Konstruktion eines Vektorpotentials
F¨ ur ein quellenfreies, stetig differenzierbares Vektorfeld F ~ l¨ asst sich durch
A(x, ~ y, z ) =
0
x
R
x0
F
z(ξ, y, z ) d ξ −
z
R
z0
F
x(x
0, y, ζ ) d ζ
−
x
R
x0
F
y(ξ, y, z ) d ξ
ein Vektorpotential definieren, wenn die Integranden an den
entsprechenden Punkten definiert sind. Dies ist zum Beispiel der Fall f¨ ur einen Quader, der die Punkte (x
0, y
0, z
0) und (x, y , z ) enth¨ alt.
Analoge Formeln erh¨ alt man durch zyklisches Vertauschen der Variablen.
Anstelle von A
xk¨ onnen ebenfalls A
yoder A
znull gesetzt werden.
Beweis:
A ~ =
0
x
R
x0
F
z(ξ, y, z ) d ξ −
z
R
z0
F
x(x
0, y, ζ ) d ζ
−
x
R
x0
F
y(ξ, y, z ) d ξ
= ⇒
rot A ~ =
−∂
yx
R
x0
F
y(ξ, y , z) d ξ − ∂
zx
R
x0
F
z(ξ, y , z) d ξ + ∂
zz
R
z0
F
x(x
0, y , ζ) d ζ
∂
x xR
x0
F
y(ξ, y , z ) d ξ
∂
xx
R
x0
F
z(ξ, y, z ) d ξ − ∂
xz
R
z0
F
x(x
0, y, ζ ) d ζ
Vertauschung von Differentiation und Integration
rot A ~ =
−
x
R
x0
∂
yF
y(ξ, y , z ) d ξ −
x
R
x0
∂
zF
z(ξ, y, z ) d ξ + F
x(x
0, y , z) F
y(x, y, z )
F
z(x, y, z )
(∂
xF
x(x
0, y , ξ) = 0)
F ~ quellenfrei = ⇒ ∂
xF
x+ ∂
yF
y+ ∂
zF
z= 0 Einsetzen in die erste Komponente
Z
x x0∂
xF
x(ξ, y, z) d ξ + F
x(x
0, y , z ) = [F
x(ξ, y, z )]
ξ=xξ=x0
+ F
x(x
0, y , z )
= F
x(x, y , z)
= ⇒ rot A ~ = F ~
Beispiel:
Konstruktion eines Vektorpotentials A ~ f¨ ur das Vektorfeld
F ~ = ~ a × ~ r =
a
2z − a
3y a
3x − a
1z a
1y − a
2x
div F ~ = 0 + 0 + 0 = ⇒ Existenz von A ~ Basispunkt (x
0, y
0, z
0) = (0, 0, 0)
I
xz=
x
Z
0
F
z(ξ, y, z ) d ξ =
x
Z
0
a
1y − a
2ξ d ξ = a
1xy − a
2x
2/2
I
zx=
z
Z
F
x(0, y , ζ) d ζ =
z
Z
a
2ζ − a
3y dζ = a
2z
2/2 − a
3yz
I
xy=
x
Z
0
F
y(ξ, y, z ) d ξ =
x
Z
0
