Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik
Wintersemester 2015/2016 Universität Bielefeld
Präsenzaufgaben zu Maß- und Integrationstheorie Blatt V vom 19.11.15
Aufgabe V.1
Beweisen Sie folgendes Lemma:
Lemma: Seien M eine Menge, (Ω,A) ein Messraum und T:M → Ω.1 Weiterhin sei f:M → R eine Funktion. f ist genau dann T−1(A)-B(R) messbar2, wenn es eine A- B(R) messbare Funktiong: Ω→Rderart gibt, dass
f =g◦T.
Hinweis: Zeigen Sie die Implikation „f messbar ⇒es existiertg...“ in drei Schritten:
I.f ist Treppenfunktion. II.f ≥0. III.f beliebig.
Aufgabe V.2
Wir definieren eine Folge (Cn)n∈N von Teilmengen von [0,1] wie folgt induktiv: Seien C1 = [0,1], C2 = C1\(1/3,2/3), C3 =C2\((1/9,2/9)∪(7/9,8/9)). Allgemein bilden wir fürn≥1 die Menge Cn+1, indem wir aus Cn alle offenen mittleren Drittel aus den jeweiligen Teilintervallen entfernen. Nun definieren wir dieCantor-Menge C über
C= \
n∈N
Cn.
a) Skizzieren SieC1, C2 undC3.
b) Zeigen Sie, dass C eine nicht-abzählbare und kompakte Menge ist.
c) Berechnen Sie λ(C).
Aufgabe V.3
Geben Sie in den folgenden beiden Aufgabenteilen jeweils eine Folge (fn) von Treppen- funktionenfn:R→Ran, welche die genannten Bedingungen erfüllt.
a)
Z
R
fn dλ= 1 und sup
x∈R
|fn(x)|−−−→n→∞ 0.
b)
Z
R
fn dλ= 1 und ∀x∈R:
sup
n∈N
|fn(x)|=∞ ∧ inf
n∈N
|fn(x)|= 0
.
1Beachten Sie, dass keinerlei Messbarkeitsvoraussetzungen anT gemacht werden.
2Für die Definition vonT−1(A)vgl. Aufgabe I.1.d.
