Universit¨at Konstanz Dr. Andrew Dolphin Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Markus Schweighofer Wintersemester 2010/2011
Ubungsblatt 14 zur Einf¨ ¨ uhrung in die Algebra
Aufgabe 1. Sei K ein K¨orper der Charakteristik p > 0, so dass der Frobenius-Homorphismus Φp:K→Kkein Automorphismus ist. Sei a∈K\Φp(K). Zeige, dassXp−a∈K[X] irreduzibel und nicht separabel ist.
Aufgabe 2.Seix∈Rmit x4= 2 undL=Q(i,x). Finde alle Zwischenk¨orper vonL|Q.
Aufgabe 3.SeiK(x)|Keine algebraische K¨orpererweiterung von ungeradem Grad. ZeigeK(x2) = K(x).
Aufgabe 4.
(i) Zeige, dass die Galoisgruppe des Zerf¨allungsk¨orpers eines irreduziblen separablen Polynoms vom Grad 3 ¨uber einem K¨orper isomorph zuS3 oderC3 ist
(ii) Bestimme die Galoisgruppe des Zerf¨allungsk¨orpers vonX3−X−1 ¨uberQ.
Aufgabe 5.Seix∈Ceine Nullestelle vonX6+ 3. Zeige, dassQ(x)|Qeine Galoiserweiterung ist.
Dieses Blatt wird in den ¨Ubungen nicht mehr besprochen, ist aber f¨ur die Klausur relevant. Am 28.02.2011 werden wir eine Musterl¨osung ins Netz stellen.
