Konstruktion eines Potentials

Konstruktion eines Potentials

Ein Potential U f¨ ur ein Vektorfeld F ~ ( F ~ = grad U ) kann durch sukzessive Integration konstruiert werden.

Bilden einer Stammfunktion bez¨ uglich der ersten Variablen liefert U(x , y, z ) =

Z

F

dx = U

(x, y, z ) + C

(y, z) . Nun folgt aus F

= ∂

U = ∂

U

+ ∂

C

C

(y , z ) = Z

(F

− ∂

U

) dy = U

(y , z ) + C

(z) und schließlich aus F

= ∂

U = ∂

U

+ ∂

U

+ ∂

C

C

(z ) = Z

(F

− ∂

U

− ∂

U

) dz = U

(z ) + c . Insgesamt ergibt sich

U = U

(x, y , z) + U

(y , z ) + U

(z) + c .

Konstruktion eines Potentials 1-1

Das Potential U kann auch mit Hilfe des Arbeitsintegrals bestimmt werden.

Aufgrund der Wegunabh¨ angigkeit des Arbeitsintegrals kann ein Weg von P nach Q gew¨ ahlt werden, der parallel zu den Koordinatenachsen verl¨ auft.

W¨ ahlt man den Weg, der zun¨ achst parallel zur x -, dann parallel zur y - und zuletzt parallel zur z-Achse verl¨ auft, ergibt sich f¨ ur das Potential das Hakenintegral

U (Q ) = U(P )+

q1

Z

p1

F

(x, p

, p

) dx+

q2

Z

p2

F

(q

, y, p

) dy +

q3

Z

p3

F

(q

, q

, z ) dz .

Meist ist es dabei g¨ unstig, f¨ ur den festen Punkt P den Ursprung zu w¨ ahlen.

Konstruktion eines Potentials 1-2

P Q

p1

q1

p2

q2

p3

q3

Durch Permutation der Koordinaten ergeben sich noch f¨ unf weitere m¨ ogliche Hakenintegrale. Man w¨ ahlt daraus dasjenige aus, bei dem die Integranden m¨ oglichst einfach werden.

Konstruktion eines Potentials 1-3

Beweis:

Integrabilit¨ atsbedingung rot F ~ = ~ 0 = ⇒

∂

[F

− ∂

U

] = ∂

F

− ∂

∂

U

= ∂

F

− ∂

F

= 0 , d.h. [. . .] ist nicht von x abh¨ angig und die Definition von U

ist gerechtfertigt

Analog ist [F

− ∂

U

− ∂

U

] weder von x noch von y abh¨ angig.

∂

[F

− ∂

U

− ∂

U

] = ∂

F

− ∂

∂

U

− ∂

∂

U

= ∂

F

− ∂

F

− 0 = 0 und

∂

[F

− ∂

U

− ∂

U

] = ∂

F

− ∂

∂

U

− ∂

(F

− ∂

U

) = 0 Rechtfertigung der Definition von U

Konstruktion eines Potentials 2-1

Beispiel:

Konstruktion eines Potentials U f¨ ur das Vektorfeld

F ~ =





2x + 3z − yz

−2y − xz 2 + 3x − xy





pr¨ ufe die Integrabilit¨ atsbedingung

rot F ~ =





∂

(2 + 3x − xy ) − ∂

(−2y − xz )

∂

(2x + 3z − yz) − ∂

(2 + 3x − xy )

∂

(−2y − xz) − ∂

(2x + 3z − yz)



 =



 0 0 0



 X

Integration von F

nach x Z

F

dx = Z

2x + 3z − yz dx = x

+ 3xz − xyz

| {z }

U1(x,y,z)

+C

(y, z )

Konstruktion eines Potentials 3-1

Integration nach y Z

F

− ∂

U

dy = Z

−2y − xz + xz dy = −y

|{z}

U2(y,z)

+ C

(z )

Integration nach z Z

F

− ∂

U

− ∂

U

dz = Z

2 + 3x − xy − 3x + xy dz = 2z

|{z}

U3(z)

+ c

Zusammenfassen der Terme Potential

U = U

(x, y , z) + U

(y , z ) + U

(z) + c

= x

+ 3xz − xyz − y

+ 2z + c mit c ∈ R

Konstruktion eines Potentials 3-2

Beispiel:

parameterabh¨ angiges Vektorfeld F ~ =

2x + αx

y x

+ 4y

, α ∈ R Integrabilit¨ atsbedingung = ⇒

rot F ~ = 3x

− αx

= 0 , d.h. α = 3

Bestimmung des Potentials durch sukzessive Integration:

∂

U = F

= 2x + 3x

y = ⇒ U = x

+ x

y + C

(y) und

∂

U = F

= ⇒ x

+ C

(y) = x

+ 4y

, C

(y) = y

+ c Potential f¨ ur F ~ mit α = 3

U = x

+ x

y + y

+ c

Konstruktion eines Potentials 4-1

Beispiel:

Konstruktion eines Potentials U f¨ ur das wirbelfreie Vektorfeld

F ~ =





2x + 3z − yz

−2y − xz 2 + 3x − xy





Potentialwert U(O) = 0 im Ursprung O = (0, 0, 0)

Hakenintegral

U (Q ) = U(O) +

q1

Z

0

F

(x, 0, 0) dx +

q2

Z

0

F

(q

, y, 0) dy +

q3

Z

0

F

(q

, q

, z ) dz

=

q1

Z

0

2x dx +

q2

Z

0

−2y dy +

q3

Z

0

2 + 3q

− q

q

dz

= q

− q

+ 2q

+ 3q

q

− q

q

q

Konstruktion eines Potentials 5-1