Exponentialfunktion
Die Potenzfunktion
y = e x = exp(x) mit der Eulerschen Zahl
e = 2.71828 . . .
wird als Exponentialfunktion bezeichnet.
Sie besitzt folgende Eigenschaften.
Definitions- und Wertebereich: D = R , W = R +
Funktionalgleichung: e x+y = e x e y , 1 = e x e −x Ableitung und Stammfunktion: dx d e x = e x , R
e x dx = e x + C Taylor-Entwicklung: e x = P ∞
n=0 x
nn! , absolut konvergent f¨ ur x ∈ R
Produktdarstellung: e x = lim n→∞ (1 + x /n) n
Verzinsung
Wird ein Startkapital K 0 mit q Prozent verzinst, so ergibt sich nach n Zinsperioden das Endkapital
K n = K 0 (1 + p) n , p = q/100 .
Am gebr¨ auchlichsten sind eine j¨ ahrliche oder eine monatliche Verzinsung.
F¨ ur die entsprechenden Zinsfaktoren p J und p M besteht bei gleichem Kapitalwachstum die Beziehung
1 + p J = (1 + p M ) 12 ; q J = 100p J wird als effektiver Jahreszins bezeichnet.
(i) Ratensparen:
Wird jeweils zu Beginn einer Zinsperiode ein Betrag r eingezahlt, so erh¨ alt man nach n Zinsperioden das Guthaben
K n = r (1 + p) (1 + p) n − 1
p .
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(ii) Tilgung eines Darlehens:
Bei Tilgung eines Darlehens K 0 mit einer jeweils zum Ende einer Zinsperiode gezahlten Rate r ist die Restdarlehenssumme nach n Zinsperioden
K n = K 0 (1 + p) n − r (1 + p) n − 1
p .
F¨ ur eine vollst¨ andige Tilgung (K n = 0) ist die Rate r ? = K 0 (1 + p) n p
(1 + p ) n − 1 erforderlich.
Die Formel f¨ ur K n beschreibt ebenfalls das Restkapital bei Zahlungen einer Rente r (jeweils zum Ende einer Zinsperiode) aus einem verzinsten
Grundkapital K 0 . In diesem Fall ist r ? die Rente, die ¨ uber einen Zeitraum
von n Zinsperioden maximal gezahlt werden kann.
Beweis
(i) Verzinsung eines Sparguthabens:
Zinsen pro Zinsperiode: K (q/100) = K p
Wachstum mit Faktor (1 + p ) pro Zinsperiode, d.h. mit Faktor (1 + p) n nach n Zinsperioden
K 0 → K n = K 0 (1 + p) n Umrechnung von monatlicher auf j¨ ahrliche Verzinsung
K 0 (1 + p M ) 12 ! = K 0 (1 + p J ) Formel f¨ ur den effektiven Jahreszins
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(ii) Ratensparen:
erste Rate, verzinst ¨ uber n Zinsperioden Beitrag von r (1 + p) n zum Endkapital zweite Rate Beitrag r (1 + p) n−1 . . .
n-te Rate Beitrag r (1 + p) Bilden der Summe = ⇒
K n = r (1 + p) n + (1 + p) n−1 + · · · + (1 + p )
= r (1 + p) (1 + p) n−1 + (1 + p) n−2 + · · · + 1
= r (1 + p)
n−1
X
k=0
(1 + p) k
Formel f¨ ur eine geometrische Summe
K n = r (1 + p) (1 + p) n − 1
p
wie behauptet
(iii) Tilgung eines Darlehens:
Beweis der Formel f¨ ur die Restdarlehenssumme K n nach n Zinsperioden mit vollst¨ andiger Induktion
Induktionsanfang n = 1: Verzinsung mit Faktor (1 + p) und Zahlung der Tilgungsrate r am Ende der Zinsperiode
K 1 = K 0 (1 + p) − r X
Induktionsschluss n − 1 → n: Iduktionsvoraussetzung (IV) K n−1 = K 0 (1 + p ) n−1 + r (1 + p) n−1 − 1
p Verzinsung von K n−1 und Zahlung einer weiteren Rate r
K n = K n−1 (1 + p ) − r
=
(IV)
K 0 (1 + p) n−1 + r (1 + p ) n−1 − 1 p
(1 + p) − r
= K 0 (1 + p) n + r
(1 + p) n − (1 + p)
p − 1
Umformung
[. . .] = (1 + p) n − 1 behauptete Formel f¨ ur K n p
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Beispiel
Zinsanalyse des Verkaufs von Manhattan (11000 Morgen f¨ ur 60 Gulden) im Jahr 1626:
j¨ ahrlicher Zinssatz von 7 Prozent Guthaben im Jahr 2000 von 60 NLG · (1.07) 374 = 5.857 · 10 12 NLG ( = 2.658 b · 10 12 EUR) monatliche Verzinsung:
60 NLG · (1 + 7/1200) 4488 = 13.030 · 10 12 NLG ( = 5.913 b · 10 12 EUR) kontinuierliche Verzinsung ((1 + p/n) n → exp(p))
60 NLG · exp(0.07 · 374) = 14.060 · 10 12 NLG ( = 6.380 b · 10 12 EUR) Fl¨ ache von Manhattan: ca. 89 Quadratkilometer
bei Wohnungspreis von 6500 USD/Quadratmeter ausreichend Kapital f¨ ur
ein Wohnhaus mit 4 Stockwerken ¨ uber der Gesamtfl¨ ache
Beispiel
Analyse verschiedener Darlehen in Abh¨ angigkeit von Zins und Laufzeit (i) Ratenberechnung:
Betrag K 0 = 200000 EUR, Festzins 5% = b p J = 5/100, Laufzeit n = 30 Jahre,
monatlicher Zinssatz: p M = (1 + p J ) 1/12 − 1 = 0.04074 = 4.074% b monatliche Rate
r ? = K 0
p M (1 + p J ) n
(1 + p J ) n − 1 = 1060.11 EUR
Berechnung durch Nullsetzen des Darlehensrestbetrages K 12n in der Verzinsungsformel und Ersetzen von (1 + p M ) 12 durch 1 + p J
0 = ! K 12n = K 0 (1 + p M ) 12n − r (1 + p M ) 12n − 1 p M
Die Gesamtzahlung 30 · 12r ? = 381639.60 EUR ist um 90.8% h¨ oher als die Darlehenssumme.
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monatliche Rate f¨ ur ein Darlehen von K 0 = 200000 EUR EUR als Funktion
des Zinssatzes (0 . . . 10 Prozent) f¨ ur verschiedene Laufzeiten n
Beispiel
Ratensparen und Rentenzahlungen (i) Ratensparen:
Sparrate r = 100 Euro jeweils zum Monatsanfang, effektiver Jahreszins von 4% (p J = 4/100),
Zeitraum von n = 45 Jahren (Dauer der Berufst¨ atigkeit) Endkapital nach 12n Monaten
K = r (1 + p M ) (1 + p M ) 12n − 1 p M
= 100 (1 + 0.003273) (1 + 0.003273) 540 − 1 0.003273
= 148363 EUR
mit p M = (1 + p J ) 1/12 − 1 = 0.003273 dem umgerechneten monatlichen Zinsfaktor
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(ii) Monatliche Rente aus angespartem Kapital:
Zahlungszeitraum m = 20 Jahre (vom Rentenbeginn mit 65 Jahren bis zum durchschnittlichen Lebensalter von 85 Jahren),
Auszahlungen jeweils am Monatsbeginn, gleichbleibende Verzinsung
monatliche Rente
R = K (1 + p M ) 12m−1 p M (1 + p M ) 12m − 1
= 148363 (1 + 0.003273) 239 0.003273 (1 + 0.003273) 240 − 1
= 890 EUR
Verh¨ altnis der Rente zur Sparrate
R : r = 890 : 100 = 8.9
(sehr große Steigerung aufgrund des Zinseszinseffekts)
Begr¨ undung
Restkapital nach Zahlung der ersten Rente:
K − R
Restkapital, verzinst f¨ ur ein Jahr, nach Zahlung der zweiten Rente:
(K − R)(1 + p M ) − R = Kq − Rq − R, q = 1 + p M . . .
Restkapital nach Zahlung der letzten Rente zu Beginn des 12m-ten Monats:
Kq 12m−1 − Rq 12m−1 − Rq 12m−2 − · · · − R = Kq 12m−1 − R q 12m − 1 p M Nullsetzen Ausdruck f¨ ur R
Formel f¨ ur das Verh¨ altnis von Rente zu Sparrate R
r = q q 12n − 1 p M
| {z }
K/r
q 12m−1 p M q 12m − 1
| {z }
R/K
= q 12m q 12n − 1 q 12m − 1
mit q = 1 + p M
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