Einf¨ uhrung in die Supersymmetrie SS 06 Prof. Jan Plefka

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Einf¨ uhrung in die Supersymmetrie SS 06 Prof. Jan Plefka

Ubungsblatt 5, Besprechung 7.6.06 ¨

Aufgabe 1: Supermathematik ( ¨ Ubertrag vom letzten ¨ Ubungsblatt) Zeigen Sie die Relationen

θσ

^µ

θ θσ ¯

^ν

θ ¯ = − 1

2 η

^µν

θθ θ ¯ θ ¯ θψ θχ = − 1 2 θθ ψχ Z

d

²

θ = 1

4

^αβ

∂

∂θ

^α

∂

∂θ

^β

Z

d

²

θ ¯ = − 1

4

^α^˙^β^˙

∂

∂ θ ¯

^α^˙

∂

∂ θ ¯

^β^˙

Z

d

²

θ d

²

θ θθ ¯ θ ¯ θ ¯ = 1 wobei wir d

²

θ =

¹₂

dθ

¹

dθ

²

und d

²

θ ¯ = [d

²

θ]

^†

definiert hatten.

Aufgabe 2: Das Chirale Superfeld

Am Ende der Vorlesung haben wir die Definition eines chiralen Superfeldes φ(x, θ, θ) kennengelernt, ¯

D ¯

_α_˙

φ(x, θ, θ) = 0, ¯ (1) wobei die superkovarianten Ableitungen D

_α

und ¯ D

_α_˙

sowie die Darstellung der Superladungen Q

_α

und ¯ Q

_α_˙

im Superraum (x, θ, θ) wie folgt lauteten ¯

D

_α

= ∂

∂θ

^α

+ i (σ

^µ

)

_α_α_˙

θ ¯

^α^˙

∂

∂x

^µ

, Q

_α

= −i ∂

∂θ

^α

− (σ

^µ

)

_α_α_˙

θ ¯

^α^˙

∂

∂x

^µ

D ¯

_α_˙

= ∂

∂ θ ¯

^α^˙

+ i θ

^α

(σ

^µ

)

_α_α_˙

∂

∂x

^µ

, Q ¯

_α_˙

= i ∂

∂ θ ¯

^α^˙

+ θ

^α

(σ

^µ

)

_α_α_˙

∂

∂x

^µ

. Uberzeugen Sie sich davon, dass ¨ {D, Q} = {D, Q} ¯ = { D, Q} ¯ = { D, ¯ Q} ¯ = 0 gilt. Somit ist die Bedingung (1) invariant unter SUSY Variationen.

Wir hatten weiterhin gesehen, dass (1) allgemein durch ein Superfeld φ(y

^µ

, θ

^α

, 0) gel¨ ost wird, mit y

^µ

:= x

^µ

+iθσ

^µ

θ. D.h. in einer Taylorentwicklung in ¯ θ

^α

finden wir die Komponentenfelder des chiralen off-shell Multipletts

φ(y, θ, 0) = z(y) + θ

^α

ψ

α

(y) + θθ f (y) .

Bestimmen Sie nun die SUSY Transformationen der Komponentenfelder z(y), ψ

_α

(y) und f (y) aus der allgemeinen SUSY Variation im Superraum der Form:

δ

_,¯

φ(y, θ) = (iQ + i¯ Q) ¯ φ(y, θ) =

^!

δ

_,¯

z(y) + θ

^α

δ

_,¯

ψ

_α

(y) + θθ δ

_,¯

f (y) . (2)

1

(2)

D.h. wie lauten

δ

_,¯

z(y) =? δ

_,¯

ψ

_α

(y) =? δ

_,¯

f(y) =? .

Hierzu ist es von grossem Vorteil eine Koordinatentransformation im Super- raum auf die Variablen

y

^µ

= x

^µ

+ iθσ

^µ

θ, ¯ θ ˆ

^α

= θ

^α

θ ˆ ¯

^α^˙

= ¯ θ

^α^˙

durchzuf¨ uhren und die Differentialoperatoren Q

_α

und ¯ Q

_α_˙

in diesen Koordi- naten zu bestimmen und in (2) wirken zu lassen.

Sie sollten bis auf Reskalierungsfaktoren ( → /2 und ψ → 2ψ) die in der Vorlesung vormals angegebenen Variationen wiederfinden.

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