Ubungsblatt 4, Besprechung 31.5.06 ¨

Einf¨uhrung in die Supersymmetrie SS 06 Prof. Jan Plefka

Ubungsblatt 4, Besprechung 31.5.06 ¨

Aufgabe 1: Super-Maxwell-Theorie in Komponenten

Wir wollen nun die explizite Realisierung des N = 1 Vektormultipletts (A_µ, λ^α) bestehend aus dem Photon und einem Photino untersuchen. Hierzu

“raten” wir die folgende Wirkung SSuper−Maxwell =

Z

d⁴x

− 1

2g² F_µνF^µν − i

g²λ σ^µ∂_µλ¯

mit F_µν = ∂_µA_ν −∂_νA_µ. Wir w¨ahlen den folgenden Ansatz f¨ur die SUSY Variationen (∂_µ= 0)

δ_,¯A_µ= i

2(σ_µ¯λ) + i

2(λσ¯_µ¯) δ_,¯λ^α =c ^β(σ^µν)_β^αF_µν δ_,¯λ¯^α˙ = ¯c(¯σ^µν)^α˙β˙¯^β˙F_µν

Wobei wirσ_µν =−¹₄(σ_µσ¯_ν−σ_νσ¯_µ) =−¹₂σ_[µσ¯_ν]definiert hatten. Diskutieren Sie, warum dieser Ansatz nat¨urlich ist unter Beachtung der Dimensionalit¨at der FelderA_µ, λ_α und des Parameters sowie der lokalenU(1) Eichinvarianz δ_ξA_µ=∂_µξ und δ_ξλ_α = 0 vonSSuper−Maxwell.

Bestimmen Sie die Konstante c f¨ur die die Wirkung SSuper−Maxwell invari- ant unter obigen SUSY Transformatione ist. Hierzu ist folgender Ausdruck hilfreich

σ[ρσ¯κ]σµ=σ[ρσ¯κσµ]−ηκµσρ+ηρµσκ

wobei [µνρ . . .] die Antisymmetrisierung mit Gewicht 1 bezeichnet und von dessen Korrektheit Sie sich ¨uberzeugen sollten.

Aufgabe 2: Supermathematik Zeigen Sie die Relationen

θσ^µθ θσ¯ ^νθ¯=−1

2η^µνθθθ¯θ¯ θψ θχ=−1 2θθ ψχ Z

d²θ= 1

4^αβ ∂

∂θ^α

∂

∂θ^β

Z

d²θ¯=−1

4^α˙β˙ ∂

∂θ¯^α˙

∂

∂θ¯^β˙

Z

d²θ d²θ θθ¯ θ¯θ¯= 1 wobei wir d²θ = ¹₂dθ¹dθ² und d²θ¯= [d²θ]^† definiert hatten.

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