DHBW STUTTGART – DOZENT: JAN GEHRKE SEITE 1 VON 2

Mathematik 3 – MB – Übungsblatt 1

Themen:

Mehrdimensionale Analysis – Ableiten im Raum, Tangentialebene, totales Differential

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Aufgabe A1:

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung der folgenden Funktionen:

a) z x , y 3 x 5 y

b) z x , y x

2 xy

c) y

e x y x

z ,

ln

d) z x , y ln x

y

e) x t

t t x

x

u 2

, 2

Aufgabe A2:

Gegeben ist die Funktion f x , y 3 xy cos x y x

y

. Zeigen Sie, dass f

f

ist und weisen Sie damit den Satz von Schwarz an diesem Beispiel nach.

Aufgabe A3:

Zeigen Sie, dass die Funktion

x

e a y x

f , die Gleichung xf

yf

0 erfüllt.

Aufgabe A4:

Differenzieren Sie die Funktion z xy

x mit x t

und y t nach dem Parameter t zum einen durch die Verwendung der Kettenregel und zum anderen durch Einsetzen der Parametergleichung in die Funktionsgleichung.

Aufgabe A5:

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene im Punkt P . a) z x

y

e

und P 0 / 1 / 1

b) x y

y

z 3 x 2 cos 2

2

und P 2 / 1 /?

Aufgabe A6:

Zeigen Sie, dass die Funktion f x y z b

z y x

a

2 2

,

, eine Lösung der sog. Laplace-Gleich-

ung u : u

u

u

0 ^ist.

MATHEMATIK 3 – STUDIENGANG: MB – ÜBUNGSBLATT 1

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Aufgabe A7:

Bestimmen Sie das totale Differential der Funktionen:

a) z x , y 4 x

y 3 x e

b) u x , y , z ln x

y

z

c) t x

x t t

x

f , 2 4

2

Aufgabe A8:

Berechnen Sie unter Verwendung des totalen Differentials die Oberflächenänderung dO

O eines Zylinders mit Boden und Deckel, dessen Radius r 10 cm um 5 % ver-

größert und dessen Höhe h 25 cm gleichzeitig um 2 % verkleinert wurde und vergleichen

Sie diesen Näherungswert mit dem exakten Wert O

.