Numerische Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen
SPF PAM: Numerik Bettina Bieri 24. Juli 2011
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Inhaltsverzeichnis
1 Numerik 1
2 Bestimmung von Nullstellen 1
3 Das Bisektionsverfahren 2
3.1 Grobe Beschreibung . . . 2
3.1.1 Beispiel . . . 3
3.2 Uberlegungen zur Genauigkeit des Verfahrens¨ . . . 4
4 Das Newton-Verfahren 5 4.1 Anschauliches Vorgehen beim Newton-Verfahren . . . 5
4.2 Herleitung der Iteratiosvorschrift . . . 6
4.2.1 Beispiel . . . 7
4.3 Bemerkung zur Konvergenz . . . 7
4.4 Programm . . . 8
1 Numerik
Die Numerik ist ein Bereich der angewandten Mathematik. Die Numerik besch¨aftigt sich damit, wie man mit Hilfe Computern schwierige Probleme aus der Mathematik l¨osen kann. Oft ist es bei solchen Problemen nicht (oder nur mit sehr grossem Aufwand) m¨oglich, die genaue L¨osung zu berechnen.
F¨ur die Praxis reicht es in vielen F¨allen auch, eine ungef¨ahre L¨osung zu fin- den. Von Fall zu Fall kann wieder bestimmt werden, wie genau so eine L¨osung mindestens sein muss - je nach dem muss das Verfahren angepasst werden.
In diesem Kapitel werden wir zwei numerische Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen anschauen.
2 Bestimmung von Nullstellen
F¨ur lineare bzw. quadratische Gleichungen brauchen wir keine numerischen Verfahren. Solche Gleichungen k¨onnen einfach gel¨ost werden. Wenn wir aber kompliziertere Funktionen betrachten, kann es sich lohnen, solche Verfahren zu verwenden.
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3 Das Bisektionsverfahren
Wie der Titel schon sagt, geht es in diesem und in dem folgenden Kapitel darum, wie man Nullstellen von Funktionen/Gleichungen ann¨ahern kann.
Das Bisektionsverfahren ist die einfachste Methode um Nullstellen von linea- ren und nichtlinearen Gleichungen zu bestimmen. F¨ur lineare Gleichungen braucht man das Bisektionsverfahren aber eigentlich nicht, da es dort einfach ist, die L¨osung genau zu berechnen.
3.1 Grobe Beschreibung
Eine wichtige Voraussetzung f¨ur das Bisektionsverfahren ist, dass die Funk- tion stetig ist - also keine Sprungstellen hat.
Offensichtlich sind die Werte einer Funktion f auf der einen Seite der Null- stelle negativ und auf der anderen Seite positiv. F¨ur die Beschreibung des Verfahrens gehen wir hier von einer Funktion aus, welche um die Nullstelle herum steigt. Weiter nehmen wir an, dass die Funktion im Intervall [a, b] eine Nullstelle hat.
Es gilt also:
f hat eine Nullstelle in [a, b] und es giltf(a)<0 und f(b)>0.
Wir halbieren nun das Intervall [a, b] und geben dem Mittelpunkt dieses In- tervalls einen neuen Namen - zum Beispiel m.
Jetzt untersuchen wir die Funktion f an der Stelle m und schauen, ob f(m) < 0 oder f(m) > 0 ist. f(m) < 0 w¨urde bedeuten, dass die Null- stelle zwischen m und b liegt. f(m)>0 w¨urde bedeuten, dass die Nullstelle zwischen a und m liegt. Um weiterzufahren, w¨ahlen wir das Intervall aus, in welchem sich die Nullstelle befindet (also [m, b] oder [a, m]) und halbieren dieses...
So geht das weiter, bis wir ein Intervall haben, das klein genug ist, um unse- rem Anspruch an Genauigkeit zu gen¨ugen.
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3.1.1 Beispiel
Gegeben ist die Funktionf(x) = x5−4x2+ 1 Diese Funktion hat im Intervall [1,2] eine Nullstelle. Berechne diese so genau, dass der Fehler nicht gr¨osser als 0.125 ist.
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3.2 Uberlegungen zur Genauigkeit des Verfahrens ¨
Das Intervall [a, b] sei gegeben. In jedem Schritt des Verfahrens wird das Intervall halbiert. Nach einem Schritt betr¨agt der Fehler ε1 also noch b−a2 . Uberlege dir, wie gross der Fehler¨ ε im Schlimmsten Fall nach
a) zwei Schritten,
b) drei Schritten,
c) vier Schritten,
d) f¨unf Schritten,
e) n Schritten ist.
Nun haben wir eine Formel f¨urεn gefunden.
Jetzt k¨onnen wir uns ¨uberlegen, wie viele Schritte n wir machen m¨ussen, damit der Fehler kleiner als ein bestimmtes ε wird.
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4 Das Newton-Verfahren
Ein weiteres Verfahren, um Nullstellen von Funktionen zu finden, ist das Newton-Verfahren. Beim Newton-Verfahren handelt es sich um ein iteratives Verfahren. Das heisst, man w¨ahlt einen Startwert und berechnet mit dessen Hilfe auf eine bestimmte Weise einen neuen Wert. Dieser neue Wert wird dann wiederum als Startwert genommen und so weiter. Die so erhaltenen Werte n¨ahern sich immer mehr der gesuchten Nullstelle an.
4.1 Anschauliches Vorgehen beim Newton-Verfahren
Als Startwert w¨ahlt man eine Zahl, welche sch¨atzungsweise m¨oglichst nahe an der gesuchten Nullstelle liegt. Voraussetzung f¨ur eine (gute) Konvergenz des Newton-Verfahrens ist eine geeignete Wahl des Startwertes.
An der Stelle des Startwertes wird nun eine Tangente an den Graphen der Funktion, von welcher die Nullstelle bestimmt werden soll, gelegt.
Der Schnittpunkt dieser Tangente mit der x-Achse wird als neuer Startwert genommen.
Skizze:
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4.2 Herleitung der Iteratiosvorschrift
Um diese Herleitung zu verstehen, skizzieren wir einen ersten Schritt eines Newton-Verfahrens. Im Folgenden bezeichnen wir den Startwert mit x0 und den zweiten Wert, welchen wir aus dem Startwert erhalten, mit x1:
Aus der Analysis wissen wir, dass die Steigung der Tangente auf zwei ver- schiedene Weisen angegeben werden kann:
Gleichsetzen dieser beiden Darstellungen der Steigung liefert:
Wenn wir nun diese Gleichung nach x1 aufl¨osen, erhalten wir die gesuchte Iterationsvorschrift:
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4.2.1 Beispiel
Eine der Nullstellen der Funktion f(x) = x3+ 1.73x2−1.81x−2.54 liegt in der N¨ahe von eins. N¨ahere diese Nullstelle mit Hilfe des Newton-Verfahrens an.
4.3 Bemerkung zur Konvergenz
Das Newton-Verfahren konvergiert f¨ur g¨unstige Startwerte einiges schneller als das Bisketionsverfahren. Es kann also sinnvoll sein, das Bisektionsverfah- ren anzuwenden, um auf einen guten Startwert zu kommen. Danach ist es im Allgemeinen aber g¨unstiger, das Newton-Verfahren zu verwenden.
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4.4 Programm
Schreibe ein Programm, welchem man eine Funktion und einen Startwert geben kann, und welches dann die Nullstellen der Funktion auf drei Stellen genau ann¨ahert.
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