch die Oberfl¨ ache S eines den Punkt P enthaltenden r¨ aumlichen Bereichs V definieren:
lim
diamV→0
1 vol V
Z Z
S
F ~ · d S ~ ,
wobei das vektorielle Fl¨ achenelement d S ~ nach außen orientiert ist.
Dies folgt unmittelbar aus dem Satz von Gauß und dem Mittelwertsatz und zeigt insbesondere die Invarianz der Divergenz unter orthogonalen Koordinatentransformationen.
Differentialoperatoren Divergenz 1-2
Beispiel:
(i) Zentrales Kraftfeld:
F ~ =
x y z
= r ~ e
rdiv F ~ = ∂
xx + ∂
yy + ∂
zz = 1 + 1 + 1 = 3 (ii) Wirbelf¨ ormige Str¨ omung:
F ~ =
− y x 0
= %~ e
ϕdiv F ~ = ∂
x( − y ) + ∂
yx + ∂
z0 = 0 + 0 + 0 = 0
Differentialoperatoren Divergenz 2-1
Rotation
Die Rotation eines Vektorfeldes
F ~ = F
x~ e
x+ F
y~ e
y+ F
z~ e
zwird durch
rot F ~ =
∂
yF
z− ∂
zF
y∂
zF
x− ∂
xF
z∂
xF
y− ∂
yF
x
definiert.
Sie ist invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen und entspricht physikalisch der Wirbeldichte des Vektorfeldes.
Differentialoperatoren Rotation 1-1
Benutzt man die Indexschreibweise F ~ =
3
X
i=1
F
i~ e
i,
so l¨ asst sich die Rotation mit Hilfe des ε-Tensors in der Form
rot F ~
i
=
3
X
j,k=1
ε
ijk∂
jF
kschreiben. Diese Definition ist unter anderem bei der Manipulation von Summen vorteilhaft.
Differentialoperatoren Rotation 1-2
Die normale Komponente der Rotation eines stetig differenzierbaren Vektorfeldes F ~ an einem Punkt P l¨ asst sich als Grenzwert von Arbeitsintegralen definieren:
(~ n
◦· rot F ~ )(P ) = lim
diamS→0
1 area S
Z
C
F ~ · d~ r .
Dabei wird der Grenzwert ¨ uber eine Folge regul¨ arer Fl¨ achen S mit orientiertem Rand C : t 7→ ~ r(t) gebildet, die alle den Punkt P enthalten und dort die Normale n ~ haben, wobei der gr¨ oßte Abstand zweier
Fl¨ achenpunkte (diam S ) und damit auch der F¨ acheninhalt gegen null geht.
Das Skalarprodukt auf der linken Seite wird als Wirbelst¨ arke von F ~ um
~
n(P ) bezeichnet und ist f¨ ur n(P ~ ) k rot F ~ am gr¨ oßten.
Differentialoperatoren Rotation 1-3
~n
C S
P
Die geometrische Charakterisierung der Rotation folgt unmittelbar aus dem Satz von Stokes und dem Mittelwertsatz. Sie zeigt insbesondere, dass rot F ~ invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen ist.
Differentialoperatoren Rotation 1-4
F¨ ur ebene Vektorfelder F ~ setzt man
rot F ~ = ∂
xF
y− ∂
yF
x.
Dies entspricht der Definition f¨ ur r¨ aumliche Vektorfelder, wenn man eine zus¨ atzliche dritte Komponente F
z= 0 einf¨ uhrt und die Rotation in R
3wie oben berechnet.
Differentialoperatoren Rotation 1-5
Beispiel:
(i) Zentrales Kraftfeld:
F ~ =
x y z
= r~ e
r, rot F ~ =
∂
yz − ∂
zy
∂
zx − ∂
xz
∂
xy − ∂
yx
=
0 0 0
(ii) Wirbelf¨ ormige Str¨ omung:
F ~ =
− y x 0
= %~ e
ϕ, rot F ~ =
∂
y0 − ∂
zx
∂
z( − y ) − ∂
x0
∂
xx − ∂
y( − y )
=
0 0 2
Differentialoperatoren Rotation 2-1
Beispiel:
Iillustration der geometrischen Definition f¨ ur F ~ =
− y x 0
, rot F ~ =
0 0 2
S : Kreisscheibe in der xy -Ebene mit Rand C , d.h.
S : x
2+ y
2≤ a
2, C : t 7→ ~ r(t) =
a cos t a sin t
0
Differentialoperatoren Rotation 3-1
d~ r = ~ r
0(t) dt , ~ r
0(t) = ( − a sin t, a cos t, 0)
tlim
diamS→0
1 area S
Z
C
F ~ · d ~ r = lim
a→0
1 πa
2Z
2π 0
− a sin t a cos t
0
·
− a sin t a cos t
0
dt
= lim
a→0
1 πa
22π
Z
0
a
2dt = lim
a→0
2πa
2πa
2= 2 in ¨ Ubereinstimmung mit
~
n
◦· rot F ~ =
0 0 1
·
0 0 2
= 2
Differentialoperatoren Rotation 3-2
Laplace-Operator
F¨ ur ein Skalarfeld U bezeichnet
∆U = div(grad U ) = ∂
2U
∂x
2+ ∂
2U
∂y
2+ ∂
2U
∂z
2den Laplace-Operator.
Wie Divergenz und Gradient ist ∆ invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen.
Differentialoperatoren Laplace-Operator 1-1
Rechenregeln f¨ ur Differentialoperatoren
F¨ ur r¨ aumliche Vektorfelder F ~ , G ~ und r¨ aumliche Skalarfelder U, V gelten folgende Rechenregeln.
Bei der Hintereinanderschaltung von Gradient, Divergenz und Rotation gilt rot(grad U) = ~ 0
div(rot F ~ ) = 0
rot(rot F ~ ) = grad(div F ~ ) − ∆ F ~
wobei der Laplace-Operator einer vektorwertigen Funktion komponentenweise zu interpretieren ist, d.h.
∆ F ~ = ∆F
x~ e
x+ ∆F
y~ e
y+ ∆F
z~ e
z.
Differentialoperatoren Rechenregeln f¨ur Differentialoperatoren 1-1
Bei der Differentiation von Produkten gilt grad(UV ) = U grad V + V grad U div(U F ~ ) = U div F ~ + F ~ · grad U div( F ~ × G ~ ) = G ~ · rot F ~ − F ~ · rot G ~ rot(U F ~ ) = U rot F ~ − F ~ × grad U
Analoge Identit¨ aten gelten auch f¨ ur ebene Felder. Formal erh¨ alt man die entsprechenden Formeln, wenn man die dritte Komponente der Felder null setzt und nur von x und y abh¨ angige Funktionen betrachtet.
Differentialoperatoren Rechenregeln f¨ur Differentialoperatoren 1-2
Beweis:
(i) rot(grad U ) = ~ 0:
x -Komponente
∂
y(grad U)
z− ∂
z(grad U )
y= ∂
y∂
zU − ∂
z∂
yU = 0 Analog verschwinden die y - und z -Komponenten.
(ii) div(rot F ~ ) = 0:
Definition der Rotation mit Hilfe des ε-Tensors div(rot F ~ ) = X
i
∂
iX
j,k
ε
i,j,k∂
jF
k= X
i,j,k
ε
i,j,k∂
i∂
jF
kVertauschung der Indizes i , j = ⇒
X
i,j,k
. . . = X
i,j,k
ε
j,i,k∂
j∂
iF
k| {z }
∂i∂jFk
= − X
i,j,k
. . .
also div rot F ~ = 0
Differentialoperatoren Rechenregeln f¨ur Differentialoperatoren 2-1
(iii) rot(rot F ~ ) = grad(div F ~ ) − ∆ F ~ : x -Komponente
∂
y(rot F ~ )
z− ∂
z(rot F ~ )
y= (∂
y∂
xF
y− ∂
y∂
yF
x) − (∂
z∂
zF
x− ∂
z∂
xF
z) addiere und subtrahiere den Term ∂
x∂
xF
xerste Komponente der behaupteten Formel:
∂
x(div F ~ ) − ∆F
xanaloge Behandlung der anderen Komponenten (iv) grad(UV ) = U grad V + V grad U Produktregel = ⇒
∂
k(UV ) = (∂
kU )V + U (∂
kV )
Differentialoperatoren Rechenregeln f¨ur Differentialoperatoren 2-2
(v) div(U F ~ ) = U div F ~ + F ~ · grad U : Produktregel = ⇒
div(U F ~ ) = ∂
x(UF
x) + ∂
y(UF
y) + ∂
z(UF
z)
= U∂
xF
x+ U∂
yF
y+ U∂
zF
z+ F
x∂
xU + F
y∂
yU + F
z∂
zU
= U div F ~ + F ~ · grad U (vi) div( F ~ × G ~ ) = G ~ · rot F ~ − F ~ · rot G: ~ Definition des Kreuzproduktes und Produktregel
div( F ~ × G ~ ) = X
i,j,k
ε
i,j,k((∂
iF
j)G
k+ [F
j(∂
iG
k)]) Zyklizit¨ at von ε und Vertauschung von i, j im zweiten Term [. . .]
X
i,j,k
ε
k,i,jG
k∂
iF
j+ X
i,j,k
ε
j,i,k| {z }
−εi,j,k
F
i∂
jG
kbehauptete Formel
Differentialoperatoren Rechenregeln f¨ur Differentialoperatoren 2-3
(vii) rot(U F ~ ) = U rot F ~ − F ~ × grad U:
x -Komponente von rot(U F ~ ),
∂
y(UF
z) − ∂
z(UF
y) = (∂
yU )F
z− (∂
zU )F
y+ U∂
yF
z− U ∂
zF
y, entspricht x -Komponente von
U rot F ~ + (grad U ) × F ~ zyklische Vertauschung behauptete Identit¨ at
Differentialoperatoren Rechenregeln f¨ur Differentialoperatoren 2-4
Beispiel:
illustriere die Identit¨ at rot(U F ~ ) = U rot F ~ − F ~ × grad U f¨ ur U = z , F ~ = ( − y , x , 1)
t(i) Linke Seite:
rot(U F ~ ) = rot
− yz xz
z
=
0 − x
− y − 0 z + z
=
− x
− y 2z
(ii) Rechte Seite:
U rot F ~ − F ~ × grad U = z rot
− y x 1
−
− y x 1
× grad z
= z
0 − 0 0 − 0 1 + 1
−
− y x 1
×
0 0 1
=
0 0 2z
−
x y 0
Differentialoperatoren Rechenregeln f¨ur Differentialoperatoren 3-1
Beispiel:
Illustration der Identit¨ at rot(rot F ~ ) = grad(div F ~ ) − ∆ F ~ f¨ ur das Vektorfeld F ~ =
x
2z y
2x z
2y
(i) Linke Seite:
rot
rot
x
2z y
2x z
2y
= rot
z
2− 0 x
2− 0 y
2− 0
=
2y 2z 2x
(ii) Rechte Seite:
grad(2xz+2yx +2zy ) −
∆x
2z
∆y
2x
∆z
2y
=
2z + 2y 2x + 2z 2y + 2x
−
2z 2x 2y
=
2y 2z 2x
Differentialoperatoren Rechenregeln f¨ur Differentialoperatoren 4-1
Differentialoperatoren in Zylinderkoordinaten
F¨ ur Zylinderkoordinaten
x = % cos ϕ, y = % sin ϕ, z = z gelten f¨ ur r¨ aumliche Skalarfelder
U = Φ(%, ϕ, z ) und Vektorfelder
F ~ = F
%~ e
%+ F
ϕ~ e
ϕ+ F
z~ e
zdie Transformationsregeln
Differentialoperatoren Differentialoperatoren in Zylinderkoordinaten 1-1
grad U = ∂
%Φ~ e
%+ 1
% ∂
ϕΦ~ e
ϕ+ ∂
zΦ~ e
z, div F ~ = 1
% ∂
%(%F
%) + 1
% ∂
ϕF
ϕ+ ∂
zF
z, rot F ~ =
1
% ∂
ϕF
z− ∂
zF
ϕ~
e
%+ (∂
zF
%− ∂
%F
z) ~ e
ϕ+ 1
% (∂
%(%F
ϕ) − ∂
ϕF
%) ~ e
zsowie
∆U = 1
% ∂
%(%∂
%Φ) + 1
%
2∂
ϕ2Φ + ∂
z2Φ .
Differentialoperatoren Differentialoperatoren in Zylinderkoordinaten 1-2
Beispiel:
(i) Axialsymmetrisches Skalarfeld:
U = Φ(%), % = p
x
2+ y
2Gradient und Laplace-Operator
grad U = %Φ~ e
%= Φ
0~ e
%, ∆U = 1
% ∂
%(%∂
%Φ) = Φ
00+ %
−1Φ
0Spezialfall U = %
sgrad U = s%
s−1~ e
%= s (x
2+ y
2)
s/2−1
x y 0
∆U = s
2%
s−2Differentialoperatoren Differentialoperatoren in Zylinderkoordinaten 2-1
(ii) Quellenf¨ ormiges Vektorfeld:
F ~ = ψ(%)~ e
%Divergenz
div F ~ = 1
% ∂
%(%ψ) = ψ
0+ %
−1ψ Spezialfall F ~ = %
s~ e
%div F ~ = (s + 1)%
s−1divergenzfrei f¨ ur s = − 1 bis auf die Singularit¨ at im Ursprung
Differentialoperatoren Differentialoperatoren in Zylinderkoordinaten 2-2
(iii) Wirbelf¨ ormiges Vektorfeld:
F ~ = ψ(%)~ e
ϕRotation
rot F ~ = 1
% ∂
%(%ψ) ~ e
z=
0 0 ψ
0+ %
−1ψ
Spezialfall F ~ = %
s~ e
ϕrot F ~ =
0 0 (s + 1)%
s−1
rotationsfrei f¨ ur s = − 1 bis auf die Singularit¨ at im Ursprung
Differentialoperatoren Differentialoperatoren in Zylinderkoordinaten 2-3
Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
F¨ ur Kugelkoordinaten
x = r sin ϑ cos ϕ, y = r sin ϑ sin ϕ, z = r cos ϑ gelten f¨ ur r¨ aumliche Skalarfelder
U = Φ(r, ϑ, ϕ) und Vektorfelder
F ~ = F
r~ e
r+ F
ϑ~ e
ϑ+ F
ϕ~ e
ϕdie Transformationsregeln
Differentialoperatoren Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten 1-1
grad U = ∂
rΦ~ e
r+ 1
r ∂
ϑΦ~ e
ϑ+ 1
r sin ϑ ∂
ϕΦ~ e
ϕ, div F ~ = 1
r
2∂
rr
2F
r+ 1
r sin ϑ ∂
ϕF
ϕ+ 1
r sin ϑ ∂
ϑ(sin ϑF
ϑ) , rot F ~ = 1
r sin ϑ (∂
ϑ(sin ϑF
ϕ) − ∂
ϕF
ϑ) ~ e
r+ 1
r sin ϑ (∂
ϕF
r− sin ϑ∂
r(rF
ϕ)) ~ e
ϑ+ 1
r (∂
r(rF
ϑ) − ∂
ϑF
r) ~ e
ϕsowie
∆U = 1
r
2∂
rr
2∂
rΦ
+ 1
r
2sin
2ϑ ∂
ϕ2Φ + 1
r
2sin ϑ ∂
ϑ(sin ϑ∂
ϑΦ) .
Differentialoperatoren Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten 1-2
Beispiel:
(i) Radialsymmetrisches Skalarfeld:
U = Φ(r), r = p
x
2+ y
2+ z
2Gradient und Laplace-Operator
grad U = ∂
rΦ~ e
r, ∆U = 1
r
2∂
rr
2∂
rΦ
= Φ
00+ 2 r Φ
0Spezialfall U = r
sgrad U = sr
s−1~ e
r= s (x
2+ y
2+ z
2)
s/2−1
x y z
∆U = s (s + 1)r
s−2harmonisch f¨ ur s = − 1 bis auf die Singularit¨ at im Ursprung
Differentialoperatoren Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten 2-1
(ii) Quellenf¨ ormiges Vektorfeld:
F ~ = ψ(r)~ e
rDivergenz
div F ~ = 1
r
2∂
rr
2ψ
= ψ
0+ 2 r ψ Spezialfall F ~ = r
s~ e
rdiv F ~ = (s + 2)r
s−1divergenzfrei f¨ ur s = − 2 bis auf die Singularit¨ at im Ursprung
Differentialoperatoren Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten 2-2
Kurvenintegral eines Skalarfeldes
F¨ ur eine Kurve C mit regul¨ arer Parametrisierung
[a, b] 3 t 7→ ~ r(t) =
x (t) y (t) z(t)
und ein Skalarfeld U wird das Integral
Z
C
U =
b
Z
a
U(~ r (t)) | ~ r
0(t) | dt, | ~ r
0| = q
(x
0)
2+ (y
0)
2+ (z
0)
2,
als Kurvenintegral von U ¨ uber der Kurve C bezeichnet.
Der Wert des Integrals ist unabh¨ angig von der Parametrisierung, insbesondere auch von der Orientierung.
Integration Kurvenintegral 1-1
Weg
Ein Weg
C : [a, b] 3 t 7→ ~ r(t) =
x (t) y (t) z (t)
ist eine Kurve mit festgelegtem Durchlaufsinn, der im Allgemeinen durch Pfeile angedeutet wird.
Man sagt, die Kurve verl¨ auft von A = (x (a), y (a), z(a)) nach B = (x (b), y (b), z (b)).
Gilt A = B, so spricht man von einem geschlossenen Weg.
Integration Weg 1-1
A1=B1 C1
A2=B2
C2
C1
C3
−C1
C2
nicht zusammenh¨ angender zum Teil mehrfach durchlaufener Weg C = C
1+ C
2Weg C = C
1+ C
2− C
1+ C
3B
A
−C
offener Weg − C mit
umgekehrter Durchlaufrichtung
Integration Weg 1-2
F¨ ur zusammengesetzte Wege ist die Notation C
1+ · · · + C
mgebr¨ auchlich.
Dabei k¨ onnen einzelne Wegst¨ ucke mehrfach durchlaufen werden ( P
C
i6 = S
C
i), und die Vereinigung der Wege muss nicht zusammenh¨ angend sein.
Schließlich bezeichnet man mit − C den in entgegengesetzter Richtung durchlaufenen Weg C .
Integration Weg 1-3
Arbeitsintegral eines Vektorfeldes
F¨ ur einen Weg C mit regul¨ arer Parametrisierung
[a, b] 3 t 7→ ~ r(t) =
x (t) y (t) z(t)
und ein Vektorfeld F ~ wird das Integral Z
C
F ~ · d~ r =
b
Z
a
F ~ (~ r(t)) · ~ r
0(t) dt
als Arbeitsintegral bezeichnet.
Integration Arbeitsintegral 1-1
F~
~r′ (~r′)◦
F~·(~r′)◦
C
Es entspricht dem Kurvenintegral der Projektion F
tvon F ~ in tangentialer Richtung,
F
t= F ~ · ~ r
0◦, ~ r
0◦= ~ r
0| ~ r
0| ,
und ist unabh¨ angig von der Parametrisierung bei gleichbleibender Orientierung des Weges.
Bei Umkehrung der Durchlaufrichtung von C ¨ andert sich das Vorzeichen des Integrals.
Integration Arbeitsintegral 1-2
In Komponentenschreibweise hat das Arbeitsintegral die Form Z
C
F
xdx + F
ydy + F
zdz
mit dx = x
0(t) dt , dy = y
0(t) dt , dz = z
0(t) dt und F
x, F
y, F
zden Komponenten von F ~ .
Integration Arbeitsintegral 1-3
Beispiel:
Beim Durchlaufen des Viertelkreises
~ r(t) =
x (t) y (t)
=
cos t sin t
, t ∈ [0, π/2] , im Kraftfeld
F ~ = x
− y wird die Arbeit
Z
C
F ~ · d ~ r =
π/2
Z
0
F ~ (~ r(t)) · ~ r
0(t) dt =
π/2
Z
0
cos t
− sin t
·
− sin t cos t
dt
=
π/2
Z
0
− 2 cos t sin t dt =
cos
2t
π/2 0= − 1 verrichtet.
Integration Arbeitsintegral 2-1
Beispiel:
F¨ ur ein Geradenst¨ uck
C : t 7→ ~ r(t) = ~ p + t d ~ , t ∈ [a, b]
ist
~ r
0(t) = d ~ , d~ r = d dt ~ .
Definitionsgem¨ aß ist somit f¨ ur ein Vektorfeld F ~ die verrichtete Arbeit Z
C
F ~ · d~ r =
b
Z
a
F ~ (~ p + t d ~ ) · d dt ~ .
Integration Arbeitsintegral 3-1
Beispielsweise ist f¨ ur
~ p = 0
1
, ~ d = 1
2
, t ∈ [a, b] = [0, 3]
~
r(t ) = (x (t), y (t))
t= (t, 1 + 2t)
tund f¨ ur F ~ =
2xy x
2+ y
die verrichtete Arbeit
3
Z
0
2t(1 + 2t) t
2+ 1 + 2t
· 1
2
dt =
3
Z
0
6t
2+ 6t + 2 dt
=
2t
3+ 3t
2+ 2t
3 0= 87 .
Integration Arbeitsintegral 3-2
Fl¨ achenintegral eines Skalarfeldes
F¨ ur eine Fl¨ ache S mit regul¨ arer Parametrisierung
D 3 (u, v ) 7→ ~ r(u, v ) =
x (u, v ) y (u, v ) z(u, v )
und ein Skalarfeld U wird das Integral
Z Z
S
U dS = Z Z
D
U (~ r(u, v )) | ~ n(u, v ) | dudv, ~ n = ∂
u~ r × ∂
v~ r ,
als Fl¨ achenintegral von U ¨ uber S bezeichnet.
Der Wert des Integrals ist unabh¨ angig von der Parametrisierung, insbesondere auch von der Orientierung des Normalenvektors ~ n.
Integration Fl¨achenintegral 1-1
Beispiel:
Integral eines linearen Skalarfeldes U = p ~ · ~ r ¨ uber ein Dreieck D : (u, v ) 7→ ~ r(u, v ) = ~ a + u( ~ b − ~ a) + v (~ c − ~ a) mit 0 ≤ u ≤ 1 , 0 ≤ v ≤ 1 − u
Normale (konstant)
~
n = ∂
u~ r × ∂
v~ r =
~ b − ~ a
× (~ c − ~ a) , | n ~ | = 2areaD Fl¨ achenintegral
I =
1
Z
0 1−u
Z
0
~ p ·
~
a + u( ~ b − ~ a) + v (~ c − ~ a)
| {z }
U(~r(u,v)
2 area D dvdu
| {z }
dS~
Integration Fl¨achenintegral 2-1
inneres Integral
I
v=
1−u
Z
0
· · · = (1 − u)~ p · ~ a + (1 − u)u p ~ · ( ~ b − ~ a) + (1 − u)
22 p ~ · (~ c − ~ a)
¨ außeres Integral
1
Z
0
I
v= 1
2 p ~ · ~ a + 1
6 ~ p · ( ~ b − ~ a) + 1
6 ~ p · (~ c − ~ a) Vereinfachung
I = areaD
3 p ~ · (~ a + ~ b + ~ c) (Fl¨ acheninhalt × Wert von f am Schwerpunkt)
Integration Fl¨achenintegral 2-2
Beispiel:
Integral des Skalarfeldes U = p
x
2+ y
2z ¨ uber die Fl¨ ache
S : D 3 (u, v ) 7→ ~ r(u, v ) =
u cos v u sin v
v
, 0 ≤ u, v ≤ π (um die z-Achse verdrehter Streifen)
Normale
~
n = ∂
u~ r × ∂
v~ r =
cos v
sin v 0
×
− u sin v u cos v
1
∂
u~ r ⊥ ∂
v~ r = ⇒
| ~ n | = | ∂
u~ r | · | ∂
v~ r | = p 1 + u
2U(~ r(u, v )) = p
u
2cos
2v + u
2sin
2v v = uv
Integration Fl¨achenintegral 3-1
Fl¨ achenintegral Z Z
D
U | n ~ | dudv = Z
π 0Z
π 0uv p
1 + u
2dv du
= π
22
π
Z
0
u p
1 + u
2du = π
22
1
3 1 + u
23/2π 0= π
26
(1 + π
2)
3/2− 1
Integration Fl¨achenintegral 3-2
Flussintegral eines Vektorfeldes
Der Fluss eines stetigen Vektorfeldes F ~ durch eine Fl¨ ache S mit regul¨ arer Parametrisierung
D 3 (u, v ) 7→ ~ r (u, v ) =
x (u, v ) y (u, v ) z (u, v )
∈ S in Richtung der Normalen
~
n = ∂
u~ r × ∂
v~ r ist Z Z
S
F ~ · d S ~ = Z Z
S
F ~ · ~ n
◦dS = Z Z
D
F ~ (~ r(u, v )) · ~ n(u, v ) dudv .
Integration Flussintegral 1-1
Man bezeichnet dabei
d S ~ = ~ n
◦dS , dS = | ~ n(u, v ) | dudv , als vektorielles Fl¨ achenelement.
Bei gleicher Orientierung des Normalenvektors ist das Flussintegral unabh¨ angig von der gew¨ ahlten Parametrisierung.
Die Umkehrung der Normalenrichtung bewirkt eine ¨ Anderung des Vorzeichens.
D ~r
S
F~
~n
Integration Flussintegral 1-2
Die Glattheitsvoraussetzungen an F ~ und ~ r(u, v ) k¨ onnen abgeschw¨ acht werden, indem man das Integral ¨ uber einen geeigneten Grenzprozess definiert.
Integration Flussintegral 1-3
Beispiel:
Fluss des Vektorfeldes F ~ = (x , 1, yz)
tdurch die Fl¨ ache
S : ~ r (u, v ) =
u
2u + v
v
2
, 0 ≤ u , v ≤ 1 partielle Ableitungen
∂
u~ r (u, v ) =
2u
1 0
, ∂
v~ r(u, v ) =
0 1 2v
Normale (z -Komponente positiv gew¨ ahlt, Fluss nach oben)
~
n(u, v ) = ∂
u~ r(u, v ) × ∂
v~ r(u, v ) =
2v
− 4uv 2u
Integration Flussintegral 2-1
Fluss von F ~ durch S Z Z
S
F ~ · d S ~ =
1
Z
0 1
Z
0
u
21 uv
2+ v
3
·
2v
− 4uv 2u
du dv
=
1
Z
0 1
Z
0
2u
2v − 4uv + 2u
2v
2+ 2uv
3du dv
R
1 0R
10
u
αv
βdudv = (α + 1)
−1(β + 1)
−12 1
3 1 2 − 4 1
2 1 2 + 2 1
3 1 3 + 2 1
2 1 4 = − 7
36
Integration Flussintegral 2-2
Fluss durch einen Funktionsgraph
Der Fluss eines stetigen Vektorfeldes F ~ nach oben (positive z-Komponente der Normalen) durch den Graph S einer differenzierbaren skalaren
Funktion z = f (x , y ) ¨ uber dem Definitionsgebiet D ⊆ R
2ist Z Z
S
F ~ · d S ~ = Z Z
D
− F
x∂
xf − F
y∂
yf + F
zdxdy .
Integration Fluss durch einen Funktionsgraph 1-1
Beweis:
S : (u, v ) → ~ r(u, v ) =
x (u, v ) y (u, v ) z(u, v )
=
u v f (u, v )
partielle Ableitungen und Normale mit positiver z-Komponente
∂
u~ r =
1 0
∂
uf
, ∂
v~ r =
0 1
∂
vf
, ~ n(u, v ) = ∂
u~ r × ∂
v~ r =
− ∂
uf
− ∂
vf 1
Fluss
Z Z
D
F ~ (~ r(u, v )) · ~ n(u , v ) dudv = Z Z
D
F
xF
yF
z
·
− ∂
uf
− ∂
vf 1
dudv
= Z Z
D
− F
x∂
uf − F
y∂
vf + F
zdudv
Integration Fluss durch einen Funktionsgraph 2-1
Beispiel:
Fluss des Vektorfeldes F ~ = (x , 1, z)
tin z-Richtung durch den Graph der Funktion z = f (x , y ) = x
2− y ¨ uber dem Bereich D : | x | + | y | ≤ 1 Symmetrie des Vektorfeldes und Funktionsgraphen zur yz-Ebene
Integration ¨ uber den Teilbereich von D mit x ≥ 0 (Faktor 2) Gesamtfluss
Z Z
D
− F
x∂
xf − F
y∂
yf + F
zdxdy = 2
1
Z
0 1−x
Z
x−1
− x (2x ) + 1 + x
2− y dy dx
= 2
1
Z
0
− x
2y + y − 1 2 y
2 y=1−x y=x−1dx =
= 2 Z
10
− 2x
2(1 − x ) + 2(1 − x) + 0 dx = 5 3
Integration Fluss durch einen Funktionsgraph 3-1
Beispiel:
Fluss eines konstanten Vektorfeldes F ~ = p ~ durch einen Teilbereich S einer Ebene
S : z = f (x , y ) = ax + by + c, (x , y ) ∈ D ⊆ R
2in z-Richtung (von unten nach oben)
Formel f¨ ur den Fluss durch einen Funktionsgraph Z Z
S
F ~ · d S ~ = Z Z
D
− ap
x− bp
y+ p
zdxdy
= area(D) ( − ap
x− bp
y+ p
z) (∂
xf = a , ∂
yf = b)
Integration Fluss durch einen Funktionsgraph 4-1
Fluss durch einen Zylindermantel
Der Fluss eines Vektorfeldes
F ~ = F
%~ e
%+ F
ϕ~ e
ϕ+ F
z~ e
znach außen durch den Mantel eines Zylinders mit Randkurve % = %(ϕ) ist Z
2π0 zmax
Z
zmin
F
%% − F
ϕ∂
ϕ% dz d ϕ .
Der Fluss des Vektorfeldes durch eine Rotationsfl¨ ache, die durch Drehung der Kurve % = %(z) um die z-Achse entsteht, ist
2π
Z
0 zmax
Z
zmin
F
%% − F
z%∂
z% dz dϕ .
Integration Fluss durch einen Zylindermantel 1-1
Der Fluss durch den Mantel eines Kreiszylinders mit % = a ist demnach
a
2π
Z
0 zmax
Z
zmin
F
%dz d ϕ ,
d.h. nur die axialsymmetrische Komponente des Feldes liefert einen Beitrag.
Insbesondere ist beim Kreiszylinder der Fluss f¨ ur ein axialsymmetrisches Feld F ~ = f (%)~ e
%gleich 2πa(z
max− z
min)f (a).
Integration Fluss durch einen Zylindermantel 1-2
Beweis:
Darstellung des Vektorfeldes und Parametrisierung der Mantelfl¨ ache in Zylinderkoordinaten
F ~ = F
%e ~
%+ F
ϕ~ e
ϕ+ F
z~ e
z, S : ~ r(ϕ, z ) =
% cos ϕ
% sin ϕ z
(i) % = %(ϕ):
nach außen gerichtete Fl¨ achennormale
~
n(ϕ, z ) = ∂
ϕ~ r × ∂
z~ r =
∂
ϕ% cos ϕ − % sin ϕ
∂
ϕ% sin ϕ + % cos ϕ 0
×
0 0 1
=
∂
ϕ% sin ϕ + % cos ϕ
− ∂
ϕ% cos ϕ + % sin ϕ 0
= − ∂
ϕ% ~ e
ϕ+ %~ e
%Orthogonalit¨ at der Basisvektoren ~ e
%, ~ e
ϕ, ~ e
zF ~ · n ~ = F
%% − F
ϕ∂
ϕ%
Integration Fluss durch einen Zylindermantel 2-1
(ii) % = %(z):
nach außen gerichtete Fl¨ achennormale
~
n(ϕ, z ) = ∂
ϕ~ r × ∂
z~ r =
− % sin ϕ
% cos ϕ 0
×
∂
z% cos ϕ
∂
z% sin ϕ 1
=
% cos ϕ
% sin ϕ
− %∂
z%
= %~ e
%− %∂
z%~ e
zFeldkomponente in Normalenrichtung
F ~ · ~ n = F
%% − F
z%∂
z%
% konstant f¨ ur einen Kreiszylinder
Verschwinden der Terme mit Ableitungen von %
Integration Fluss durch einen Zylindermantel 2-2
Beispiel:
Fluss des Feldes F ~ =
xz
2yz
2(x
2+ y
2)z
=
%z
2cos ϕ
%z
2sin ϕ
%
2z
von innen nach außen durch den Mantel eines Zylinders mit Abstand a zur z -Achse und z
min= 0, z
max= b
normale Feldkomponente F
%= F ~ · e ~
%=
%z
2cos ϕ
%z
2sin ϕ
%
2z
·
cos ϕ
sin ϕ 0
= %z
2Fluss
a Z
2π 0zmax
Z
zmin
F
%(a, ϕ, z) dz d ϕ = a Z
2π0
Z
b 0az
2dz d ϕ = 1 3 a
2b
3Z
2π 0d ϕ = 2 3 πa
2b
3Integration Fluss durch einen Zylindermantel 3-1
Beispiel:
Fluss des Vektorfeldes
F ~ = %~ e
%+ z ~ e
znach außen durch einen Zylindermantel, der durch die Kardioide
%(ϕ) = 1 − cos ϕ im Bereich z ∈ [0, a] erzeugt wird
2π
Z
0 a
Z
0
F
%% − F
ϕ∂
ϕ% dz dϕ F
%= % , F
ϕ= 0 = ⇒
Z
2π 0Z
a 0%
2(ϕ) dz d ϕ = a Z
2π 0(1 − cos ϕ)
2d ϕ = a
2π + 0 + 2π 2
= 3πa
Integration Fluss durch einen Zylindermantel 4-1
Fluss durch eine Sph¨ are
Der Fluss eines in Kugelkoordinaten dargestellten Vektorfeldes F ~ = F
r~ e
r+ F
ϑ~ e
ϑ+ F
ϕ~ e
ϕvon innen nach außen durch eine Sph¨ are mit Abstand r = R zum Ursprung ist
π
Z
0 2π
Z
0
F
rR
2sin ϑ d ϕ d ϑ ,
d.h. nur die radiale Komponente des Feldes liefert einen Beitrag.
Insbesondere ist der Fluss f¨ ur ein radiales Feld F ~ = f (r) ~ e
rgleich 4πR
2f (R ).
Integration Fluss durch eine Sph¨are 1-1
Beispiel:
Fluss des Vektorfeldes F ~ = (x
2+ y
2)
x y 0
= (r sin ϑ)
2
r cos ϕ sin ϑ r sin ϕ sin ϑ
0
von innen nach außen durch die Sph¨ are S mit Radius R und Mittelpunkt im Ursprung
radiale Feldkomponente
F
r(r , ϑ, ϕ) = F ~ · ~ e
r= (r sin ϑ)
2
r sin ϑ cos ϕ r sin ϑ sin ϕ
0
·
sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ
cos ϑ
= (r sin ϑ)
2r sin
2ϑ
Integration Fluss durch eine Sph¨are 2-1
r = R Fluss von F ~ durch S Z Z
S
F ~ · · · d S ~ = Z Z
S
F
rdS = Z
π 0Z
2π 0F
r(R , ϑ, ϕ) R
2sin ϑ d ϕ d ϑ
| {z }
dS
= R
5π
Z
0 2π
Z
0
sin
5ϑ
| {z }
(1−cos2ϑ)2sinϑ
dϕ d ϑ
= 2πR
5− cos ϑ + 2
3 cos
3ϑ − 1 5 cos
5ϑ
π 0= 2πR
52 − 4 3 + 2
5
= 32 15 πR
5Integration Fluss durch eine Sph¨are 2-2
Beispiel:
Fluss der senkrechten Str¨ omung F ~ = (0, 0, z )
t= (0, 0, r cos ϑ)
tvon unten nach oben durch die Halbkugelschale
S : r = R , 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ϑ ≤ π/2 radiale Feldkomponente
F
r(r, ϑ, ϕ) = F ~ · ~ e
r=
0 0 r cos ϑ
·
cos ϕ sin ϑ sin ϕ sin ϑ
cos ϑ
= r cos
2ϑ r = R Fluss von F ~ durch S
π/2
Z
0
Z
2π 0F
r(R , ϑ, ϕ) a
2sin ϑ d ϕ dϑ =
π/2
Z
0
Z
2π 0R
3cos
2ϑ sin ϑ d ϕ d ϑ
2πR
3− cos
3ϑ 3
π/2 ϑ=0= 2πR
33
Integration Fluss durch eine Sph¨are 3-1
Beispiel:
axialsymmetrisches Feld
F ~ = F
%(%, z )~ e
%+ +F
z(%, z )~ e
z, ~ e
%=
cos ϕ
sin ϕ 0
, ~ e
z=
0 0 1
radiale Feldkomponente
F
r= F ~ · ~ e
r, ~ e
r=
sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ
cos ϑ
e ~
%· ~ e
r= sin ϑ, ~ e
z· e ~
r= cos ϑ = ⇒
F
r= F
%sin ϑ + F
zcos ϑ
Integration Fluss durch eine Sph¨are 4-1
Fluss durch eine Sph¨ are S mit Radius R Z
2π0
Z
π 0(F
%sin ϑ + F
zcos ϑ) R
2sin ϑ d ϑ d ϕ
= 2πR
2Z
π0
(F
%sin ϑ + F
zcos ϑ) sin ϑ d ϑ Spezialfall F
%= %
2s, F
z= c : % = r sin ϑ
F ~ · ~ e
r= F
%sin ϑ + F
zcos ϑ = R
2ssin
2s+1ϑ + c cos ϑ R
π0
cos ϑ d ϑ = 0 Fluss von F ~ durch S 2πR
2π
Z
0
R
2ssin
2s+2ϑ d ϑ = 2πR
2R
2s(2(s + 1))!
2
2(s+1)((s + 1)!)
2π
= 2π
2R
2
2(s+1)2s + 2
s + 1
Integration Fluss durch eine Sph¨are 4-2
Orientierter Rand einer Fl¨ ache
Der orientierte Rand C eines ebenen Bereichs D setzt sich aus Wegen C
izusammen, deren Durchlaufsinn so gew¨ ahlt ist, dass D links von C
iliegt:
C = C
1+ · · · + C
m.
Dies bedeutet, dass die nach außen gerichtete Kurvennormale ~ n und der Tangentenvektor ~ t ein Rechtssystem bilden.
~n
~t
~n ~t C1
C2
C3
C4
C5
D
orientierter Rand S = C
1+ · · · + C
5Integrals¨atze Orientierter Rand 1-1
Entsprechend setzt sich der orientierte Rand C einer r¨ aumlichen Fl¨ ache S mit orientierter Normalen ~ n aus Wegen C
izusammen, deren Orientierung so gew¨ ahlt ist, dass an einem Kurvenpunkt das Kreuzprodukt aus
Tangentenvektor ~ t an die Kurve und Normalenvektor n ~ der Fl¨ ache von der Fl¨ ache weg zeigt.
~t
~t×~n ~n S
C
Integrals¨atze Orientierter Rand 1-2
Satz von Gauß
F¨ ur ein stetig differenzierbares Vektorfeld F ~ auf einem regul¨ aren r¨ aumlichen Bereich V , der durch eine Fl¨ ache S mit nach außen orientiertem vektoriellen Fl¨ achenelement d S ~ berandet wird, gilt
Z Z Z
V
div F dV ~ = Z Z
S
F ~ · d S ~ .
Die Glattheitsvoraussetzungen an F ~ und S k¨ onnen abgeschw¨ acht werden, indem man die Integrale ¨ uber geeignete Grenzprozesse definiert.
Integrals¨atze Satz von Gauß 1-1
Beweis:
Hauptsatz f¨ ur mehrdimensionale Integrale = ⇒ Z Z Z
V
∂
νF
νdV = Z Z
S
F
νn
◦νdS
mit F
νden Komponenten von F ~
Summation ¨ uber ν = 1, 2, 3, d S ~ = ~ n
◦dS X
ν
∂
νF
ν= div F ~ X
ν
F
νn
◦νdS = = F ~ · n ~
◦dS = F ~ · d S ~ d.h. die behauptete Identit¨ at
Integrals¨atze Satz von Gauß 2-1
