Einf¨uhrung in die Supersymmetrie SS 06 Prof. Jan Plefka
Ubungsblatt 6, Besprechung 14.6.06 ¨
Aufgabe 1: Mehr zu Superzahlen
• Zeigen Sie, dass die Dirac’sche Deltafunktion f¨ur Grassmannvariablen θdurch δ(θ−θ) =˜ θ−θ˜ gegeben ist indem Sie ¨uber eine Testfunktion F(θ) integrieren: R
dθ δ(θ−θ)˜ F(θ) =F(˜θ).
• In der Vorlesung haben wir Supermatrizen vom Typ (m|n) eingef¨uhrt:
M =
A B C D
wobeiAundDMatrizen (m×mbzw.n×n) ¨uberCc sind undBundC (m×nbzw.n×m) ¨uberCasind. Wie sieht der K¨orper (“body“) vonM aus? ¨Uberzeugen Sie sich davon, dass bei einem nichtverschwindenen K¨orper vonM das Inverse durch
M−1 =
(A−B D−1C)−1 −A−1B(D−C A−1B)−1
−D−1C(A−B D−1C)−1 (D−C A−1B)−1
gegeben ist.
• Wir definieren die Superspur von M als StrM := TrA−TrD. Zeigen Sie, dass mit dieser Definition die ¨ublichen Relationen Str(M1−1M2M1) = StrM2 und Str(M1M2) = Str(M2M1) gelten.
Aufgabe 2: Kinetische Terme aus reellem Superfeld Betrachten Sie die SUSY invariante Wirkung
Skin= Z
d4x d2θ d2θ F¯ (φ, φ†) mit F(φ, φ†) =φ φ†
wobei φ(y, θ) = z(y) +θψ(y) +θθ f(y) ein chirales Superfeld ist und wir yµ :=xµ+iθσµθ¯definiert hatten.
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Zeigen Sie, dass nach Ausintegration der Grassmannvariablen diese Wirkung auf die ¨ublichen kinetischen Terme des chiralen Multipletts f¨uhrt:
Skin= Z
d4x
− ∂
∂xµz(x) ∂
∂xµz†(x) + i
2ψ(x)σµ ∂
∂xµ
ψ(x) +¯ f(x)f†(x)
Zeigen Sie weiterhin, dass Skin als Superraumintegral invariant gegen¨uber Transformationen der Form
F(φ, φ†)→F(φ, φ†) +g(φ) + ¯g(φ†) ist.
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